安徽省宣城市2025~2026学年高二下册期末测试数学试卷【附解析】

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.2.在复平面内，复数对应的点位于（）.A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知向量，，，，则（）A. B. C. D.4.已知，，，则下面结论正确的是（）A. B. C. D.5.等比数列的前项和，则（）A.1 B. C. D.6.已知，分别是双曲线C：（，）的左、右焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，若，且，则的离心率为（）A. B. C. D.7.已知某圆台的上、下底面半径分别为，，且，若半径为1的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（）A. B. C. D.8.已知函数，则函数的零点个数为（）A.3 B.4 C.5 D.6二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.以下说法正确的是（）A.数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为9B.已知随机变量~，若随机变量，则C.将4名志愿者安排到3个不同的社区进行创文共建活动，要求每个社区至少安排1名志愿者，则不同排法共有72种D.若随机变量~，且，则10.如图所示，用一个与圆柱底面成（）角的平面截圆柱，截口曲线是一个椭圆，、为该椭圆的焦点，为椭圆上任意一点．若圆柱的底面圆半径为2，．则下列结论正确的是（）A.椭圆的长轴长为8B.椭圆的离心率为C.满足的点共有2个D.的最小值是11.已知函数（），若方程在区间有且仅有5个解，则（）A.B.在极值点个数为3C.在零点个数为2或3D.在上单调递增三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.过点的直线与圆：交于、两点，则的最小值是_________．13.展开式中项系数是_________．14.已知a，b，，（其中是自然对数的底数），则的最小值为_________．四、解答题：本题共5小题，共计77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设．（1）求角；（2）若角的平分线交于点，且，，求的面积．16.如图，在三棱柱中，四边形是菱形，，D为棱的中点，平面平面．（1）求证：平面平面；（2）若，且三棱柱的体积为，求直线与平面所成角的正弦值．17.某校为了全面提高学生的综合素养，举办了“最强中学生”知识竞赛，为了调查学生对这次活动的满意程度，在所有参加“最强中学生”知识竞赛的同学中抽取容量为的样本进行调查，并得到如下列联表，其中为正整数：

满意不满意合计男生

女生

合计

（1）用频率估计概率，求该校任意一个不满意该活动的学生是男生的概率；（2）若依据的独立性检验，认为对该活动的满意度与性别有关，求的最小值；（3）若竞赛成绩在前20名的同学进入决赛环节，该环节共设置3道试题，且每一道试题必须依次作答，至少答对2道才能进入总决赛，每人答对这3道试题的概率分别为，，，且3道试题答对与否互不影响．记表示这20人中能进入总决赛的人数，求的数学期望．附：，其中．0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.82818.已知椭圆的右焦点为，且过点．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆相交于，两点，求的取值范围．19.已知抛物线，点在抛物线上，若按照如下方式依次构造点：作轴，垂足为，过点作直线与抛物线第一象限的部分相切于点，记点的坐标为．（1）证明：是等比数列；（2）欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如，．记，求数列的前项和；（3）若对任意时，不等式恒成立，求实数的最大值．

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：∵解不等式，即得，即.∵集合，且，∴集合中的所有元素都属于集合，故，即实数的取值范围是.2.在复平面内，复数对应的点位于（）.A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：A解析：思路：利用复数的除法运算对复数化简即可求解.解答过程：，所以复数对应的点为，位于第一象限.故选：A.3.已知向量，，，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先根据平面向量共线的坐标运算规则求出的值，再结合α的取值范围与同角三角函数的平方关系计算.解答过程：据平面向量共线的坐标充要条件：若两向量，平行，则满足.已知，且，代入公式得：

，解得，由于，即α为第二象限角，第二象限角的余弦值为负，结合同角三角函数基本关系，可得：

.4.已知，，，则下面结论正确的是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由题意结合对数函数的单调性、指数函数的单调性可得，即可得解.解答过程：根据题意，，，所以.5.等比数列的前项和，则（）A.1 B. C. D.答案：D解析：思路：根据题意，分与讨论，结合等比数列的前项和公式，代入计算，即可得到结果.解答过程：设等比数列的公比为，当时，，不符合题意；当时，，因为，则，解得.6.已知，分别是双曲线C：（，）的左、右焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，若，且，则的离心率为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由正弦定理得，再由双曲线的定义得，最后由余弦定理即可求解.解答过程：由正弦定理得：，结合，所以，又由，所以，由余弦定理得：，所以，所以，所以.7.已知某圆台的上、下底面半径分别为，，且，若半径为1的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据球与圆台内切的性质，得到母线与半径之间的关系，以及圆台高的大小，通过联立解得圆台上下底面半径大小，通过圆台体积公式即可求解.解答过程：如图，为上底面圆半径，为下底面半径，且为圆台一条母线，，分别为上下底面圆圆心，因为半径为1的球与圆台的上、下底面相切，因此，即圆台高，又因为球与圆台侧面相切，圆台的轴截面是等腰梯形，球的轴截面是梯形的内切圆,故根据等腰梯形内切圆条件有，而又有且，因此得，，因此根据圆台体积的计算公式，.8.已知函数，则函数的零点个数为（）A.3 B.4 C.5 D.6答案：C解析：思路：因式分解，将求的零点个数问题转为求方程与和交点的个数，利用导数分析时函数的性质，画出的函数图像，得出结论.解答过程：令，即，解得或，故求的零点个数，等价于求函数与和交点的个数和.时，，求导得，令，得或，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故，又，可以画出函数的大致图像，如图所示，可知与和交点共有5个，即的零点个数为5个，C正确.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.以下说法正确的是（）A.数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为9B.已知随机变量~，若随机变量，则C.将4名志愿者安排到3个不同的社区进行创文共建活动，要求每个社区至少安排1名志愿者，则不同排法共有72种D.若随机变量~，且，则答案：BD解析：解答过程：选项A：该组共8个数据，计算第75百分位数时为整数，因此第75百分位数是第6项和第7项的平均值，即，A错误；选项B：由二项分布期望公式得，根据期望线性性质，，B正确；选项C：4人分到3个社区且每个社区至少1人，需先按2,1,1分组，分组数为，再分配到3个不同社区，总排法为种，C错误；选项D：正态分布对称轴为，故，因此，由对称性得，D正确.10.如图所示，用一个与圆柱底面成（）角的平面截圆柱，截口曲线是一个椭圆，、为该椭圆的焦点，为椭圆上任意一点．若圆柱的底面圆半径为2，．则下列结论正确的是（）A.椭圆的长轴长为8B.椭圆的离心率为C.满足的点共有2个D.的最小值是答案：ABD解析：思路：由椭圆性质，椭圆中的关系，确定，从而得到长轴长，离心率，即可判断AB；以为半径的圆与椭圆交点个数，即可判断C；设，，可得，，利用乘“1”法结合基本不等式运算求解.解答过程：对于选项A：已知圆柱底面半径为，，所以，可得，即，长轴长等于8，故A选项正确；对于选项B：因为，即，所以椭圆离心率，故选项B正确；对于选项C：原题意即为以为圆心，为半径的圆与椭圆有几个交点个数，因为，故满足条件的点P共有4个，选项C错误；对于选项D：设，，由椭圆定义可得，即，可得，因为在椭圆上，的取值范围是，即，则，因为，当且仅当，即时，等号成立，则，所以的最小值为，故D正确.11.已知函数（），若方程在区间有且仅有5个解，则（）A.B.在极值点个数为3C.在零点个数为2或3D.在上单调递增答案：ABC解析：思路：对于A选项，通过分析本身的取值范围，根据余弦型函数取值规律，即可判断的范围；对于B选项，对函数求导，分析的导函数零点个数即可，对于C选项，通过分析的取值范围，根据余弦型函数的零点取值规律，即可判断；对于D选项，通过分析的取值范围，判断的导函数正负性即可.解答过程：对于A选项，若，则应有，即，而因为，因此，故的解为或，，即，不为3的倍数，故从后五个解为，，，，，第6个解为，因此若有且仅有5个解，则应有，解得，故A选项正确，对于B选项，，极值点满足，即，，因此，故，，，共三个解，故B选项正确，对于C选项，若，且，则，且则与恒在区间内，对于，当时，，有两个零点，当时，，有三个零点，故C选项正确，对于D选项，当时，，由得，，因此的取值范围包括，由正变负，先正后负，因此先单调递增，后单调递减，故D选项错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.过点的直线与圆：交于、两点，则的最小值是_________．答案：解析：思路：首先确定圆的圆心与半径，判断点P在圆内部，根据圆的几何性质：过圆内一点的最短弦为与过该点的半径垂直的弦，结合弦长公式计算最小值.解答过程：∵圆的方程为，∴圆心坐标为，半径.∵点坐标为，∴圆心到点的距离，即点在圆内部.∵过圆内一点的所有弦中，当直线与垂直时，圆心到直线的距离最大，等于，此时弦长最短，∴最短弦长.方法提示：方法归纳：过圆内定点的弦长最值问题，最长弦为过该点的直径，长度等于；最短弦为与过该点的半径垂直的弦，弦长公式为（为圆心到定点的距离）.13.展开式中项系数是_________．答案：30解析：思路：先利用乘法分配律展开，再根据二项式定理写出展开式通项，进一步确定含项，即可求解.解答过程：由二项式定理得的展开式通项为，其中.令或，得到项系数为：14.已知a，b，，（其中是自然对数的底数），则的最小值为_________．答案：##0.2解析：思路：根据表示点与点距离的平方，而在直线上，利用导数法求得与直线平行且与相切的直线的切点，由切点到直线的距离即可求得.解答过程：因可理解为点与点距离的平方，而在直线上.由，得，令，则，由解得，且，则与直线平行且与相切的直线的切点为，因点到直线的距离为，所以的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共计77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设．（1）求角；（2）若角的平分线交于点，且，，求的面积．答案：（1）（2）解析：思路：（1）先展开已知的三角恒等式，结合正弦定理转化为边的关系，再代入余弦定理即可求出角；（2）利用三角形面积的拆分关系，即的面积等于与的面积之和，列方程求解边长后计算总面积.（1）已知，展开左侧得：

，移项整理得,由正弦定理得：

.则

，又，因此.（2）由(1)得，为角的平分线，故.设，

，

，

.由，代入得：

，解得，因此16.如图，在三棱柱中，四边形是菱形，，D为棱的中点，平面平面．（1）求证：平面平面；（2）若，且三棱柱的体积为，求直线与平面所成角的正弦值．答案：（1）连接，因为四边形是菱形，，所以是等边三角形，又因为D为棱的中点，所以，又平面平面，且平面平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）解析：思路：（1）连接，易得是等边三角形，再根据D为棱的中点，得到，然后利用面面垂直的性质定理和判定定理证明；（2）由（1）得到平面，且，根据三棱柱的体积得到，从而得到，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，利用向量法求解.（1）连接，因为四边形是菱形，，所以是等边三角形，又因为D为棱的中点，所以，又平面平面，且平面平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）由（1）知：平面，且，所以三棱柱的体积为，则，而，则，又，所以，建立如图所示空间直角坐标系：则，所以，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，所以，所以AD与平面所成的角为，则.17.某校为了全面提高学生的综合素养，举办了“最强中学生”知识竞赛，为了调查学生对这次活动的满意程度，在所有参加“最强中学生”知识竞赛的同学中抽取容量为的样本进行调查，并得到如下列联表，其中为正整数：

满意不满意合计男生

女生

合计

（1）用频率估计概率，求该校任意一个不满意该活动的学生是男生的概率；（2）若依据的独立性检验，认为对该活动的满意度与性别有关，求的最小值；（3）若竞赛成绩在前20名的同学进入决赛环节，该环节共设置3道试题，且每一道试题必须依次作答，至少答对2道才能进入总决赛，每人答对这3道试题的概率分别为，，，且3道试题答对与否互不影响．记表示这20人中能进入总决赛的人数，求的数学期望．附：，其中．0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）先补全列联表，然后利用条件概率公式求解；（2）先计算，结合对应的临界值列不等式，求解正整数的最小值；（3）先计算单个选手进入总决赛的概率，再利用二项分布的期望公式计算的期望.（1）首先补全列联表如下（单位：人）满意不满意合计男生女生合计设事件为“任选一名学生不满意该活动”，事件为“任选一名学生为男生”，则不满意的学生总数为，其中不满意的男生人数为，由条件概率得，.（2）零假设：对活动的满意度与性别无关..若依据的独立性检验，认为满意度与性别有关，则，即，解得，又为正整数，故的最小值为10.（3）设表示“选手答对第题”，事件表示“选手进入总决赛”.则，且相互独立.因为进入总决赛需至少答对2道题，故.由题意知，所以.18.已知椭圆的右焦点为，且过点．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆相交于，两点，求的取值范围．答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）根据椭圆性质，结合椭圆过的点的坐标，代入椭圆方程，联立方程组求得的值，进而得到椭圆的方程；（2）分直线的斜率是否存在进行分类讨论，当直线的斜率不存在时，不符合题意；当直线的斜率存在时，设斜率为，列出直线方程，与椭圆联立，由得，再根据两点间距离公式，可得，通过换元法即可求得其取值范围.（1）由题意，椭圆的右焦点为，且过点，所以可得，解方程组得，所以椭圆的方程为；（2）当过点的直线斜率不存在时，直线的方程为，此时直线与椭圆无交点，不成立；当过点的直线斜率存在时，设斜率为，直线的方程为，与椭圆联立，化简得，因为直线与椭圆相交于，两点，设，，所以，解得，又，所以，，，，所以，令，则，由，所以，所以，因为，所以，则，所以，所以，即的取值范围是.19.已知抛物线，点在抛物线上，若按照如下方式依次构造点：作轴，垂足为，过点作直线与抛物线第一象限的部分相切于点，记点的坐标为．（1）证明：是等比数列；（2）欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的