2025-2026年江苏省苏教版高二数学第三章对数函数练习题

2025-2026年江苏省苏教版高二数学第三章对数函数练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=log₃(x-1)，其定义域为________。A．(-∞,1)∪(1,+∞)B．(0,+∞)C．[1,+∞)D．(-1,+∞)解析：对数函数f(x)=log₃(x-1)的定义域需满足x-1>0，即x>1，故定义域为(1,+∞)，正确选项为C。选项A错误因未包含1，选项B错误因未满足对数真数大于0，选项D错误因包含x=0时真数为负数。2.若log₅x=2，则x的值为________。A．25B．10C．5²D．1/25解析：根据对数定义，log₅x=2等价于5²=x，即x=25，正确选项为A。选项B、C、D均不符合对数方程的解。3.函数g(x)=log₄(2x-3)的图像可由函数h(x)=log₄x的图像________得到。A．向左平移3个单位B．向右平移3个单位C．向左平移1个单位D．向右平移1个单位解析：函数g(x)=log₄(2x-3)可变形为g(x)=log₄[2(x-1/2)]，即g(x)=log₄2+log₄(x-1/2)，其图像为h(x)=log₄x向右平移1个单位，正确选项为D。4.若a>b>1，则下列不等式正确的是________。A．logₐ(b)<logₐ(1)B．logₐ(b)>logₐ(1)C．logₐ(b)=logₐ(1)D．logₐ(b)与logₐ(1)大小关系不确定解析：因a>b>1，对数函数y=logₐ(x)在(1,+∞)上单调递增，故logₐ(b)>logₐ(1)=0，正确选项为B。5.函数f(x)=log₃(3x²-5x+2)的定义域为________。A．(0,2)B．(-∞,1/3)∪(2,+∞)C．[1/3,2]D．(1/3,2)解析：需满足3x²-5x+2>0，解不等式得x<1/3或x>2，故定义域为(-∞,1/3)∪(2,+∞)，正确选项为B。6.若logₓ2=1/2，则x的值为________。A．4B．√2C．1/4D．1/√2解析：logₓ2=1/2等价于x^(1/2)=2，即x=4，正确选项为A。选项B、C、D均不符合对数方程的解。7.函数y=2-log₅(1-x)的值域为________。A．(-∞,2)B．(0,2)C．(0,+∞)D．(-∞,0)∪(0,2)解析：因1-x>0，得x<1，对数函数log₅(1-x)在(-∞,1)上单调递减，取值范围为(-∞,log₅1)=(-∞,0)，故2-log₅(1-x)的值域为(0,+∞)，正确选项为C。8.若log₃(2a-1)=log₃(3-a)，则a的值为________。A．1B．2C．-1D．3解析：由对数等式性质，2a-1=3-a，解得a=2，正确选项为B。选项A、C、D均不满足原方程。9.函数f(x)=logₐ(x²-2x+3)在(1,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________。A．(0,1)B．(1,+∞)C．(0,1)∪(1,+∞)D．(0,1)解析：函数t=x²-2x+3在(1,+∞)上单调递增，对数函数y=logₐ(t)在t>1时单调性与a>1一致，故a>1，正确选项为B。10.若logₐ(4)=1/2，则a的值为________。A．2B．4C．√2D．1/√2解析：logₐ(4)=1/2等价于a^(1/2)=4，即a=16，正确选项为B。选项C、D错误因计算错误。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若log₃(9x)=4，则x=________。参考答案：27解析：log₃(9x)=4等价于9x=3⁴，即9x=81，解得x=9。2.函数f(x)=log₅(x+1)的图像过点________。参考答案：(4,3)解析：令x+1=5³，得x=4，此时f(4)=log₅5³=3，故图像过点(4,3)。3.若logₐ(2)>1，则实数a的取值范围是________。参考答案：(0,1)解析：对数函数y=logₐ(x)在(0,1)上单调递减，故a需满足0<a<1。4.函数g(x)=logₓ(2x-1)的定义域为________。参考答案：(1/2,+∞)解析：需满足2x-1>0且x>0且x≠1，解得x>1/2。5.若log₃(2a+1)+log₃(3-a)=1，则a=________。参考答案：2解析：由对数性质，log₃[(2a+1)(3-a)]=1，即2a+1=3-a，解得a=2。6.函数y=3-log₂(1-x)的值域为________。参考答案：(1,+∞)解析：因1-x>0，得x<1，对数函数log₂(1-x)在(-∞,1)上单调递减，取值范围为(-∞,log₂1)=(-∞,0)，故3-log₂(1-x)的值域为(1,+∞)。7.若logₐ(5)=2，则a³=________。参考答案：125解析：logₐ(5)=2等价于a²=5，故a³=(a²)•a=5•√5=25√5，正确答案为125。8.函数f(x)=log₃(2x²-3x+1)的值域为________。参考答案：R解析：因2x²-3x+1=(2x-1)(x-1)，其取值范围为(0,+∞)，对数函数y=log₃(t)在(0,+∞)上取值范围为R。9.若logₓ(8)=3，则x=________。参考答案：2解析：logₓ(8)=3等价于x³=8，解得x=2。10.函数y=2log₅(x-1)+1的图像可由函数h(x)=log₅x的图像________得到。参考答案：向右平移1个单位，向上平移1个单位解析：y=2log₅(x-1)+1可分解为y=2log₅(x-1)+2-1，即h(x)向右平移1个单位，再向上平移1个单位。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若a>b>1，则logₐ(b)>logₐ(1)正确。参考答案：正确解析：对数函数y=logₐ(x)在(1,+∞)上单调递增，故logₐ(b)>logₐ(1)=0。2.函数f(x)=log₃(x²-1)的图像关于原点对称。参考答案：错误解析：f(x)为偶函数，图像关于y轴对称，而非原点。3.若logₐ(3)=1，则a=3。参考答案：错误解析：logₐ(3)=1等价于a=3，但a需满足a>0且a≠1，故a=3正确，但题目表述易混淆。4.函数g(x)=log₅(1-x)在(-∞,1)上单调递增。参考答案：错误解析：g(x)在(-∞,1)上单调递减，因对数真数1-x随x增大而减小。5.若log₃(a)+log₃(b)=log₃(3)，则ab=3。参考答案：正确解析：由对数性质，log₃(ab)=log₃(3)，故ab=3。6.函数f(x)=log₄(2x+1)的图像可由函数h(x)=log₄x的图像向左平移1个单位得到。参考答案：错误解析：f(x)=log₄(2x+1)可变形为f(x)=log₄[2(x+1/2)]，即h(x)向左平移1/2个单位。7.若logₐ(4)>logₐ(9)，则a>1。参考答案：正确解析：对数函数y=logₐ(x)在a>1时单调递增，故logₐ(4)>logₐ(9)等价于4<9，即a>1。8.函数g(x)=log₃(1-x²)的定义域为(-1,1)。参考答案：错误解析：需满足1-x²>0，即-1<x<1，但x≠0，故定义域为(-1,0)∪(0,1)。9.若logₓ(2)=1/2，则x=√2。参考答案：错误解析：logₓ(2)=1/2等价于x^(1/2)=2，即x=4。10.函数f(x)=log₅(x+2)的图像与y轴相交。参考答案：错误解析：f(x)的定义域为(-2,+∞)，故图像不过y轴。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=log₃(2x-1)的定义域。参考答案：x>1/2解析：需满足2x-1>0，即x>1/2。2.若logₐ(5)=2，求a的值。参考答案：a=√5解析：logₐ(5)=2等价于a²=5，故a=√5。3.求函数g(x)=log₅(3-x)的值域。参考答案：R解析：因3-x>0，得x<3，对数函数y=log₅(t)在(0,+∞)上取值范围为R。4.若log₃(2a+1)+log₃(a-1)=2，求a的值。参考答案：a=4解析：由对数性质，log₃[(2a+1)(a-1)]=2，即2a²-a-1=9，解得a=4。5.求函数f(x)=log₄(x²-2x+3)的值域。参考答案：R解析：因x²-2x+3=(x-1)²+2≥2，对数函数y=log₄(t)在[2,+∞)上取值范围为R。6.若logₐ(9)=2，求a的值。参考答案：a=3解析：logₐ(9)=2等价于a²=9，故a=3。7.求函数y=2-log₂(1-x)的值域。参考答案：(1,+∞)解析：因1-x>0，得x<1，对数函数log₂(1-x)在(-∞,1)上单调递减，取值范围为(-∞,0)，故2-log₂(1-x)的值域为(1,+∞)。8.若logₓ(8)=3，求x的值。参考答案：x=2解析：logₓ(8)=3等价于x³=8，解得x=2。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某城市人口增长模型为P(t)=P₀•2^(-0.1t)，其中P₀为初始人口，t为年份，若10年后人口为初始人口的1/2，求初始人口P₀。参考答案：P₀=512解析：P(10)=P₀•2^(-1)=P₀/2，即2^(-0.1×10)=1/2，解得P₀=512。2.某商品价格下降30%后，售价为60元，求原价。参考答案：原价=85.71元解析：设原价为x，则0.7x=60，解得x=85.71元。3.某工厂生产成本C(x)=5000+30x-0.1x²元，其中x为产量，求平均成本最低时的产量。参考答案：x=150解析：平均成本y=(5000+30x-0.1x²)/x=30-0.1x+5000/x，求导得y'=-0.1-5000/x²，令y'=0，解得x=150。4.某投资收益模型为R(t)=1000•(1+0.05)^t，其中t为年数，求5年后的收益。参考答案：R(5)=1276.28元解析：R(5)=1000•(1.05)^5=1276.28元。5.某城市空气质量指数AQI模型为AQI=100•log(1+2^(-0.1P)),其中P为污染物浓度，若AQI=100，求P的值。参考答案：P=10解析：100=100•log(1+2^(-0.1P))，即log(1+2^(-0.1P))=1，解得P=10。6.某银行利率模型为A=P•(1+r)^t，其中A为本息和，P为本金，r为年利率，t为年数，若本金1000元存3年后的本息和为1157.63元，求年利率。参考答案：r=5%解析：1157.63=1000•(1+r)^3，解得r=5%。7.某公司员工工资增长模型为W(t)=5000•(1+0.03)^t，其中t为年数，求5年后的工资。参考答案：W(5)=5863.84元解析：W(5)=5000•(1.03)^5=5863.84元。8.某产品销售模型为S(t)=1000•(1-0.1)^t，其中t为年数，求3年后的销售额。参考答案：S(3)=729元解析：S(3)=1000•(0.9)^3=729元。六、案例分析题（本大题共9小题，每小题2分，共18分）1.某公司股票价格模型为P(t)=50•log(1+0.02t)，其中t为年数，求5年后的股票价格。参考答案：P(5)=56.86元解析：P(5)=50•log(1+0.02×5)=56.86元。2.某城市人口增长模型为P(t)=P₀•2^(-0.05t)，其中P₀为初始人口，t为年份，若5年后人口为初始人口的1.2倍，求初始人口P₀。参考答案：P₀≈83.33解析：P(5)=P₀•2^(-0.25)=1.2P₀，解得P₀≈83.33。3.某商品价格下降模型为P(t)=100•(1-0.05)^t，其中t为年数，求3年后的价格。参考答案：P(3)=82.65元解析：P(3)=100•(0.95)^3=82.65元。4.某工厂生产成本模型为C(x)=2000+20x-0.1x²元，其中x为产量，求平均成本最低时的产量。参考答案：x=100解析：平均成本y=(2000+20x-0.1x²)/x=20-0.1x+2000/x，求导得y'=-0.1-2000/x²，令y'=0，解得x=100。5.某投资收益模型为R(t)=5000•(1+0.04)^t，其中t为年数，求4年后的收益。参考答案：R(4)=6253.60元解析：R(4)=5000•(1.04)^4=6253.60元。6.某城市空气质量指数模型为AQI=80•log(1+2^(-0.1P)),其中P为污染物浓度，若AQI=80，求P的值。参考答案：P=8解析：80=80•log(1+2^(-0.1P))，即log(1+2^(-0.1P))=1，解得P=8。7.某公司员工工资增长模型为W(t)=8000•(1+0.02)^t，其中t为年数，求6年后的工资。参考答案：W(6)=9445.76元解析：W(6)=8000•(1.02)^6=9445.76元。8.某产品销售模型为S(t)=1500•(1-0.08)^t，其中t为年数，求2年后的销售额。参考答案：S(2)=1105.92元解析：S(2)=1500•(0.92)^2=1105.92元。9.某银行利率模型为A=P•(1+r)^t，其中A为本息和，P为本金，r为年利率，t为年数，若本金2000元存2年后的本息和为2208.16元，求年利率。参考答案：r=4%解析：2208.16=2000•(1+r)^2，解得r=4%。10.某城市人口增长模型为P(t)=P₀•2^(-0.03t)，其中P₀为初始人口，t为年份，若8年后人口为初始人口的1.5倍，求初始人口P₀。参考答案：P₀≈133.33解析：P(8)=P₀•2^(-0.24)=1.5P₀，解得P₀≈133.33。七、论述题（本大题共11小题，每小题2分，共22分）1.论述对数函数的单调性与底数的关系。参考答案：对数函数y=logₐ(x)在a>1时单调递增，在0<a<1时单调递减，且图像关于y轴对称。2.论述对数函数的定义域与值域。参考答案：对数函数y=logₐ(x)的定义域为(0,+∞)，值域为R，且图像过点(1,0)。3.论述对数函数的图像平移规律。参考答案：y=logₐ(x)向左平移h个单位得y=logₐ(x+h)，向上平移k个单位得y=logₐ(x)+k。4.论述对数函数在实际问题中的应用。参考答案：对数函数可用于人口增长、价格变化、投资收益等实际问题，如P(t)=P₀•2^(-kt)。5.论述对数函数的性质在解题中的应用。参考答案：对数函数的性质可用于化简对数式、解对数方程、求定义域等，如logₐ(mn)=logₐ(m)+logₐ(n)。6.论述对数函数与指数函数的关系。参考答案：对数函数是指数函数的反函数，如y=logₐ(x)与y=a^x互为反函数。7.论述对数函数在经济学中的应用。参考答案：对数函数可用于描述价格弹性、成本函数等经济学模型，如C(x)=k+logₐ(x)。8.论述对数函数在物理学中的应用。参考答案：对数函数可用于描述声强、地震震级等物理学模型，如L=10log₁₀(I/I₀)。9.论述对数函数在计算机科学中的应用。参考答案：对数函数可用于算法复杂度分析、信息熵计算等，如二分查找的时间复杂度为log₂n。10.论述对数函数在生态学中的应用。参考答案：对数函数可用于描述种群增长、生态平衡等，如N(t)=N₀•e^kt。11.论述对数函数在医学中的应用。参考答案：对数函数可用于描述药物浓度变化、传染病传播等，如C(t)=C₀•e^(-kt)。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.A3.D4.B5.B6.A7.C8.B9.B10.B解析：1.定义域需x-1>0，故x>1；2.对数定义；3.图像平移性质；4.对数函数单调性；5.解不等式；6.对数定义；7.对数函数单调性；8.对数等式性质；9.对数函数单调性；10.对数定义。二、填空题1.2712.(4,3)13.(0,1)14.(1/2,+∞)15.216.(1,+∞)17.12518.R19.220.向右平移1个单位，向上平移1个单位