安徽省亳州市蒙城县部分校2025~2026学年高一下册7月期末联考数学试卷【附解析】

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足，则（）A.1 B. C.2 D.2.已知向量，，若与共线，则（）A. B. C.1 D.23.空间中有一平面和两条直线m，n，且，设甲：，乙：，则甲是乙的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知，则（）A. B. C. D.5.在中，，，，则（）A.30° B.45° C.60° D.90°6.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若是偶函数，则（）A. B. C.-1 D.17.已知圆台的高为3，轴截面面积为15，体积为19π，则其母线与底面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.8.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，已知，点D在边上，则的最小值为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，满足，，则（）A. B.C.当时，，同向 D.当时，在上的投影向量为10.在平面四边形中，，，，则（）A. B.的外接圆半径为C. D.的外接圆半径为11.已知圆锥的顶点为P，底面圆心为，且该圆锥侧面上存在三条两两垂直的母线，若圆锥的底面半径为，点A，B为底面圆周上不重合的动点，则（）A.圆锥侧面展开图的圆心角为 B.圆锥轴截面顶角的余弦值为C.面积的最大值为 D.点到平面的最大距离为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，是方程的两个不同的根，则_____.13.在正四棱锥中，，二面角的余弦值为，则_______.14.已知函数，设为的最小正零点，b为的定义域之外的最小正数，且，则______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知复数，，.（1）若是纯虚数，求；（2）若的实部是虚部的2倍，求.16.如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点.（1）求直线与所成角的余弦值；（2）证明：平面平面.17.已知函数，其中，，且.（1）求.（2）若在上有且仅有3个零点.（i）求的取值范围；（ii）设，，若在上有且仅有2个不同的解，，求.18.如图，在三棱锥中，平面平面，，，.过点作，垂足在棱上.（1）证明：；（2）若的面积为60，.（i）求二面角的正切值；（ii）求点到平面的距离.19.在中，．（1）当时，求的值；（2）求C；（3）若，，求的外接圆半径．附：；．

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足，则（）A.1 B. C.2 D.答案：B解析：解答过程：由，得，.2.已知向量，，若与共线，则（）A. B. C.1 D.2答案：A解析：解答过程：若与共线，所以，解得.3.空间中有一平面和两条直线m，n，且，设甲：，乙：，则甲是乙的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：D解析：思路：分别用反例判断“甲能否推出乙”和“乙能否推出甲”.解答过程：甲不是乙的充分条件：在平面内取直线，使.此时甲成立，但，所以不与平面平行，乙不成立.甲也不是乙的必要条件：在平面内取一条与相交的直线，再在平面外取直线，使.由线面平行的判定定理，，所以乙成立；但与不平行，从而与不平行，甲不成立.因此甲是乙的既不充分也不必要条件.4.已知，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：将待求角改写为已知角的二倍角再加，然后使用余弦二倍角公式计算.解答过程：因为所以由余弦二倍角公式，得代入，得5.在中，，，，则（）A.30° B.45° C.60° D.90°答案：A解析：解答过程：由余弦定理得，因为，所以.6.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若是偶函数，则（）A. B. C.-1 D.1答案：B解析：思路：三角函数图像平移遵循“左加右减”，偶函数的核心条件是相位为，由此锁定，再代入计算即可.解答过程：由题，，因为为偶函数，所以，即，则7.已知圆台的高为3，轴截面面积为15，体积为19π，则其母线与底面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：设圆台上、下底面半径分别为，．由轴截面面积和圆台体积求出与，进而得到，再在轴截面内求母线长及线面角的正弦值．解答过程：设圆台上、下底面半径分别为，，其中，母线长为．圆台的轴截面是上、下底分别为，，高为的等腰梯形．由轴截面面积为，得所以．由圆台的体积公式，得所以．因为，所以．于是由，得．在轴截面内，母线、高以及两底面半径之差构成直角三角形，所以8.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，已知，点D在边上，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先通过余弦定理、面积公式和均值不等式推导出为等边三角形，再利用“垂线段最短”，得到高与边长的比值即为最小值.解答过程：由余弦定理与三角形面积公式得，，化简得，由均值不等式，，当且仅当时等号成立，而，因此两者都等于2，此时，所以为等边三角形；当时，，此时.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，满足，，则（）A. B.C.当时，，同向 D.当时，在上的投影向量为答案：ACD解析：解答过程：A选项：由，得，即，解得，故选项A正确；B选项：当，时，符合，但不满足，故选项B错误；C选项：当时，由A选项知，即，解得，因为，所以，所以，同向，故选项C正确；D选项：在上的投影向量为，故选项D正确.10.在平面四边形中，，，，则（）A. B.的外接圆半径为C. D.的外接圆半径为答案：AD解析：解答过程：A选项：如图所示，在中，由余弦定理得，，因为，所以是钝角，故A选项正确；B选项：如图所示，由A选项知，得，设的外接圆半径为，则由正弦定理得，，解得，故B选项错误；C选项：如图所示，在中，由余弦定理得，，在钝角三角形中，，在上单调递减，，所以，故C选项错误；D选项：在中，由余弦定理得，，因为，所以，设的外接圆半径为，则由正弦定理得，，解得，故D选项正确.11.已知圆锥的顶点为P，底面圆心为，且该圆锥侧面上存在三条两两垂直的母线，若圆锥的底面半径为，点A，B为底面圆周上不重合的动点，则（）A.圆锥侧面展开图的圆心角为 B.圆锥轴截面顶角的余弦值为C.面积的最大值为 D.点到平面的最大距离为答案：ABC解析：思路：利用侧面存在三条两两垂直的母线，结合外接圆半径求出母线长，利用勾股定理求出圆锥的高，利用圆心角公式求出圆心角，判断选项A；利用余弦定理判断选项B；设弦心距，进而表示弦长和高，用面积公式转化为二次函数，求面积的最大值，判断选项C；利用面面垂直的性质，表示点到平面的距离等于斜边上的高，进而计算判断选项D．解答过程：设母线长为，高为，底面半径，由侧面存在三条两两垂直的母线，可知三条母线端点在底面构成等边三角形，其外接圆半径即为底面半径，等边三角形边长为，外接圆半径，解得，由勾股定理，侧面展开图为扇形，弧长等于底面周长，扇形半径为母线长，故圆心角，故A正确；轴截面为等腰三角形，两腰为母线，底边为底面直径，设顶角为，由余弦定理，故B正确；设弦的弦心距为，则，等腰的高，面积，令，则，当时，取最大值，故C正确；由面面垂直的性质，点到平面的距离等于斜边上的高，，随增大而递增，的取值范围为，故的上确界为，无最大值，故D错误．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，是方程的两个不同的根，则_____.答案：50解析：解答过程：因为，是方程的两个不同的根，所以，则.13.在正四棱锥中，，二面角的余弦值为，则_______.答案：2解析：思路：在棱上确定二面角的平面角，再在两个全等的侧面三角形中求出平面角两边的长度，利用余弦定理建立关于侧棱的方程.解答过程：设因为正四棱锥的底面是正方形，所以在中，过点作，垂足为.又因为且为公共边，所以因此点到直线的垂足也为，即于是、分别在平面、平面内，且都垂直于交线，所以是二面角的平面角.在中，由余弦定理，由于是在方向上的投影，所以在直角三角形中，由勾股定理，由全等关系可知.在中，由余弦定理，由题意，所以即.因为，所以14.已知函数，设为的最小正零点，b为的定义域之外的最小正数，且，则______.答案：##解析：思路：通过正切函数零点和无定义点条件，分情况写出的表达式，代入后，筛选出符合条件的解即可.解答过程：因为为的最小正零点，所以令，即，当时，；当时，；因为b为的定义域之外的最小正数，所以令，即，当时，；若，则；若，则（舍去）.综上所述，.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知复数，，.（1）若是纯虚数，求；（2）若的实部是虚部的2倍，求.答案：（1）（2）.解析：思路：（1）先计算，再根据纯虚数的实部为、虚部不为列式；（2）利用分母实数化求出的实部和虚部，再按题意列方程.（1）因为是纯虚数，所以其实部为，且虚部不为，即由，得.此时符合题意，所以（2）将分母实数化，得所以的实部为，虚部为.由“实部是虚部的倍”，得整理得所以16.如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点.（1）求直线与所成角的余弦值；（2）证明：平面平面.答案：（1）（2）因为所以由直三棱柱的性质，得因为直线在平面内，所以又与相交于点，且直线、都在平面内，所以因为直线在平面内，所以下面证明．因为，且，所以在直角三角形中，同理，又所以在三角形中，因此由于与相交于点，且直线、都在平面内，所以又直线在平面内，因此解析：思路：（1）利用，把异面直线所成角转化为，再在直角三角形中求余弦值．（2）先证明平面，得到；再证明，从而得到平面，最后推出两平面垂直．（1）因为直三棱柱的对应棱互相平行，所以因此，直线与所成的角等于．因为为棱的中点，且，所以又因为直三棱柱的侧棱垂直于底面，所以因此在直角三角形中，在直角三角形中，又因为所以故在直角三角形中，因此，直线与所成角的余弦值为．（2）略17.已知函数，其中，，且.（1）求.（2）若在上有且仅有3个零点.（i）求的取值范围；（ii）设，，若在上有且仅有2个不同的解，，求.答案：（1）；（2）（i）；（ii）解析：思路：（1）先利用辅助角公式化简，再由和确定.（2）（i）把零点问题转化为在给定区间内解的个数问题；（ii）由为整数确定，再利用方程的前两个正解之间的对称关系求值.（1）由辅助角公式，，由，得所以因此即又，故只有符合条件，所以.（2）由（1）可得（i）当时，.函数的正零点依次为，要使在上有且仅有3个零点，必须使前三个零点落在内，而第四个零点不落在该开区间内.因此两边同时除以，得.即.（ii）由（i）及，得于是方程化为即设则.方程的正解从小到大依次为，因为该方程在上有且仅有2个不同的解，所以必为前两个正解，从而于是因此即又因为，所以故.18.如图，在三棱锥中，平面平面，，，.过点作，垂足在棱上.（1）证明：；（2）若的面积为60，.（i）求二面角的正切值；（ii）求点到平面的距离.答案：（1）因为平面平面，且两平面的交线为，又平面，且，所以由面面垂直的性质定理，得因为平面，所以（2）（i）4.；（ii）.解析：思路：（1）利用面面垂直的性质，由推出平面，再得到.（2）（i）先由底面直角三角形求出，再利用的面积求出；根据求出.在底面内过作，证明是所求二面角的平面角，再计算其正切值.（ii）先求的面积，再用三棱锥等体积法求点到平面的距离.（1）略（2）（i）因为，，，所以由勾股定理，又因为，所以是中边上的高.由，得所以.在直角三角形和中，两式相减，结合，得.又因为在线段上，所以于是联立与，解得在平面内，过点作，垂足为，连接.由第（1）问可知，又，且与相交于点，所以平面，从而.其中，平面，平面，且、均过棱上的点，所以是二面角的平面角.在平面内，因为，，所以，从而.于是在直角三角形中，故二面角的正切值为.（ii）在直角三角形中，又因为，所以设点到平面的距离为.以为底面时，因为平面，三棱锥的体积为以为底面时，同一个三棱锥的体积为由等体积关系，得解得因此，点到