【《有理数域上多项式因式分解的几种方法研究》6600字（论文）】

有理数域上多项式因式分解的几种方法研究摘要：多项式因式分解是大学基础课程《高等代数》的内容之一。多项式因式分解的方法我们在中学时也过学习，但中学所学习的知识却不足以支撑我们学习大学中多项式因式分解。本文首先给出了因式分解需要的必备知识。根据预备知识出发我总结了几种因式分解的方法，并对每一种方法进行评析。让我们面对不同的类型的多项式时可以快速的选择对应的方法，从而加快我们因式分解的速度。关键词：有理数域；多项式；因式分解目录1绪论 ⑤通过综合除法的结果的因式分解式.[4]例1对因式分解.解：因为在中前的系数是2.其因子有.常数是-3的因数有，所以的有理数根可能为为，逐一验算得到是的根.所以分解为：.例2对因式分解.解：因为在中前的系数是4.其因子有.常数是-1的因数有，所以的有理数根可能为为，逐一验算得到是的根.所以分解为：.例3求的因式分解解：因为在中前的系数是1.其因子有.常数是-3的因数有，所以的有理数根可能为为，逐一验算得到是的四重根.是的单根所以分解为：.如果我们计算出多项式可能的有理根数较少，而且该多项式的次数较低.那这时如果我们使用求有理根法则可以加速我们对有理数域多项式的分解.但多项式可能的有理根数较多，多项式的次数较高时，我们还利用求根法对多项式进行因式分解时就会出现不少的问题.如对有理根进行验算时计算量较大,验算过程比较冗长,比较考验耐心,所以对简单多项式进行因式分解的我们可以选用求有理根法.3.2待定系数法我想当我们看到这个名词时我们并不会陌生，那我们在有理数域对多项式进行因式分解时应该如何使用这个方法呢.我们可以假设要分解的多项式是有多个系数未知的式子的乘积组成的.但这个乘积经过合并运算后，每项的系数都是一个代数式。再有恒等的性质我们可以解出这些未知的系数.例4对因式分解.解：因为在中前的系数是1.其因子有.常数是-4的因数有，所以的有理数根可能为为，经过验算可得：，，，，，，所以的有理根是和.此时我们假设可分解成以下形式：经过合并运算得此时与原多项式进行比较，我们可列出以下方程组：解得a=b=3最后求得多项式的因式分解式如下所示：例5对因式分解.解：因为多的最高次数为4次且系数为1。所以在有理数域上可以先假设可以分解为：通过观察的分解式我们可得通过与原式相比我们可知通过对比等式两边的式字我们可以得到下面的方程组：

通过计算解出：最后求出该多项式的因式分解式如下所示：例6对因式分解.解：因为多的最高次数为4次且系数为1。常数为5,而5是素数.所所以在有理数域上可以先假设可以分解为：通过观察的分解式我们可得通过与原式相比我们可知通过对比等式两边的式字我们可以得到下面的方程组：

通过计算解出：最后求出该多项式的因式分解式如下所示：在有理数域如果我们想要使用待定系数法对多项式进行因式分解时我们要知道该多项式在有理数域进行因式分解后该多项式可以被分解成什么形式。通过上面的例题我们不难发现我们使用待定系数法是把求多项式分解因式问题转换成解方程问题,通转化使我们可以能顺利解决问题.但我们要使用待定系数法需要我们有较强的数感和计算能力.否则使用待定系数法就会比较消耗我们的时间.3.3重因式分离法且则的分解式：是的首项系数，是首项系数为的不可约多项式.对两边求导得:其中每个都不能整除，利用辗转相除法的，使成立.所以可知与的因式相同.它们的差别是的因式重数为1重.所以求的因式即求的因式. 例7对因式分解.解:对多项式两边同时进行求导可得：.经过计算和的最大公因式如下所示：我们记.所以的不可约因式为，.又因为所以我们根据定理可知是的四重因式.所以多项式的标准分解式为：例8解：已知多项式.我们对多项式两边同时进行求导可得：.经过计算和的为：我们记所以的不可约因式为，.又因为根据定理可知是的三重因式.是的单因式.所以多项式的标准分解式为：例9对因式分解.解:对多项式两边同时进行求导可得：.经过计算和的最大公因式如下所示：.我们记.所以的不可约因式为，.又因为所以我们根据定理可知是的四重因式.为的三重因式.所以多项式可分解式为：重因式分离法是有理数域上多项式因式分解所有基本方法中的一个.通过重因式分离法我们可以快速的对有理数域上有重因式的多项式进行因式分解.但我们需要注意的是重因式分离法是有使用条件的，也就是说只有有理数域上的多项式有重因式我我们才可以用重因式分离法.3.4拆项添项法拆项添项法是有理数域上因式分解的方法之一.它的基本原理为：对低次多项式进行乘法运算时我们经常将几个不同的分类项合并起来成为一项,而使用拆项添项法就是将那些被分解合并或相互组合抵消的多个项目进行重新添加，或着根据有理数域上因式分解的需要将多项式其中的一项拆分成一项或多项.例10对因式分解解：通过观察多项式我们可以发现当我们把单项式拆分成.故有：所以例11解：通过观察多项式我们可以发现当我们把单项式拆分成.故有：所以例12对多项式进行分解因式.解：对多项式进行观察，我们可以正多项式中添加相反项，此时该多项式就可以化成：

所以例13对多项式进行分解因式.解：对多项式进行观察，我们可以正多项式中添加相反项，此时该多项式就可以化成：

所以我们要用拆项添项法对多项式进行因式分解时我们应该注意观察该多项式的构成，根据分解的需求进行观察看是拆项还是添项更有利于我们下一步的分解.所以我们在使用拆项添项的方法对有理数域上的对多项式分解时，我们应该特别注意观察多项式的特点，因为要拆的项和要添项是没有固定的方法，它主要以的是根据题目的特点为基础进行合理拆项和添项，从而对多项式进行快速的分解.这也就就造成了拆项添项法在有理数域上多项式因式分解的诸多方法中技巧性较强.对我们的思维能力有较高的要求.3.5利用矩阵的初等变换定义7假定存在多项式且存在重因式。而矩阵经过初等行变换转化为是和.例14对因式分解式.解：对多项式求导得到：把多项式和多项式写入矩阵中，并对矩阵做以下所示初等行变换的：通过定义7我们可以求得因为可约，所以存在使等式成立所以我们可得.所以多项式的因式分解式为：例15对因式分解.解：对多项式求导可得：把多项式和多项式写入矩阵中，并对矩阵做以下所示初等行变换的：通过定义我们可求得：因为故存在使，所以我们求出.所以多项式的因式分解式为例16.解：对多项式求导可得：写入矩阵中，并对矩阵做以下所示初等行变换的：通过定义我们可求得：因为故存在使，所以我们求出.所以多项式的因式分解式为利用矩阵初等变换法我们就可以得到多项式和它们导数之间的最大公因式.然后多项式整除的性质我们可以计算出其中的另一个因式.利用矩阵的初等行变换我们可以在很大程度上简化计算过程.但和重因式分离法一样，只有原多项式有重因式时我们才可以使用矩阵初等变换法来对多项式进行因式分解.我们需要原多项式必需要有重因式.否则是不可约用该方法的.3.6利用行列式的性质在学习高等代数后，我们知道行列式是一个比较好的分解计算方法工具.它的应用范围也比较广泛。那么在有理数域上进行因式分解使我们还可以利用这个工具吗，如果可以利用那么我们又要如何使用呢？对于低次数简单的简单多项式的分解我们可以类比二阶行列式的计算结果，如果一个二阶行列式的计算结果为那该多项式对应的二阶行列式为：假设存在一个多项式则对应的二阶行列式为：此时对多项式求因式分解那我们就可以利用行列式的性质进行分解.[7]例17对因式分解.解：通过观察可知多项式所以多项式可以对应的二阶行列式为：然后对它做以下的计算：利用二阶行列式多项式分解后可得：例18对因式分解.解：通过观察可知多项式所以多项式可以对应的二阶行列式为：利用二阶行列式多项式分解后可得：通过上面的例题我们可知，我们可以二阶行列式对有理数域上的多项式快速的进行因式分解，当我们在使用这个方法时我们要注意如何把原多项式转化成恰当的二阶行列式.我们使用方法可以加速对多项式进行因式分解，但其使用的空间较小，不便通用.对一般的多项式并不适用，那么对于一般的多项式我们还可以继续使用行列是这个工具吗？如果可以那我们又该然后利用呢？定义7假设存在一个多项式且的表达式为：那么我们可以用一个我n阶行列式的形式多项式：此时如果我们要在有理数域上对多项式进行因式分解时我们就可以利用行列式的相关性质进行分解.[7]例19对多项式进行因式分解.解：把多项式该写成对应的五阶行列式如下所示：故多项式的因式分解式为：使用行列式的性质对有理数域上的多项式进行因式分解的方法比较新奇，但这个方法对我们而言却难以想到，而且操作起来难度比较大，所以这个方法比较不合适作为有理数域上因式分的首选方法.对于有理数域上因式分解的方法我主要总结了六种方法.对比而言他们各有优点，也有其足，对方法3.1和3.2而言，他们便于我们理解应用.应用的范围也比较广，但不足之处也比较明显首先有理根进行验算时计算量较大,验算过程比较冗长,比较考验耐心其次这两种方法需要我们有较强的数感和计算能力.如果我们分解多项式有多重因式我们可以考虑使用方法3.3重因式分离法.如果同学的思维比较发散，思维能力比较高那我们可以尝试用方法3.4的拆项添项法.拆项添项法灵活多变，无固定思维方式.比较锻炼我们的思维能力.对方法3.5和方法3.6而言，虽然使用他们在理数域上对多项式进行因式分是一种比较新奇的方法，但这个方法对我们而言却难以想到，而且操作起来难度比较大，所以这个方法比较不合适作为有理数域上因式分的首选方法.4结语本文主要从数域的定义开始出发，然后给多项式的一般定义，进而让大家进一步了解有理数域多项式概念,并且介绍了一些对有理数数域上多项式进行因式分解的必要知识.然后从这些知识出发，在数学前辈的基础我归纳出了6种对理数域多项式因式分解的方法，这些方法各有所长，但也各有限制的条件.使用当我们在对有理数域上的多项式继续因式分解时我们应该合理选用方法.在本文介绍的这些方法中以求有理根法更为大家了解.虽然在本文中我简单的罗列了几种，但并不代表有理数域上多项式因式分解的方法就只有这几种，所以在有理数域上进行因式分解时我们并不一定说要用这几种方法，我们应该根据题型的不同而对方法进行选择从而达到快速进行因式分解的效果.我通过应用对有理数域上多项式因式分解的不同方法进行比较，对相关相资料分析总结,对相关的实际例子加以验证等方法，进一步巩固我对有理数域上多项式的因式分解的问题的解决,

如果有机会的话在接下来的学习中，我会更深层次的学习多项式理论的相关知识。分在不同数域上多项式的因式分解.5参考文献[1]徐传胜.因式分解的缘起[J].中学生数理化(八年级数学)(配合人教社教材),2014(10):7-9.[2]北京大学数学系前代数小组.高等代数[M]第四版.北京:高等教育出版社,2013：29-33[3]张禾瑞.高等代数[M]第五版.北京:高等教育出版社,2007：26-49[4]徐仲,陆全,张凯院.高等代数导教导学导考[M].第三版西安西北工业大学出版社,2006.王锋.36-38[5]段学复聂灵沼,等.高等代数[M]北京:高等教育出版社2003.9(2007重印).[6]张楠,梅月兰,王双.实系数多项式因式分解的一种矩阵初等变换法[J].湖北理工学院学报,2020:1-1[7]吴成龙.一元多项式的因式分解探讨[J].现代商贸工业,2009.21(01):277-278[8]褚丽娜.多项式因式分解的几种方法[J].读与写(教育教学刊),2012：1-1[9]陈林,田应智.有理数域上的不可约多项式[J].伊犁师范学院学报(自然科学版),2009：1-4[10]杨荣友,蒋炜.高等代数理论在多项式分解中的应用[J].唐山师范学院学报,2006(05):33-34.[11]赵杰玲,陈冠峰.浅谈多项式分解的几种方法[J].科技展望,2016：1-1[12]胡姣姣