2025-2026年湖南省人教版高二数学第三章对数函数练习题

2025-2026年湖南省人教版高二数学第三章对数函数练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=log₃(x-1)，其定义域为________。A．(0,1)B．(1,+∞)C．(-1,0)D．(-∞,1)解析：对数函数f(x)=log₃(x-1)的定义域要求真数x-1大于0，即x>1，故定义域为(1,+∞)。选项B正确。其他选项均不符合对数真数大于0的条件。对数函数的定义域求解需始终满足真数大于0这一基本性质，这是对数函数的核心特征之一。2.若logₐ2=-1/2（a>0且a≠1），则a的值为________。A．1/4B．4C．1/2D．2解析：由logₐ2=-1/2可得2=a⁻¹⁰²，即a²=1/2，解得a=1/√2=√2/2。选项C正确。对数方程的求解需熟练掌握对数与指数的互化关系，将对数形式转化为指数形式是常用方法。3.函数f(x)=log₃(2x-1)的图像可由函数g(x)=log₃x的图像________得到。A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位C．向上平移1个单位D．向下平移1个单位解析：函数f(x)=log₃(2x-1)可变形为f(x)=log₃[2(x-1/2)]，这表明其图像是g(x)=log₃x的图像向右平移1/2个单位得到的。选项B正确。对数函数的平移变换需注意系数和常数项对图像的影响。4.若log₃m+log₃(n-1)=1，则m与n的关系为________。A．mn=n-1B．mn=3C．m=n-1D．m=3n解析：由对数运算法则log₃(m)+log₃(n-1)=log₃[m(n-1)]=1，可得m(n-1)=3。选项B正确。对数运算中的合并法则logₐM+logₐN=logₐ(MN)是解题关键。5.函数f(x)=log₃(3x-2)在区间(1,2)上的值域为________。A．(-∞,1)B．(0,1)C．(1,+∞)D．(0,+∞)解析：当x∈(1,2)时，3x-2∈(1,4)，则log₃(3x-2)∈(0,log₃4)。由于log₃4>1，故值域为(0,+∞)。选项D正确。对数函数值域的求解需结合定义域和单调性进行分析。6.若f(x)=log₃(x+a)在(0,+∞)上单调递增，则a的取值范围是________。A．a>0B．a<0C．a=0D．a∈R解析：函数f(x)=log₃(x+a)的单调性由对数底数3>1决定，此时函数单调递增的条件是真数x+a>0，即a>-x。在(0,+∞)上恒成立，需a≥0。选项C正确。对数函数单调性的判断需同时考虑底数和真数条件。7.方程log₅(x²-3x+2)=1的解集为________。A．{1}B．{2}C．{1,2}D．∅解析：由log₅(x²-3x+2)=1可得x²-3x+2=5，即x²-3x-3=0，解得x=3±2√3。由于x=3±2√3均大于0，故解集为{3+2√3,3-2√3}。选项D正确。对数方程的求解需注意验根，排除使真数非正的解。8.若函数f(x)=logₐ(x²-2x+3)在(1,+∞)上单调递减，则a的取值范围是________。A．0<a<1B．a>1C．a=1D．0<a<1或a>1解析：设t=x²-2x+3，在(1,+∞)上t单调递增。当a>1时，y=logₐt单调递增；当0<a<1时，y=logₐt单调递减。故a的取值范围是0<a<1。选项A正确。复合函数单调性的判断需遵循"同增异减"原则。9.若log₃(2a-1)+log₃(3-a)=1，则a的值为________。A．1B．2C．-1/2D．1/2解析：由对数运算法则可得(2a-1)(3-a)=3，即2a²-5a+3=0，解得a=1或a=3/2。由于3-a>0，需a<3，故a=1。选项A正确。对数方程的求解需注意对数真数大于0的条件。10.函数f(x)=|log₃(2-x)|的图像关于________对称。A．x=0B．x=1C．x=2D．y轴解析：函数f(x)=|log₃(2-x)|的定义域为(-∞,2)，且f(2-x)=|log₃x|=f(x)，故图像关于x=1对称。选项B正确。绝对值函数的对称性需结合对数函数的性质进行分析。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若log₃x=2log₃2，则x=________。参考答案：4解析：由对数运算法则log₃x=log₃2²，可得x=4。对数幂运算规则logₐM^n=nlogₐM是解题关键。2.函数f(x)=log₃(3x-1)在区间(0,1)上的值域为________。参考答案：(0,+∞)解析：当x∈(0,1)时，3x-1∈(-1,2)，则log₃(3x-1)的值域为(-∞,log₃2)，由于log₃2>0，故值域为(0,+∞)。3.若log₅(3x-2)=2，则x=________。参考答案：7/3解析：由对数与指数互化可得3x-2=5²，即3x-2=25，解得x=7/3。对数方程的求解需熟练掌握对数与指数的互化方法。4.函数f(x)=log₃(2x+1)的图像可由函数g(x)=log₃x的图像________得到。参考答案：向左平移1/2个单位解析：函数f(x)=log₃(2x+1)可变形为f(x)=log₃[2(x+1/2)]，这表明其图像是g(x)=log₃x的图像向左平移1/2个单位得到的。5.若logₐ3=1/2（a>0且a≠1），则a的值为________。参考答案：3√3解析：由对数与指数互化可得3=a^(1/2)，即a=3²=9。选项B正确。对数方程的求解需熟练掌握对数与指数的互化关系。6.函数f(x)=log₃(3x-2)在区间(1,2)上的最小值为________。参考答案：0解析：当x=1时，f(x)取得最小值log₃(3-2)=log₃1=0。对数函数的最值求解需结合定义域和单调性进行分析。7.若log₅m+log₅(n+2)=1，则m与n的关系为________。参考答案：mn=5/2解析：由对数运算法则log₅(m)+log₅(n+2)=log₅[m(n+2)]=1，可得m(n+2)=5，即mn=5-2m。由于m>0，n>-2，故mn=5/2。8.函数f(x)=log₃(2x-1)在区间(1,2)上的值域为________。参考答案：(0,log₃3)解析：当x∈(1,2)时，2x-1∈(1,3)，则log₃(2x-1)∈(0,log₃3)，由于log₃3=1，故值域为(0,1)。9.若f(x)=log₃(x+a)在(0,+∞)上单调递增，则a的取值范围是________。参考答案：a≥0解析：函数f(x)=log₃(x+a)的单调性由对数底数3>1决定，此时函数单调递增的条件是真数x+a>0，即a≥0。10.函数f(x)=|log₃(1-x)|的图像关于________对称。参考答案：x=1解析：函数f(x)=|log₃(1-x)|的定义域为(-∞,1)，且f(1-x)=|log₃x|=f(x)，故图像关于x=1对称。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若log₃a+log₃b=1，则a+b=3。参考答案：×解析：由对数运算法则log₃(a)+log₃(b)=log₃(ab)=1，可得ab=3，但a+b不一定等于3，例如a=1,b=3时ab=3但a+b=4。2.函数f(x)=log₃(2x-1)在(0,+∞)上单调递增。参考答案：√解析：由复合函数单调性可知，当x>1/2时，2x-1>0且单调递增，对数函数y=log₃(2x-1)在(1/2,+∞)上单调递增。3.若log₅(2x-1)=1，则x=3。参考答案：√解析：由对数与指数互化可得2x-1=5，解得x=3。对数方程的求解需熟练掌握对数与指数的互化方法。4.函数f(x)=log₃(3x+1)的图像可由函数g(x)=log₃x的图像向左平移1个单位得到。参考答案：×解析：函数f(x)=log₃(3x+1)可变形为f(x)=log₃[3(x+1/3)]，这表明其图像是g(x)=log₃x的图像向左平移1/3个单位得到的。5.若logₐ2>logₐ3（a>0且a≠1），则0<a<1。参考答案：√解析：当a>1时，对数函数单调递增，logₐ2<logₐ3；当0<a<1时，对数函数单调递减，logₐ2>logₐ3。故0<a<1。6.函数f(x)=log₃(2-x)在(-∞,2)上单调递增。参考答案：×解析：由复合函数单调性可知，当x<2时，2-x>0且单调递增，对数函数y=log₃(2-x)在(-∞,2)上单调递减。7.若log₅m+log₅(n-1)=1，则m=n-1。参考答案：×解析：由对数运算法则log₅(m)+log₅(n-1)=log₅[m(n-1)]=1，可得m(n-1)=5，即m=5/(n-1)，m与n并非简单的线性关系。8.函数f(x)=|log₃(2x-1)|的图像关于y轴对称。参考答案：×解析：函数f(x)=|log₃(2x-1)|的定义域为(1/2,+∞)，且f(1/(2-x))=|log₃(2-2x)|≠f(x)，故图像不关于y轴对称。9.若f(x)=log₃(x+a)在R上单调递增，则a>0。参考答案：×解析：函数f(x)=log₃(x+a)的单调性由对数底数3>1决定，此时函数单调递增的条件是真数x+a>0，即a≥0，a>0只是其中一种情况。10.函数f(x)=log₃(1-x)在(-∞,1)上单调递减。参考答案：√解析：由复合函数单调性可知，当x<1时，1-x>0且单调递增，对数函数y=log₃(1-x)在(-∞,1)上单调递减。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知函数f(x)=log₃(2x-1)，求其定义域。参考答案：x>1/2解析：由对数真数大于0可得2x-1>0，解得x>1/2。对数函数的定义域求解需始终满足真数大于0这一基本性质。2.若log₅(3x-2)=2，求x的值。参考答案：4解析：由对数与指数互化可得3x-2=5²，即3x-2=25，解得x=27/3=9。对数方程的求解需熟练掌握对数与指数的互化方法。3.函数f(x)=log₃(2x+1)的图像可由函数g(x)=log₃x的图像如何平移得到？参考答案：向左平移1/2个单位解析：函数f(x)=log₃(2x+1)可变形为f(x)=log₃[2(x+1/2)]，这表明其图像是g(x)=log₃x的图像向左平移1/2个单位得到的。4.若log₃m+log₃(n+1)=1，求m与n的关系。参考答案：mn=3-2m解析：由对数运算法则log₃(m)+log₃(n+1)=log₃[m(n+1)]=1，可得m(n+1)=3，即n=3/m-1。故mn=3-2m。5.函数f(x)=log₃(3x-2)在区间(1,2)上的值域是什么？参考答案：(0,log₃4)解析：当x∈(1,2)时，3x-2∈(1,4)，则log₃(3x-2)∈(0,log₃4)，由于log₃4>1，故值域为(0,log₃4)。6.函数f(x)=|log₃(1-x)|的图像关于哪个点对称？参考答案：关于点(1,0)对称解析：函数f(x)=|log₃(1-x)|的定义域为(-∞,1)，且f(1-x)=|log₃x|=f(x)，故图像关于x=1对称，结合绝对值性质可知关于点(1,0)对称。7.若f(x)=log₃(x+a)在(0,+∞)上单调递增，求a的取值范围。参考答案：a≥0解析：函数f(x)=log₃(x+a)的单调性由对数底数3>1决定，此时函数单调递增的条件是真数x+a>0，即a≥0。8.函数f(x)=log₃(2x-1)在区间(1,2)上的最小值是多少？参考答案：0解析：当x=1时，f(x)取得最小值log₃(2-1)=log₃1=0。对数函数的最值求解需结合定义域和单调性进行分析。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某城市人口增长模型为P(t)=10×3^0.1t（万人），其中t为年份，若人口达到50万人，求需要多少年？解：由P(t)=10×3^0.1t=50，可得3^0.1t=5，取对数可得0.1tlog₃3=log₃5，解得t≈14.5年。参考答案：约14.5年解析：对数方程的求解需熟练掌握对数与指数的互化方法，注意单位换算。2.某商品价格变化模型为P(t)=100×2^(-0.05t)（元），其中t为年数，若价格降至50元，求需要多少年？解：由100×2^(-0.05t)=50，可得2^(-0.05t)=1/2，取对数可得-0.05tlog₂2=-1，解得t≈13.9年。参考答案：约13.9年解析：对数方程的求解需注意底数转换，熟练掌握对数运算法则。3.某细菌繁殖模型为N(t)=1000×3^0.2t（个），其中t为小时数，若细菌数量达到10000个，求需要多少小时？解：由1000×3^0.2t=10000，可得3^0.2t=10，取对数可得0.2tlog₃3=log₃10，解得t≈11.5小时。参考答案：约11.5小时解析：对数方程的求解需注意单位换算，熟练掌握对数与指数的互化方法。4.某放射性物质衰变模型为M(t)=50×0.5^0.1t（克），其中t为天数，若物质剩余10克，求需要多少天？解：由50×0.5^0.1t=10，可得0.5^0.1t=1/5，取对数可得0.1tlog₀.₅2=-1，解得t≈21.8天。参考答案：约21.8天解析：对数方程的求解需注意底数转换，熟练掌握对数运算法则。5.某城市空气质量指数模型为AQI(t)=100×2^(-0.1t)（指数），其中t为小时数，若AQI降至50，求需要多少小时？解：由100×2^(-0.1t)=50，可得2^(-0.1t)=1/2，取对数可得-0.1tlog₂2=-1，解得t≈6.9小时。参考答案：约6.9小时解析：对数方程的求解需注意底数转换，熟练掌握对数运算法则。6.某投资增长模型为I(t)=10000×1.1^t（元），其中t为年数，若投资达到20000元，求需要多少年？解：由10000×1.1^t=20000，可得1.1^t=2，取对数可得tlog₁.₁2=log₂2，解得t≈7.27年。参考答案：约7.27年解析：对数方程的求解需注意底数转换，熟练掌握对数运算法则。7.某森林面积增长模型为A(t)=200×1.05^t（公顷），其中t为年数，若面积达到300公顷，求需要多少年？解：由200×1.05^t=300，可得1.05^t=1.5，取对数可得tlog₁.051.5=log₁.51.5，解得t≈8.3年。参考答案：约8.3年解析：对数方程的求解需注意底数转换，熟练掌握对数运算法则。8.某药物浓度模型为C(t)=10×0.8^0.2t（mg/L），其中t为小时数，若浓度降至2mg/L，求需要多少小时？解：由10×0.8^0.2t=2，可得0.8^0.2t=1/5，取对数可得0.2tlog₀.₈2=-1，解得t≈17.1小时。参考答案：约17.1小时解析：对数方程的求解需注意底数转换，熟练掌握对数运算法则。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.B3.B4.B5.D6.C7.D8.A9.A10.B解析：1.对数函数定义域要求真数大于0，故x-1>0，即x>1。2.由logₐ2=-1/2可得2=a⁻¹⁰²，即a²=1/2，解得a=√2/2。3.函数f(x)=log₃(2x-1)可变形为f(x)=log₃[2(x-1/2)]，这表明其图像是g(x)=log₃x的图像向右平移1/2个单位得到的。4.由对数运算法则log₃(m)+log₃(n-1)=log₃[m(n-1)]=1，可得m(n-1)=3，即mn=3。5.当x∈(1,2)时，3x-2∈(1,4)，则log₃(3x-2)∈(0,log₃4)，由于log₃4>1，故值域为(0,+∞)。6.函数f(x)=log₃(x+a)的单调性由对数底数3>1决定，此时函数单调递增的条件是真数x+a>0，即a≥0。7.由log₅(x²-3x+2)=1可得x²-3x+2=5，即x²-3x-3=0，解得x=3±2√3。8.设t=x²-2x+3，在(1,+∞)上t单调递增。当a>1时，y=logₐt单调递增；当0<a<1时，y=logₐt单调递减。故a的取值范围是0<a<1。9.由对数运算法则log₃(2a-1)+log₃(3-a)=log₃[(2a-1)(3-a)]=1，可得(2a-1)(3-a)=3，即2a²-5a+3=0，解得a=1或a=3/2。10.函数f(x)=|log₃(2-x)|的定义域为(-∞,2)，且f(2-x)=|log₃x|=f(x)，故图像关于x=1对称。二、填空题1.412.(0,+∞)13.7/314.向左平移1/2个单位15.3√32.017.mn=5/218.(0,1)19.a≥020.x=1解析：11.由对数运算法则log₃x=2log₃2=log₃2²，可得x=4。3.当x∈(0,1)时，3x-1∈(-1,2)，则log₃(3x-1)的值域为(-∞,log₃2)，由于log₃2>0，故值域为(0,+∞)。4.由对数与指数互化可得3x-2=5²，即3x-2=25，解得x=7/3。5.函数f(x)=log₃(2x+1)可变形为f(x)=log₃[2(x+1/2)]，这表明其图像是g(x)=log₃x的图像向左平移1/2个单位得到的。6.由对数与指数互化可得3=a^(1/2)，即a=3²=9。7.当x=1时，f(x)取得最小值log₃(3-2)=log₃1=0。8.由对数运算法则log₅(m)+log₅(n+2)=log₅[m(n+2)]=1，可得m(n+2)=5，即mn=5-2m。由于m>0，n>-2，故mn=5/2。9.当x∈(1,2)时，2x-1∈(1,3)，则log₃(2x-1)∈(0,log₃3)，由于log₃3=1，故值域为(0,1)。10.函数f(x)=log₃(x+a)的单调性由对数底数3>1决定，此时函数单调递增的条件是真数x+a>0，即a≥0。11.函数f(x)=|log₃(1-x)|的定义域为(-∞,1)，且f(1-x)=|log₃x|=f(x)，故图像关于x=1对称。三、判断题1.×22.√23.√24.×25.√26.×27.×28.×29.×30.√解析：21.由对数运算法则log₃(a)+log₃(b)=log₃(ab)=1，可得ab=3，但a+b不一定等于3，例如a=1,b=3时ab=3但a+b=4。2.由复合函数单调性可知，当x>1/2时，2x-1>0且单调递增，对数函数y=log₃(2x-1)在(1/2,+∞)上单调递增。3.由对数与指数互化可得3x-2=5，解得x=3。4.函数f(x)=log₃(3x+1)可变形为f(x)=log₃[3(x+1/3)]，这表明其图像是g(x)=log₃x的图像向左平移1/3个单位得到的。5.当a>1时，对数函数单调递增，logₐ2<logₐ3；当0<a<1时，对数函数单调递减，logₐ2>logₐ3。故0<a<1。6.由复合函数单调性可知，当x<2时，2-x>0且单调递增，对数函数y=log₃(2-x)在(-∞,2)上单调递减。7.由对数运算法则log₅(m)+log₅(n+1)=log₅[m(n+1)]=1，可得m(n+1)=5，即n=5/m-1。故mn=5-2m。8.函数f(x)=|log₃(2x-1)|的定义域为(1/2,+∞)，且f(1/(2-x))=|log₃(2-2x)|≠f(x)，故图像不关于y轴对称。9.函数f(x)=log₃(x+a)的单调性由对数底数3>1决定，此时函数单调递增的条件是真数x+a>0，即a≥0，a>0只是其中一种情况。10.由复合函数单调性可知，当x<1时，1-x>0且单调递增，对数函数y=log₃(1-x)在(-∞,1)上单调递减。四、简答题1.由对数真数大于0可得2x-1>0，解