安徽省合肥市第四中学2025~2026学年高二下册期末学情调研数学试卷【附解析】

数学一、单选题，本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.已知两个随机事件A、B，则“A与B互斥”是“A与B对立”的（）.A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要条件3.已知，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.4.已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（）A. B. C.[0，2] D.5.甲乙丙丁等8人，每4人站一排，第一排甲乙必须站在一起，第二排丙丁必须站在一起，则不同的站队方法是（）A.72 B.216 C.864 D.11526.从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，则这三个数之和为偶数且它们之和大于等于8的概率为（）A. B. C. D.7.已知，函数为奇函数，则（）A.13 B.24 C.56 D.728.已知，若，则（）A. B. C. D.二、多选题，本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某校高二年级举行数学竞赛，随机抽取了10名学生的成绩如下（单位：分）：72，80，85，88，90，95，95，95，98，100则下列说法正确的是（）A.这组数据的众数为95 B.这组数据的第70百分位数为95C.这组数据的平均数为90.8 D.这组数据的方差小于10010.已知，且，下列结论正确的是（）A.xy的最大值为2 B.最小值为C.最小值为 D.最小值为811.已知函数，若关于x的方程有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为，，，，则（）A. B.C. D.三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知在的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则其展开式中含的项的系数是______________．13.已知函数满足对都有成立．当时，，则不等式的解集为______________．14.从1，2，3，…，n这n个数中随机抽一个数记为X，再从1，2，…，X中随机抽一个数记为Y，则______．四、解答题，本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.某校高二年级有物理方向和历史方向两个选科方向.为研究数学成绩与选科方向是否有关联，随机抽取了180名学生，得到如下不完整的列联表：数学优秀数学不优秀合计物理方向61120历史方向2040合计180（1）补全上述列联表，并计算：在已知该生为物理方向学生的条件下，该生数学成绩优秀的概率；（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为数学成绩与选科方向有关联？P（）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828注：，其中．16.已知函数．（1）命题，使得成立为假命题，求实数的取值范围；（2）当时，不等式有解，求实数的取值范围．17.已知函数．（1）若的值域为，求实数的取值范围．（2）当时，若在上单调递增，求实数的取值范围．（3）设函数．若，使得成立，求实数的取值范围．18.某校为庆祝建校百年，由学校团委、学生会组织开展“奋斗进程”校史知识竞赛活动，每位参赛者均需要回答个题目，可以从个组题目和若干个组题目中，共选择3个题目作答.A组题目每正确回答1个得10分，B组题目每正确回答1个得分，不能正确回答的题目均不得分，参赛者总得分为3个题目得分之和.已知小王恰能正确回答A组题中的4个题目，B组题目每个正确回答的概率均为，且能否正确回答A组和B组题目互不影响.（1）已知小王两组题目均有选择，以他至少答对1个题目的概率为依据，试确定他分别选择两组题目的数量的策略；（2）记小王总得分为.（i）若选择的3个题目均为A组题目，求的分布列及数学期望；（ii）试确定，使小王在选择3个题目时，无论怎样调整A、B组题目数量，其总得分保持期望稳定，并说明理由.（参考公式：，其中、为随机变量）19.在棱长为1个单位的正四面体中，一个质点从顶点出发，每次等可能地沿着棱移动1个单位，移动的方向是随机的．（1）若质点移动了3次，记其到达点的次数为，求；（2）若质点移动了次，质点回到点的概率为．（i）求数列的通项公式；（ii）设，证明：．

数学一、单选题，本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：解分式不等式及方程可得，再结合交集运算即可求解.解答过程：，即，且，解得，又，；，两边平方得（），解得或1，所以，所以．故选：B.2.已知两个随机事件A、B，则“A与B互斥”是“A与B对立”的（）.A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要条件答案：B解析：解答过程：根据互斥事件和对立事件的概念可知，互斥不一定对立，对立一定互斥，所以“､为互斥事件”是“､为对立事件”的必要非充分条件.3.已知，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由指对数函数的单调性，通过中间量0和即可比较大小.解答过程：因为，所以．4.已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（）A. B. C.[0，2] D.答案：C解析：思路：由偶函数定义可得，再通过偶函数的性质，对称区间上单调性相反，可得到函数在定义域上的单调性情况，通过单调性求解不等式即可.解答过程：因为函数是定义在上的偶函数，且，所以．又函数在上单调递减，所以函数在上单调递增．所以等价于,即，解得．5.甲乙丙丁等8人，每4人站一排，第一排甲乙必须站在一起，第二排丙丁必须站在一起，则不同的站队方法是（）A.72 B.216 C.864 D.1152答案：C解析：思路：根据捆绑法求解即可.解答过程：第一排甲乙站一起有三种可能，同理第二排丙丁站一起也有三种可能，甲乙和丙丁内部顺序分别为：，其他人直接全排列，所以有种.6.从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，则这三个数之和为偶数且它们之和大于等于8的概率为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：借助列举法计算即可得.解答过程：从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，有，，，，，，，，，共10种情况，其中三个数之和为偶数且它们之和大于等于8的有：，，，，，共5种情况，所以这三个数之和为偶数且它们之和大于等于8的概率为.7.已知，函数为奇函数，则（）A.13 B.24 C.56 D.72答案：D解析：解答过程：由，则，又函数为上的奇函数，则，即对任意成立，整理得．所以，即，结合，且关于的函数单调递增，所以解得，所以，即．8.已知，若，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用条件概率公式、对立事件概率公式及概率基本性质逐项计算即可得.解答过程：对A、B：因为，所以；因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以AB错，对C：因为，所以C错，对D：因为，故D正确．二、多选题，本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某校高二年级举行数学竞赛，随机抽取了10名学生的成绩如下（单位：分）：72，80，85，88，90，95，95，95，98，100则下列说法正确的是（）A.这组数据的众数为95 B.这组数据的第70百分位数为95C.这组数据的平均数为90.8 D.这组数据的方差小于100答案：ABD解析：解答过程：将数据按从小到大排列：72，80，85，88，90，95，95，95，98，100A.众数是出现次数最多的数，95出现了3次，出现次数最多，故众数为95，A正确．B.第70百分位数位置：，为整数．第70百分位数，B正确．C.这组数据的平均数为，C错误．D.计算方差：偏差平方和，方差，故D正确．10.已知，且，下列结论正确的是（）A.xy的最大值为2 B.最小值为C.最小值为 D.最小值为8答案：ABC解析：解答过程：对于A：由基本不等式，代入得，化简得，当且仅当时取等号，A正确；对于B:（法一）：因为，所以，且．所以，当时，．（法二）由柯西不等式，则，所以，当且仅当，即时取等号，所以B正确．对于C:，当且仅当，即时取等号，所以C正确；D.，当且仅当，由A选项可知，所以最小值为，D错误．11.已知函数，若关于x的方程有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为，，，，则（）A. B.C. D.答案：ABD解析：思路：根据给定条件，探求出函数的性质，作出函数图象，令，,利用二次函数根与系数的关系解决即可.解答过程：令，则，当时，，在单调递减，，在单调递增，；当时，，在单调递减，，在单调递增，，作出的图象如下：若关于x的方程有四个不同的实数解，结合图像可知，在只有一个解，记，①当有两个零点时，则一个零点为负数，另一个零点在，由题意，有，解得；②当有且仅有一个零点时，，即或时，需要才行，无解，所以综上①②，a的取值范围是，故D正确.因为，由得，所以，故B正确；又，根据韦达定理可知中，，，所以，故C错误，A正确.故选：ABD方法提示：思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答.三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知在的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则其展开式中含的项的系数是______________．答案：135解析：解答过程：根据二项式系数的性质：展开式中只有一项二项式系数最大，说明为偶数，且最大二项式系数对应中间项，则，即．对，有，令，解得，则，即展开式中含的项的系数是135.13.已知函数满足对都有成立．当时，，则不等式的解集为______________．答案：解析：思路：根据得到函数是上的奇函数，继而求出时，的解析式并判断在上的单调性，利用奇函数和单调性结合分段函数可得两个不等式组，求解即得.解答过程：因为对都有，所以是上的奇函数，又时，，显然在上单调递增，故函数在上单调递增，当时，，则，即；由，可得，故得，则有或，解得：，所以不等式的解集为.14.从1，2，3，…，n这n个数中随机抽一个数记为X，再从1，2，…，X中随机抽一个数记为Y，则______．答案：解析：思路：依题意，根据全概率公式求出，，再由期望公式计算可得.解答过程：依题意，由全概率公式可知，，，，，所以，故答案为：.四、解答题，本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.某校高二年级有物理方向和历史方向两个选科方向.为研究数学成绩与选科方向是否有关联，随机抽取了180名学生，得到如下不完整的列联表：数学优秀数学不优秀合计物理方向61120历史方向2040合计180（1）补全上述列联表，并计算：在已知该生为物理方向学生的条件下，该生数学成绩优秀的概率；（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为数学成绩与选科方向有关联？P（）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828注：，其中．答案：（1）

数学优秀数学不优秀合计物理方向6159120历史方向204060合计8199180已知该生为物理方向学生的条件下，该学生成绩优秀的概率为（2）有的把握认为数学成绩与选科方向有关联解析：思路：（1）根据列联表以及条件概率的计算公式即可求解；（2）先进行零假设，然后计算出卡方值，根据独立性检验的思想判断即可.（1）补全列联表：

数学优秀数学不优秀合计物理方向6159120历史方向204060合计8199180补全过程：物理方向不优秀人数，历史方向合计优秀合计，不优秀合计．设事件A为“该生为物理方向学生”，事件B为“该生数学成绩优秀”．在已知该生为物理方向学生的条件下，该生数学成绩优秀的概率为：（2）独立性检验：零假设：数学成绩与选科方向没有关联.根据列联表数据：计算统计量：∴根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即有的把握认为数学成绩与选科方向有关联．16.已知函数．（1）命题，使得成立为假命题，求实数的取值范围；（2）当时，不等式有解，求实数的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据命题为假，则命题为真，再结合，，及二次函数性质计算可得；（2）将不等式转化为，再通过换元并结合对勾函数的性质可得.（1）由已知命题为假，则恒成立，当时，，显然在上不恒成立；当时，此时为开口向下，故不等式在上不恒成立；当时，则，即.综上，的取值范围是．（2）由不等式，即，即．由恒成立，则在时有解，即，设，有，而在上单调递增，则，所以，故，所以.因此，实数的取值范围为．17.已知函数．（1）若的值域为，求实数的取值范围．（2）当时，若在上单调递增，求实数的取值范围．（3）设函数．若，使得成立，求实数的取值范围．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）由对数函数的值域可得真数对应的二次函数的判别式大于等于，从而可得所求取值范围；（2）令，并结合定义域可得函数单调递增区间，从而可得所求取值的范围；（3）将不等式转化为，由单调性可得，所以只需，进而转化为，方法一：根据二次函数的在闭区间的最值问题分类讨论可得；方法二：通过参数分离可得及，分别求两个函数的最值可得.（1）因为函数的值域为，所以能取到大于的所有值，所以，解得或，因此实数的取值范围为．（2）当时，．令，得或，又，当时，单调递减，当时，单调递增，所以在上单调递增，因为题中在上单调递增，所以实数的取值范围为．（3）因为，使得成立，所以．因为在时单调递减，所以，即，即成立．方法一：设，其图象的对称轴为直线．当时，只需，解得；当时，只需，解得；当时，只需，无解．综上，得，即实数的取值范围为．方法二：成立，等价于成立，所以．记，则在上单调递增，所以，所以.成立，等价于成立，所以．记，则（当且仅当时取等号），所以，所以，综上，，即实数的取值范围为．18.某校为庆祝建校百年，由学校团委、学生会组织开展“奋斗进程”校史知识竞赛活动，每位参赛者均需要回答个题目，可以从个组题目和若干个组题目中，共选择3个题目作答.A组题目每正确回答1个得10分，B组题目每正确回答1个得分，不能正确回答的题目均不得分，参赛者总得分为3个题目得分之和.已知小王恰能正确回答A组题中的4个题目，B组题目每个正确回答的概率均为，且能否正确回答A组和B组题目互不影响.（1）已知小王两组题目均有选择，以他至少答对1个题目的概率为依据，试确定他分别选择两组题目的数量的策略；（2）记小王总得分为.（i）若选择的3个题目均为A组题目，求的分布列及数学期望；（ii）试确定，使小王在选择3个题目时，无论怎样调整A、B组题目数量，其总得分保持期望稳定，并说明理由.（参考公式：，其中、为随机变量）答案：（1）小王应选择2个A组题目和1个B组题目的策略（2）（i）记小王所选题目中A组题目得分为，B组题目得分为，，由于选择的三个题目均有A组题目，其得分为，则，，，故的分布列为：102030故，（ii）设小王选择的3个题目中组题目数量为，组题目数量为，其中，则服从超几何分布，，，，，当时，的值与无关，即当时，无论小王如何调整组题目数量，其总得分的期望均为20分.解析：思路：（1）小王两组题目均