安徽省六安市叶集皖西当代中学2025~2026学年高一下册7月期末考试A数学试卷【附解析】

数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题、每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量，，且，则实数的值为（）A.1 B. C.3 D.2.某小组有4名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加歌咏比赛，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（）A.至少有1名男生和至少有1名女生 B.至少有1名男生和全是男生C.至少有1名男生和全是女生 D.恰有1名男生和恰有2名男生3.如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为（）A. B. C. D.4.PM2.5是空气质量的一个重要指标，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在以下空气质量为一级，在之间空气质量为二级，在以上空气质量为超标．如图是某地11月1日到10日PM2.5日均值（单位：）的统计数据，则下列叙述错误的是（）A.这10天的PM2.5日均值的第25百分位数是33B.从5日到9日，PM2.5日均值逐渐降低C.这10天中PM2.5日均值的平均数是49D.从这10天的PM2.5日均值数据中随机抽出一天的数据，空气质量为一级的概率是5.已知两个随机事件相互独立，，则（）A.0.6 B.0.72 C.0.84 D.0.96.已知，若，则（）A. B. C. D.7.若复数z满足（为虚数单位），则的最小值为（）A. B. C. D.8.已知正四棱台上底面的边长为，下底面边长为，且侧棱．则该四棱台的外接球表面积为（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，则（）A.的虚部为B.C.的共轭复数为D.10.已知m、n是空间中两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列说法正确的（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，，则11.在三角形中，角的对边分别为，满足，则以下叙述正确的是（

）A.三角形一定不是锐角三角形B.一定为负值C.若角是锐角且，则D.若三角形是直角三角形且，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在中，已知，点是的中点，点在上，且，则__________.13.已知函数的部分图象如图所示，直线与曲线交于两点，若，在区间上单调递减，则的值为___________．14.在四面体中，，E、F分别为边、的中点．若，则直线与所成的角的大小为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量，，且．（1）求函数的最小正周期；（2）将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的最大值和最小值．16.某中学为研究本校高一学生在市联考中的英语成绩，随机抽取了100位同学的英语成绩作为样本，得到以分组的样本频率分布直方图如图．（1）求直方图中的值；（2）请估计本次联考该校英语成绩的中位数（保留一位小数）；（3）样本内英语分数在的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的两名学生中恰有一人成绩在中的概率．17.在中，内角的对边分别为，且．（1）求的大小；（2）若的面积为，求的值．18.甲、乙、丙三人结伴去游乐园玩射击游戏，其中甲射击一次击中目标的概率为，乙、丙射击一次击中目标的概率均为，且任意两次射击互不影响．（1）求甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率；（2）若乙至少有一次击中目标的概率不低于，乙至少需要射击多少次？（参考数据：）19.如图，在直三棱柱中，，为的中点．（1）求证：平面平面；（2）已知．（i）若点为的中点，求证：平面；（ii）求点到平面的距离．

数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题、每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量，，且，则实数的值为（）A.1 B. C.3 D.答案：B解析：解答过程：由，，得．因为，所以，整理得，解得．2.某小组有4名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加歌咏比赛，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（）A.至少有1名男生和至少有1名女生 B.至少有1名男生和全是男生C.至少有1名男生和全是女生 D.恰有1名男生和恰有2名男生答案：D解析：思路：根据互斥一定对立，对立不一定互斥的定义逐项分析判断即可.解答过程：A.当选到一男一女时，至少有1名男生和至少有1名女生同时发生，既不互斥也不对立，A错误B.两名都是男生时，至少有1名男生和全是男生同时发生，既不互斥也不对立，B错误C.至少有1名男生和全是女生，是对立事件，C错误D.恰有1名男生和恰有2名男生，互斥而不对立，D正确.故选：D3.如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据直观图特征，作出其平面图形直角梯形，求出相关边长再求长即可．解答过程：由直观图知原几何图形是直角梯形，如图，由斜二测画法可知，，所以．故选：A．4.PM2.5是空气质量的一个重要指标，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在以下空气质量为一级，在之间空气质量为二级，在以上空气质量为超标．如图是某地11月1日到10日PM2.5日均值（单位：）的统计数据，则下列叙述错误的是（）A.这10天的PM2.5日均值的第25百分位数是33B.从5日到9日，PM2.5日均值逐渐降低C.这10天中PM2.5日均值的平均数是49D.从这10天的PM2.5日均值数据中随机抽出一天的数据，空气质量为一级的概率是答案：C解析：思路：根据折线图读取10天的数据，分别利用百分位数的定义、数据的变化趋势、平均数公式以及古典概型概率公式对各个选项进行验证即可.解答过程：由图可知，这10天的PM2.5日均值数据依次为：.将这组数据从小到大排序为：.A选项，因为，不是整数，所以第25百分位数为排序后的第3个数，即，A正确；B选项，从5日到9日的PM2.5日均值依次为，数据逐渐降低，B正确；C选项，这10天中PM2.5日均值的平均数为，C错误；D选项，空气质量为一级即PM2.5日均值在以下，满足条件的数据有，共4天，所以从这10天的数据中随机抽出一天，空气质量为一级的概率，D正确.5.已知两个随机事件相互独立，，则（）A.0.6 B.0.72 C.0.84 D.0.9答案：B解析：解答过程：因为，所以，因为事件相互独立，所以，所以．6.已知，若，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用三角和差公式，结合正切商数关系求解．解答过程：，，即，则，又，，解得．7.若复数z满足（为虚数单位），则的最小值为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：设，则，所以，解得，所以．8.已知正四棱台上底面的边长为，下底面边长为，且侧棱．则该四棱台的外接球表面积为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：求出棱台的高，找到外接球球心，根据半径得到方程，求出外接球半径和表面积解答过程：如图，上底面边长为，对角线长为，故上底面外接圆半径为；下底面边长为，对角线长为，故下底面外接圆半径为．由正棱台的性质，得侧棱长、棱台的高、上下底面外接圆半径之差构成直角三角形，则，即，解得．外接球的球心在上下底面的连接线上，设球心到下底面距离为，则到上底面的距离为，设球半径为，则，即，解得，故，外接球的表面积．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，则（）A.的虚部为B.C.的共轭复数为D.答案：ACD解析：思路：对复数进行化简计算，再结合复数的概念与运算，逐项判断即可.解答过程：，对于A：的虚部为，故A正确；对于B：，故B错误；对于C：的共轭复数为，故C正确；对于D：，故D正确．10.已知m、n是空间中两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列说法正确的（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，，则答案：AB解析：解答过程：A选项，由于，，由面面平行的性质，可得，故A正确；B选项，若，，由面面平行的判定定理可得，故B正确；C选项，若，，则，可能平行、相交或异面，故C错误；D选项：若，，，则或异面，故D错误.11.在三角形中，角的对边分别为，满足，则以下叙述正确的是（

）A.三角形一定不是锐角三角形B.一定为负值C.若角是锐角且，则D.若三角形是直角三角形且，则答案：ABC解析：思路：利用余弦定理得出，A，C中有一个是直角或钝角，可判断A，然后再结合余弦定理判断BC，由C是直角求得B，进而判断D.解答过程：对A，由余弦定理得，又，所以，即，所以中有一个是直角或钝角，三角形不是锐角三角形，A正确；对B，由选项A分析知中有一个是直角或钝角，一定是锐角，所以，B正确；对C，若角是锐角，则，由选项A知，即，又，所以，，所以，C正确；对D，由选项A知中有一个是直角或钝角，现在是直角三角形，若，又，则，不是，D错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在中，已知，点是的中点，点在上，且，则__________.答案：####解析：思路：根据已知结合平面向量基本定理分别表示，再应用平面向量数量积公式计算求解即可.解答过程：在中，因为点是的中点，点在上，且，则，则.故答案为：.13.已知函数的部分图象如图所示，直线与曲线交于两点，若，在区间上单调递减，则的值为___________．答案：##解析：思路：根据方程的解得到和最小正周期，从而和分别为单调递减区间的起点和终点，从而得到方程，求出解答过程：设，由得，又，，解得，，，在区间上单调递减，和分别为单调递减区间的起点和终点，，解得，．14.在四面体中，，E、F分别为边、的中点．若，则直线与所成的角的大小为__________．答案：解析：思路：取的中点，构造三角形的中位线，将异面直线与所成的角转化为三角形的内角，结合余弦定理可得.解答过程：取的中点，连接，由E、F分别为边、的中点，由三角形的中位线性质可得，为异面直线与所成的角，在中，由余弦定理可得，所以，由异面直线间夹角范围可得直线与所成的角为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量，，且．（1）求函数的最小正周期；（2）将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的最大值和最小值．答案：（1）（2）最大值为1，最小值为．解析：思路：（1）利用向量数量积公式和三角恒等变换得到，求出最小正周期；（2）先得到的解析式，整体思想求出函数的最值.（1）∵，∴，函数的最小正周期；（2）由（1）得，．将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，．，即，函数在区间上的最大值为1，最小值为．16.某中学为研究本校高一学生在市联考中的英语成绩，随机抽取了100位同学的英语成绩作为样本，得到以分组的样本频率分布直方图如图．（1）求直方图中的值；（2）请估计本次联考该校英语成绩的中位数（保留一位小数）；（3）样本内英语分数在的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的两名学生中恰有一人成绩在中的概率．答案：（1）（2）中位数约为105.7分．（3）．解析：思路：（1）利用频率分布直方图直接列式计算作答.（2）利用频率分布直方图求中位数的方法列式计算作答.（3）求出分数在内的人数，再用列举法结合古典概率公式计算作答.（1）由频率分布直方图得，解得．（2）由频率分布直方图知，分数在区间的频率分别为0.34，0.62，因此该校英语成绩的中位数，则，解得，所以该校英语成绩的中位数约为105.7分．（3）由频率分布直方图知，分数在内分别有8人和2人，因此抽取的5人中，分数在内有人，在内有1人，记内的4人为，在内的1人为，则样本空间．记“选出的2人中恰有一人成绩在”为事件，则，所以，即选出的两名学生中恰有一人成绩在中的概率为．17.在中，内角的对边分别为，且．（1）求的大小；（2）若的面积为，求的值．答案：（1）（2）8解析：思路：（1）由正弦定理和三角恒等变换得到，求出；（2）根据三角形面积和正弦定理得到外接圆半径，进而得到的值（1）由得，即，整理得，由，得，则，整理得，又，所以．（2）因为的面积为，所以，则，由正弦定理及，得，所以，则．18.甲、乙、丙三人结伴去游乐园玩射击游戏，其中甲射击一次击中目标的概率为，乙、丙射击一次击中目标的概率均为，且任意两次射击互不影响．（1）求甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率；（2）若乙至少有一次击中目标的概率不低于，乙至少需要射击多少次？（参考数据：）答案：（1）（2）12次解析：思路：（1）将事件“三人中恰有一人击中目标”表示出来，利用互斥事件的概率加法公式和独立事件的概率乘法公式计算即得；（2）利