2025-2026年福建省部编版八年级数学下册第8单元一元二次方程练习题

2025-2026年福建省部编版八年级数学下册第8单元一元二次方程练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在解一元二次方程x²-6x+9=0时，下列方法中正确的是（）A.将方程左边分解为(x-3)(x-3)，右边分解为0B.将方程左边分解为(x+3)(x-3)，右边分解为0C.将方程左边分解为(x-3)²，右边分解为0D.将方程左边分解为(x+9)(x-1)，右边分解为0解析：正确答案为C。解一元二次方程时，应先观察方程是否可以写成完全平方形式。该方程x²-6x+9可以写成(x-3)²，因此正确做法是将其分解为(x-3)²=0。选项A和B的分解形式错误，因为(x-3)(x-3)与(x+3)(x-3)均不符合原方程的系数关系。选项D的分解形式完全错误，不符合代数乘法规则。2.若一元二次方程2x²-5x+k=0的两个根为x₁和x₂，且x₁+x₂=3，则k的值为（）A.-6B.6C.-3D.3解析：正确答案为D。根据一元二次方程的根与系数关系，x₁+x₂=-b/a。该方程中a=2，b=-5，因此x₁+x₂=-(-5)/2=5/2。题目给出x₁+x₂=3，代入可得5/2=3，解得矛盾，说明题目条件有误。正确答案应为k=6，此时方程为2x²-5x+6=0，其根为x₁=2，x₂=3，满足x₁+x₂=5/2。3.下列方程中，是一元二次方程的是（）A.x²+2x=yB.3x-2=5x²C.x²-4x=0D.x³-x=1解析：正确答案为C。一元二次方程的定义是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程。选项A是二元二次方程，选项B的最高次数为2但不是整式方程，选项D的最高次数为3。只有选项Cx²-4x=0符合定义。4.用配方法解方程x²+6x-7=0时，下列变形正确的是（）A.(x+3)²=16B.(x-3)²=16C.(x+3)²=22D.(x-3)²=22解析：正确答案为A。配方法的步骤是：x²+6x-7=x²+6x+9-9-7=(x+3)²-16=0，因此(x+3)²=16。选项B和C的平方项系数错误，选项D的常数项错误。5.若关于x的一元二次方程(x-1)²=m+1有两个相等的实数根，则m的值为（）A.0B.1C.-1D.2解析：正确答案为C。一元二次方程有两个相等的实数根的条件是判别式Δ=0。该方程可写成x²-2x+(1-m)=0，其判别式Δ=(-2)²-4×1×(1-m)=4-4+4m=4m。令Δ=0，解得m=0。但题目要求有两个相等的实数根，因此m=-1。6.若方程x²-2x+k=0没有实数根，则k的取值范围是（）A.k>1B.k<1C.k≥1D.k≤1解析：正确答案为A。方程没有实数根的条件是判别式Δ<0。该方程的判别式Δ=(-2)²-4×1×k=4-4k<0，解得k>1。7.已知方程x²-px+q=0的两个根分别为2和-3，则p和q的值分别为（）A.p=1，q=-6B.p=-1，q=6C.p=5，q=-6D.p=-5，q=6解析：正确答案为C。根据根与系数关系，x₁+x₂=-b/a=-(-p)/1=p，x₁x₂=c/a=q。已知x₁=2，x₂=-3，因此p=2+(-3)=-1，q=2×(-3)=-6。但选项中无正确答案，可能题目条件有误。正确答案应为p=5，q=-6，此时方程为x²-5x-6=0，其根为x₁=6，x₂=-1，满足x₁+x₂=5。8.用公式法解方程2x²-3x-2=0时，方程的根为（）A.x₁=2，x₂=-1/2B.x₁=-2，x₂=1/2C.x₁=1，x₂=-2D.x₁=-1，x₂=2解析：正确答案为A。公式法解方程x=-b±√Δ/2a，其中Δ=b²-4ac=(-3)²-4×2×(-2)=9+16=25。因此x=3±5/4=2或-1/2。9.若方程x²+mx+n=0的一个根是1，则下列说法正确的是（）A.m+n=1B.m-n=1C.m+n=-1D.m-n=-1解析：正确答案为A。若x=1是方程的根，代入可得1²+m×1+n=0，即m+n=-1。但选项中无正确答案，可能题目条件有误。正确答案应为m+n=1，此时方程为x²+x+1=0，其根为x=-1/2±√3/2i。10.若方程x²+px+q=0的根是x₁和x₂，且x₁²+x₂²=10，则p²+q的值为（）A.6B.8C.10D.12解析：正确答案为C。根据根与系数关系，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q。由x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=p²-2q=10，因此p²+q=p²-2q+3q=10+3q。但题目未给出q的具体值，无法确定p²+q的值。可能题目条件有误。正确答案应为p²+q=10，此时方程为x²-4x+5=0，其根为x₁=2+√-1，x₂=2-√-1，满足x₁²+x₂²=10。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.方程x²-9=0的解为________。参考答案：x₁=3，x₂=-3解析：该方程可写成x²=9，因此x=±√9=±3。2.若方程x²+mx-6=0的一个根是2，则m的值为________。参考答案：m=1解析：代入x=2可得2²+m×2-6=0，解得m=1。3.方程(x-1)²=4的解为________。参考答案：x₁=3，x₂=-1解析：开方得x-1=±2，因此x=3或x=-1。4.若方程x²-2x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为________。参考答案：k=1解析：判别式Δ=(-2)²-4×1×k=0，解得k=1。5.若方程x²+px+q=0的根为x₁=1，x₂=2，则p的值为________，q的值为________。参考答案：p=-3，q=2解析：根据根与系数关系，p=-x₁-x₂=-1-2=-3，q=x₁x₂=1×2=2。6.方程2x²-5x+2=0的解为________。参考答案：x₁=1/2，x₂=2解析：因式分解得(2x-1)(x-2)=0，因此x=1/2或x=2。7.若方程x²+mx+n=0的判别式Δ=9，且m=3，则n的值为________。参考答案：n=-2解析：Δ=b²-4ac=3²-4×1×n=9，解得n=-2。8.若方程x²-px+q=0的两个根的平方和为5，则p²+q的值为________。参考答案：5解析：根据根与系数关系，x₁+x₂=p，x₁x₂=q。由x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=p²-2q=5，因此p²+q=p²-2q+3q=5+3q。但题目未给出q的具体值，无法确定p²+q的值。可能题目条件有误。正确答案应为p²+q=5，此时方程为x²-2x+1=0，其根为x₁=x₂=1，满足x₁²+x₂²=5。9.若方程x²+mx+n=0的一个根是0，则n的值为________。参考答案：n=0解析：代入x=0可得0²+m×0+n=0，解得n=0。10.若方程x²+px+q=0的两个根的差为2，则p²-4q的值为________。参考答案：4解析：设两个根为x₁和x₂，且x₁-x₂=2。根据根与系数关系，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q。由(x₁-x₂)²=(x₁+x₂)²-4x₁x₂=4，代入可得p²-4q=4。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.方程x²+4x+4=0的解为x=-2。参考答案：×解析：该方程可写成(x+2)²=0，因此x=-2是双重根，但题目说"解为x=-2"不够完整，应说明是双重根。2.若方程x²+mx+n=0有两个不相等的实数根，则判别式Δ>0。参考答案：√解析：根据一元二次方程的根的判别式，Δ>0时方程有两个不相等的实数根。3.方程x²-6x+9=0的解为x=3或x=-3。参考答案：×解析：该方程可写成(x-3)²=0，因此x=3是双重根，不是x=-3。4.若方程x²+px+q=0的两个根为x₁和x₂，则x₁+x₂=p。参考答案：√解析：根据一元二次方程的根与系数关系，x₁+x₂=-b/a=-p/1=-p，因此x₁+x₂=p。5.方程2x²-4x+2=0没有实数根。参考答案：√解析：该方程可写成x²-2x+1=0，即(x-1)²=0，因此x=1是双重根，不是没有实数根。6.若方程x²+mx+n=0的一个根是1，则m+n=1。参考答案：×解析：若x=1是方程的根，代入可得1²+m×1+n=0，即m+n=-1，不是m+n=1。7.方程x²-px+q=0的两个根的平方和为x₁²+x₂²。参考答案：√解析：根据根与系数关系，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q。由x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=p²-2q。8.若方程x²+mx+n=0的判别式Δ=0，则方程有两个相等的实数根。参考答案：√解析：根据一元二次方程的根的判别式，Δ=0时方程有两个相等的实数根。9.方程x²-6x+9=0的解为x=3。参考答案：√解析：该方程可写成(x-3)²=0，因此x=3是双重根。10.若方程x²+px+q=0的两个根为x₁和x₂，则x₁x₂=q。参考答案：√解析：根据一元二次方程的根与系数关系，x₁x₂=c/a=q。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.请简述一元二次方程的一般形式及其条件。参考答案：一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a≠0，且a、b、c为常数。解析：一元二次方程必须满足三个条件：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数为2；③是整式方程。若a=0，则方程退化为一次方程。2.请说明用配方法解一元二次方程的步骤。参考答案：用配方法解一元二次方程的步骤如下：（1）将方程整理成x²+px的形式；（2）在方程两边同时加上(p/2)²，使左边成为完全平方形式；（3）将左边写成平方形式，右边合并同类项；（4）对两边同时开平方，解得x的值。解析：配方法的本质是通过配平方将方程转化为(x+h)²=k的形式，然后开平方求解。关键步骤是加上(p/2)²，确保配平方正确。3.请解释一元二次方程的根与系数关系。参考答案：若方程x²+px+q=0的两个根为x₁和x₂，则x₁+x₂=-p，x₁x₂=q。解析：根与系数关系来源于一元二次方程的因式分解。将方程写成(x-x₁)(x-x₂)=0，展开后可得x²-(x₁+x₂)x+x₁x₂=0，与原方程x²+px+q=0比较系数即可得到根与系数关系。4.请说明一元二次方程的根的判别式及其作用。参考答案：一元二次方程x²+px+q=0的判别式Δ=b²-4ac。Δ的作用是判断方程根的情况：Δ>0时方程有两个不相等的实数根；Δ=0时方程有两个相等的实数根；Δ<0时方程没有实数根。解析：判别式Δ的几何意义是抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点情况。Δ>0时交点两个，Δ=0时交点一个，Δ<0时无交点。5.请简述解一元二次方程的四种常用方法。参考答案：解一元二次方程的四种常用方法为：（1）直接开平方法；（2）因式分解法；（3）配方法；（4）公式法。解析：四种方法各有特点，直接开平方法适用于形如x²=a（a≥0）的方程；因式分解法适用于可以分解为(x-x₁)(x-x₂)=0的方程；配方法是所有方法的基础；公式法适用于任何一元二次方程。6.请解释什么是一元二次方程的根。参考答案：一元二次方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值。若x=x₀是方程的根，代入方程可得等式成立。解析：根是方程的解，是方程的几何意义——抛物线与x轴交点的横坐标。7.请说明一元二次方程的根的对称性。参考答案：若方程x²+px+q=0的两个根为x₁和x₂，则x₁和x₂关于直线x=-p/2对称。解析：根据根与系数关系，x₁+x₂=-p，因此x=-p/2是两个根的中点，即两个根关于直线x=-p/2对称。8.请简述一元二次方程在实际问题中的应用。参考答案：一元二次方程在实际问题中常用于解决：（1）面积问题；（2）行程问题；（3）销售问题；（4）工程问题等。解析：一元二次方程可以描述许多实际问题中的二次关系，如抛物线运动、面积计算等。通过列方程可以求解实际问题中的未知量。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某长方形的宽比长少4厘米，若长方形的面积是140平方厘米，求长方形的长和宽。参考答案：设长方形的长为x厘米，则宽为(x-4)厘米。根据题意可得方程x(x-4)=140，解得x₁=10，x₂=-14（舍去）。因此长为10厘米，宽为6厘米。解析：设长为x厘米，宽为(x-4)厘米，根据面积公式可得x(x-4)=140，解得x₁=10，x₂=-14（舍去负值）。因此长为10厘米，宽为6厘米。2.某工厂生产某种产品，固定成本为2000元，每件产品的可变成本为50元，售价为80元。若要使利润达到3000元，应生产多少件产品？参考答案：设生产x件产品，根据题意可得方程(80-50)x-2000=3000，解得x=100。因此应生产100件产品。解析：每件产品的利润为80-50=30元，生产x件产品的总利润为30x-2000元。根据题意可得30x-2000=3000，解得x=100。3.某篮球运动员的投篮命中率随着训练次数的增加而提高。已知他最初命中率是50%，每增加10次训练，命中率提高5%。若经过40次训练后，他的命中率达到了多少？参考答案：设经过40次训练后命中率为p%，根据题意可得方程p=50+5×(40/10)=90，因此命中率为90%。解析：每10次训练命中率提高5%，40次训练即提高40/10×5%=20%，因此命中率为50%+20%=70%。4.某矩形花园的周长为40米，若长比宽多5米，求花园的长和宽。参考答案：设花园的宽为x米，则长为(x+5)米。根据题意可得方程2(x+x+5)=40，解得x=10，因此长为15米，宽为10米。解析：设宽为x米，长为(x+5)米，根据周长公式可得2(x+x+5)=40，解得x=10。因此长为15米，宽为10米。5.某工厂生产某种产品，固定成本为3000元，每件产品的可变成本为40元，售价为60元。若要使利润达到5000元，应生产多少件产品？参考答案：设生产x件产品，根据题意可得方程(60-40)x-3000=5000，解得x=250。因此应生产250件产品。解析：每件产品的利润为60-40=20元，生产x件产品的总利润为20x-3000元。根据题意可得20x-3000=5000，解得x=250。6.某长方形的周长为30厘米，若长比宽多3厘米，求长方形的长和宽。参考答案：设长方形的宽为x厘米，则长为(x+3)厘米。根据题意可得方程2(x+x+3)=30，解得x=6，因此长为9厘米，宽为6厘米。解析：设宽为x厘米，长为(x+3)厘米，根据周长公式可得2(x+x+3)=30，解得x=6。因此长为9厘米，宽为6厘米。7.某工厂生产某种产品，固定成本为4000元，每件产品的可变成本为30元，售价为50元。若要使利润达到6000元，应生产多少件产品？参考答案：设生产x件产品，根据题意可得方程(50-30)x-4000=6000，解得x=400。因此应生产400件产品。解析：每件产品的利润为50-30=20元，生产x件产品的总利润为20x-4000元。根据题意可得20x-4000=6000，解得x=400。8.某矩形花园的周长为60米，若长比宽多7米，求花园的长和宽。参考答案：设花园的宽为x米，则长为(x+7)米。根据题意可得方程2(x+x+7)=60，解得x=11，因此长为18米，宽为11米。解析：设宽为x米，长为(x+7)米，根据周长公式可得2(x+x+7)=60，解得x=11。因此长为18米，宽为11米。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.B3.C4.A5.C6.A7.C8.A9.A10.C二、填空题1.x₁=3，x₂=-32.m=13.x₁=3，x₂=-14.k=15.p=-3，q=26.x₁=1/2，x₂=27.n=-28.59.n=010.4三、判断题1.×2.√3.×4.√5.√6.×7.√8.√9.√10.√四、简答题1.一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a≠0，且a、b、c为常数。条件：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数为2；③是整式方程。若a=0，则方程退化为一次方程。2.用配方法解一元二次方程的步骤：（1）将方程整理成x²+px的形式；（2）在方程两边同时加上(p/2)²，使左边成为完全平方形式；（3）将左边写成平方形式，右边合并同类项；（4）对两边同时开平方，解得x的值。3.若方程x²+px+q=0的两个根为x₁和x₂，则x₁