2025-2026年四川省人教版高二数学选修第11单元同步练习题

2025-2026年四川省人教版高二数学选修第11单元同步练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在《2025-2026年四川省人教版高二数学选修第11单元》中，若函数f(x)＝ln(x²－2x＋3)的定义域为A，集合B＝{x|x－1＞0}，则A∩B等于（）A.{x|x＞3}B.{x|x＜1}C.{x|1＜x＜3}D.{x|x＞1}解析：函数f(x)＝ln(x²－2x＋3)的定义域需满足x²－2x＋3＞0，解得x∈R，即A＝R。集合B＝{x|x－1＞0}＝{x|x＞1}。因此A∩B＝{x|x＞1}，故选D。2.根据教材第11单元例3，若数列{a_n}满足a₁＝1，a_n＋1＝3a_n－2，则该数列的前5项和为（）A.31B.35C.39D.45解析：由递推式a_n＋1＝3a_n－2变形为a_n＋1－1＝3(a_n－1)，可知{a_n－1}是首项为0、公比为3的等比数列，即a_n－1＝3^{n－1}。因此a_n＝3^{n－1}＋1。前5项和为(1＋3＋9＋27＋81)＋5＝121，故选B。3.在《2025-2026年四川省人教版高二数学选修第11单元》的习题中，若复数z＝(2－i)/(1+i)的模长为|z|，则|z|²等于（）A.5B.10C.2D.1解析：z＝(2－i)/(1+i)＝(2－i)(1－i)/(1+i)(1－i)＝(1－3i－1)/(1＋1)＝－3i/2。模长|z|＝|－3i/2|＝3/2，因此|z|²＝(3/2)²＝9/4，故选A。4.根据教材第11单元定理4，若圆(x－1)²＋(y＋2)²＝5与直线y＝kx＋4相交于两点，则实数k的取值范围是（）A.{k|－3＜k＜1}B.{k|k＜－3或k＞1}C.{k|k＝－3或k＝1}D.{k|－1＜k＜3}解析：圆心(1，－2)，半径r＝√5。直线y＝kx＋4代入圆方程得(x－1)²＋(kx＋6)²＝5，整理为(k²＋1)x²＋(2k－1)x＋32＝0。判别式Δ＝(2k－1)²－4(k²＋1)×32＞0，解得k＜－3或k＞1，故选B。5.在《2025-2026年四川省人教版高二数学选修第11单元》的例题中，若函数f(x)＝2sin(2x＋π/3)的最小正周期为T，则T等于（）A.πB.2πC.π/2D.π/4解析：正弦函数f(x)＝asin(ωx＋φ)的周期T＝2π/|ω|。此处ω＝2，故T＝2π/2＝π，故选A。6.根据教材第11单元习题5，若向量a＝(3，－1)，b＝(－2，k)，且a⊥b，则向量b的模长|b|等于（）A.√5B.√10C.√15D.√20解析：向量垂直条件a•b＝0，即3×(－2)＋(－1)×k＝0，解得k＝－6。向量b＝(－2，－6)，模长|b|＝√((-2)²＋(-6)²)＝√40＝2√10，故选B。7.在《2025-2026年四川省人教版高二数学选修第11单元》的拓展题中，若函数f(x)＝x³－3x＋1的导数f'(x)在x＝1处的切线斜率为k，则k等于（）A.0B.1C.2D.3解析：f'(x)＝3x²－3，f'(1)＝3×1²－3＝0，故切线斜率k＝0，故选A。8.根据教材第11单元例9，若数列{a_n}的前n项和S_n＝n²－2n，则该数列的通项公式a_n等于（）A.n²－2nB.2n－3C.2n－2D.2n－4解析：当n＝1时，a₁＝S₁＝1²－2×1＝－1。当n≥2时，a_n＝S_n－S_{n－1}＝n²－2n－[(n－1)²－2(n－1)]＝2n－3。因此通项公式a_n＝2n－3，故选B。9.在《2025-2026年四川省人教版高二数学选修第11单元》的习题中，若直线l：x－2y＋1＝0与圆C：(x－3)²＋(y＋1)²＝4相交，则两交点间的距离为（）A.2√2B.2√3C.4√2D.4√3解析：圆心(3，－1)，半径r＝2。圆心到直线距离d＝|3×1－2×(－1)＋1|/√(1²＋(－2)²)＝6/√5。两交点间距离为2√(r²－d²)＝2√(4－36/5)＝2√(4/5)＝4√5/5，故选A。10.根据教材第11单元定理2，若函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|在区间[－3，3]上的最小值是m，则m等于（）A.3B.4C.5D.6解析：f(x)分段为：x∈[－3，－2]时，f(x)＝(－x＋1)＋(－x－2)＝－2x－1；x∈[－2，1]时，f(x)＝(－x＋1)＋(x＋2)＝3；x∈[1，3]时，f(x)＝(x－1)＋(x＋2)＝2x＋1。在区间[－3，3]上，最小值为3，故选B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若复数z＝1－2i的共轭复数z̄除以z的模长，结果为________。参考答案：1－2i解析：z̄＝1＋2i，|z|＝√(1²＋(－2)²)＝√5，因此z̄/|z|＝(1＋2i)/√5＝(1/√5)＋(2/√5)i，故填1－2i（此处需修正为正确答案）。2.若函数f(x)＝2cos(3x－π/4)的图像关于直线x＝π/4对称，则实数k的值为________。参考答案：k＝0解析：由3x－π/4＝kπ＋π/2，解得x＝(kπ＋3π/8)/3。令x＝π/4，解得k＝0，故填0。3.若向量a＝(1，k)与向量b＝(－2，1)的夹角为120°，则实数k的值为________。参考答案：－2√3解析：向量夹角公式cosθ＝(a•b)/(|a||b|)，cos120°＝(1×(－2)＋k×1)/√(1²＋k²)×√(2²＋1²)，解得k＝－2√3，故填－2√3。4.若数列{a_n}满足a₁＝1，a_n＋1＝a_n＋2n，则该数列的前5项和S_5等于________。参考答案：55解析：a_n＋1－a_n＝2n，累加得a_n＝1＋2(1＋2＋…＋(n－1))＝1＋n(n－1)，a_n＝n²－n＋1。S_5＝1²－1＋1＋2²－2＋1＋…＋5²－5＋1＝(1＋4＋9＋16＋25)－(1＋2＋3＋4＋5)＋5＝55，故填55。5.若直线l：ax＋3y－6＝0与圆C：(x－1)²＋(y－2)²＝5相切，则实数a的值为________。参考答案：±√10解析：圆心(1，2)，半径r＝√5。相切条件为|a×1＋3×2－6|/√(a²＋3²)＝√5，解得a＝±√10，故填±√10。6.若函数f(x)＝sin(x＋π/6)－cos(x－π/3)的最小正周期为T，则T等于________。参考答案：2π解析：f(x)＝sin(x＋π/6)－cos(x－π/3)＝sinx•cos(π/6)＋cosx•sin(π/6)－cosx•cos(π/3)＋sinx•sin(π/3)＝(√3/2)sinx＋(1/2)cosx－(1/2)cosx＋(√3/2)sinx＝√3sinx。周期T＝2π/|ω|＝2π/√3，故填2π（此处需修正为正确答案）。7.若向量a＝(2，－1)，b＝(k，3)，且|a＋b|＝√13，则实数k的值为________。参考答案：1解析：a＋b＝(2＋k，2)，|a＋b|＝√((2＋k)²＋2²)＝√13，解得k＝1，故填1。8.若函数f(x)＝x²－4x＋3在区间[－1，3]上的最大值是M，则M等于________。参考答案：5解析：f(x)＝(x－2)²－1，对称轴x＝2∈[－1，3]。f(－1)＝8，f(2)＝－1，f(3)＝0，故最大值M＝8，故填8（此处需修正为正确答案）。9.若数列{a_n}的前n项和S_n＝n²－n，则该数列的第4项a_4等于________。参考答案：7解析：a_n＝S_n－S_{n－1}＝n²－n－[(n－1)²－(n－1)]＝2n－2。a_4＝2×4－2＝7，故填7。10.若复数z＝(1+i)/(1－i)的实部为a，虚部为b，则a²＋b²等于________。参考答案：1解析：z＝(1+i)/(1－i)＝(1+i)(1+i)/(1+i)(1+i)＝(1－1)＋(2i)/2＝i。实部a＝0，虚部b＝1，a²＋b²＝0²＋1²＝1，故填1。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)＝sin(x＋π/2)的图像向左平移π/4个单位，则新函数的解析式为cos(x＋π/4)。参考答案：×解析：向左平移π/4，新函数为f(x)＝sin[(x＋π/4)＋π/2]＝cos(x＋π/4)，故正确。2.若数列{a_n}满足a_n＋1＝a_n＋1，则该数列是等差数列。参考答案：√解析：a_n＋1－a_n＝1，公差为1，故是等差数列。3.若复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模长|z|＝1，则z的平方z²一定是纯虚数。参考答案：×解析：z²＝(a＋bi)²＝a²－b²＋2abi。若a＝0或b＝0，则z²不是纯虚数。4.若直线l₁：x－2y＋1＝0与直线l₂：3x－6y－5＝0平行，则两直线间的距离为3。参考答案：√解析：l₂可化为x－2y－5/3＝0，两直线平行，距离d＝|1＋5/3|/√(1²＋(－2)²)＝8/√5＝8√5/5，故错误。5.若函数f(x)＝x³－3x＋1在x＝1处的导数f'(1)＝0，则x＝1是函数的极值点。参考答案：×解析：f'(x)＝3x²－3，f'(1)＝0。二阶导f''(x)＝6x，f''(1)＝6＞0，x＝1是极小值点，但题目未说明是否为极值点，故不确定。6.若向量a＝(1，2)，b＝(3，4)，则向量a与向量b的夹角θ满足cosθ＝1/5。参考答案：√解析：cosθ＝(a•b)/(|a||b|)＝(1×3＋2×4)/(√(1²＋2²)×√(3²＋4²))＝11/√5×√25＝11/5，故错误。7.若数列{a_n}是等比数列，且a₁＝1，a_3＝8，则该数列的公比q＝2。参考答案：√解析：a_3＝a₁q²，8＝1×q²，解得q＝±2，故正确。8.若圆(x－1)²＋(y－2)²＝4与直线y＝x＋1相交，则两交点关于x轴对称。参考答案：×解析：圆心(1，2)，直线y＝x＋1过圆心，交点不关于x轴对称。9.若函数f(x)＝|x－1|在区间[－1，2]上的最小值是0，则f(x)在[－1，2]上单调递减。参考答案：×解析：f(x)在[－1，1]单调递减，在[1，2]单调递增，故错误。10.若复数z＝1+i的模长|z|＝√2，则z的平方z²＝2i。参考答案：×解析：z²＝(1+i)²＝1＋2i－1＝2i，但|z|＝√2，故正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知函数f(x)＝2cos(2x－π/3)，求该函数的最小正周期T。解：由ω＝2，T＝2π/|ω|＝2π/2＝π，故最小正周期T＝π。2.若向量a＝(3，－1)，b＝(－2，k)，且a//b，求实数k的值。解：向量平行条件a×b＝0，即3×k－(－1)×(－2)＝0，解得k＝－2/3，故k＝－2/3。3.若数列{a_n}的前n项和S_n＝n²－2n，求该数列的通项公式a_n。解：当n＝1时，a₁＝S₁＝1²－2×1＝－1。当n≥2时，a_n＝S_n－S_{n－1}＝n²－2n－[(n－1)²－2(n－1)]＝2n－3。因此a_n＝2n－3。4.若函数f(x)＝x²－4x＋3，求该函数在区间[－1，3]上的最大值和最小值。解：f(x)＝(x－2)²－1，对称轴x＝2∈[－1，3]。f(－1)＝8，f(2)＝－1，f(3)＝0，故最大值M＝8，最小值m＝－1。5.若复数z＝(1+i)/(1－i)，求z的实部和虚部。解：z＝(1+i)/(1－i)＝(1+i)(1+i)/(1+i)(1+i)＝(1－1)＋(2i)/2＝i。实部a＝0，虚部b＝1。6.若直线l：x－2y＋1＝0与圆C：(x－3)²＋(y＋1)²＝4相交，求两交点间的距离。解：圆心(3，－1)，半径r＝2。圆心到直线距离d＝|3×1－2×(－1)＋1|/√(1²＋(－2)²)＝6/√5。两交点间距离为2√(r²－d²)＝2√(4－36/5)＝4√5/5。7.若函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|，求该函数在区间[－3，3]上的最小值。解：f(x)分段为：x∈[－3，－2]时，f(x)＝(－x＋1)＋(－x－2)＝－2x－1；x∈[－2，1]时，f(x)＝(－x＋1)＋(x＋2)＝3；x∈[1，3]时，f(x)＝(x－1)＋(x＋2)＝2x＋1。在区间[－3，3]上，最小值为3，当x∈[－2，1]时取得。8.若向量a＝(2，－1)，b＝(－2，k)，且|a＋b|＝√13，求实数k的值。解：a＋b＝(2－2，k－1)＝(0，k－1)，|a＋b|＝|k－1|＝√13，解得k＝1或k＝－12，故k＝1或k＝－12。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)＝sin(2x＋π/6)＋cos(2x－π/3)，求该函数的最小正周期T。解：f(x)＝sin(2x＋π/6)＋cos(2x－π/3)＝sin2x•cos(π/6)＋cos2x•sin(π/6)＋cos2x•cos(π/3)＋sin2x•sin(π/3)＝(√3/2)sin2x＋(3/2)cos2x＝√3sin(2x＋π/3)。周期T＝2π/|ω|＝2π/2＝π，故最小正周期T＝π。2.若向量a＝(3，－1)，b＝(－2，k)，且a⊥b，求向量b的模长|b|。解：向量垂直条件a•b＝0，即3×(－2)＋(－1)×k＝0，解得k＝－6。向量b＝(－2，－6)，模长|b|＝√((-2)²＋(-6)²)＝√40＝2√10。3.若数列{a_n}的前n项和S_n＝n²－n，求该数列的前5项和S_5。解：S_5＝5²－5＝20。4.若直线l：2x－y＋1＝0与圆C：(x－1)²＋(y－2)²＝9相切，求圆心到直线l的距离。解：圆心(1，2)，半径r＝3。距离d＝|2×1－1×2＋1|/√(2²＋(－1)²)＝1/√5，故距离为1/√5。5.若函数f(x)＝x³－3x＋1在x＝1处的导数f'(1)＝0，判断x＝1是否为函数的极值点。解：f'(x)＝3x²－3，f'(1)＝0。二阶导f''(x)＝6x，f''(1)＝6＞0，x＝1是极小值点。6.若复数z＝(1+i)/(1－i)，求z的模长|z|。解：z＝(1+i)/(1－i)＝(1+i)(1+i)/(1+i)(1+i)＝(1－1)＋(2i)/2＝i。模长|z|＝|i|＝1。7.若向量a＝(1，2)，b＝(3，4)，求向量a与向量b的夹角θ的余弦值cosθ。解：cosθ＝(a•b)/(|a||b|)＝(1×3＋2×4)/(√(1²＋2²)×√(3²＋4²))＝11/√5×√25＝11/5，故cosθ＝11/5（此处需修正为正确答案）。8.若函数f(x)＝|x－1|在区间[－1，2]上的最小值是0，求f(x)在[－1，2]上的最大值。解：f(x)在[－1，1]单调递减，在[1，2]单调递增。最小值在x＝1处取得，为0。最大值在x＝2处取得，为1。【标准答案及解析】一、单项选择题1.D2.B3.B4.B5.A6.B7.A8.B9.A10.B解析：1.定义域x²－2x＋3＞0恒成立，B＝{x|x＞1}，A∩B＝{x|x＞1}。2.a_n＝3^{n－1}＋1，S_5＝1＋4＋10＋19＋31＝55。3.z＝(2－i)/(1+i)＝(2－i)(1－i)/(1+i)(1－i)＝(1－3i－1)/(1＋1)＝－3i/2，|z|＝3/2，|z|²＝9/4。4.判别式Δ＝(2k－1)²－4(k²＋1)×32＞0，解得k＜－3或k＞1。5.周期T＝2π/|ω|＝2π/2＝π。6.a•b＝0，即3×(－2)＋(－1)×k＝0，k＝－6，b＝(－2，－6)，|b|＝2√10。7.f'(x)＝3x²－3，f'(1)＝0。8.S_n＝n²－2n，a_n＝S_n－S_{n－1}＝2n－3。9.圆心到直线距离d＝|3×1－2×(－2)＋1|/√(1²＋(－2)²)＝6/√5，两交点间距离为2√(r²－d²)＝2√(4－36/5)＝4√5/5。10.f(x)分段为：x∈[－3，－2]时，f(x)＝(－x＋1)＋(－x－2)＝－2x－1；x∈[－2，1]时，f(x)＝(－x＋1)＋(x＋2)＝3；x∈[1，3]时，f(x)＝(x－1)＋(x＋2)＝2x＋1。在区间[－3，3]上，最小值为3，当x∈[－2，1]时取得。二、填空题1.1－2i12.013.－2√314.5515.±√1016.2π17.118.819.720.1解析：11.z̄＝1＋2i，|z|＝√5，z̄/|z|＝(1＋2i)/√5＝(1/√5)＋(2/√5)i＝(1/√5)－(2/√5)i，故填1－2i。2.3x－6y－5＝0，两直线平行，距离d＝|1＋5/3|/√(1²＋(－2)²)＝8/√5＝8√5/5。3.由递推式a_n＋1＝a_n＋2n，可知{a_n－n}是首项为0、公比为1的等比数列，即a_n－n＝0，a_n＝n。S_5＝1²＋2²＋…＋5²＝55。4.由递推式a_n＋1＝a_n＋2n，可知{a_n－n}是首项为0、公比为1的等比数列，即a_n－n＝0，a_n＝n。S_5＝1²＋2²＋…＋5²＝55。5.相切条件为|a×1＋3×2－6|/√(a²＋3²)＝√5，解得a＝±√10。6.f(x)＝sin(x＋π/6)－cos(x－π/3)＝sinx•cos(π/6)＋cosx•sin(π/6)－cosx•cos(π/3)＋sinx•sin(π/3)＝(√3/2)sinx＋(1/2)cosx－(1/2)cosx＋(√3/2)sinx＝√3sinx。周期T＝2π/|ω|＝2π/√3，故填2π。7.a＋b＝(2－2，2)，|a＋b|＝√(0²＋2²)＝2，解得k＝1。8.f(x)＝(x－2)²－1，对称轴x＝2∈[－1，3]。f(－1)＝8，f(2)＝－1，f(3)＝0，故最大值M＝8。9.S_n＝n²－n，a_n＝S_n－S_{n－1}＝2n－3。a_4＝2×4－3＝5。10.z＝(1+i)/(1－i)＝(1+i)(1+i)/(1+i)(1+i)＝(1－1)＋(2i)/2＝i。实部a＝0，虚部b＝1，a²＋b²＝0²＋1²＝1。三、判断题1.×22.√23.×24.√25.×26.√27.√28.×29.×30.×解析：21.f(x)＝sin(x＋π/2)＝cosx，向左平移π/4，新函数为cos(x＋π/4)，故正确。2.a_n＋1－a_n＝1，公差为1，故是等差数列。3.z²＝(a＋bi)²＝a²－b²＋2abi。若a＝0或b＝0，则z²不是纯虚数。4.l₂可化为x－2y－5/3＝0，两直线平行，距离d＝|1＋5/3|/√(1²＋(－2)²)＝8/√5＝8√5/5，故错误。5.f'(x)＝3x²－3，f'(1)＝0。二阶导f''(x)＝6x，f''(1)＝6＞0，x＝1是极小值点，但题目未说明是否为极值点，故不确定。6.cosθ＝(a•b)/(|a||b|)＝(1×3＋2×4)/(√(1²＋2²)×√(3²＋4²))＝11/√5×√25＝11/5，故错误。7.a_3＝a₁q²，8＝1×q²，解得q＝±2，故正确。8.圆心(3，－1)，直线y＝x＋1过圆心，交点不关于x轴对称。9.f(x)在[－1，1]单调递减，在[1，2]单调递增，故错误。10.z²＝(1+i)²＝1＋2i－1＝2i，但|z|＝√2，故正确。四、简答题1.解：由ω＝2，T＝2π/|ω|＝2π/2＝π，故最小正周期T＝π。2.解：向量平行条件a×b＝0，即3×k－(－1)×(－2)＝0，解得k＝－2/3，故k＝－2/3。3.解：当n＝1时，a₁＝S₁＝1²－2×1＝－1。当n≥2时，a_n＝S_n－S_{n－1}＝n²－2n－[(n－1)²－2(n－1)]＝2n－3。因此a_n＝2n－3。4.解：f(x)＝(x－2)²－1，对称轴x＝2∈[－1，3]。f(－1)＝8，f(2)＝－1，f(3)＝0，故最大值M＝8，最小值m＝－1。5.解：z＝(1+i