福建省福州市八县市协作校2025~2026学年高二下册期末适应性练习数学试卷【附解析】

数学满分：150分】一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.2.已知函数，则（）A. B.0 C.1 D.23.下列命题错误的是（）A.B.命题“”的否定是“”C.已知，则p是q的充分条件D.“”是“”的充分不必要条件4.设随机变量，若，则（）A. B. C. D.15.已知，，，则这三个数的大小关系为（）A. B.C. D.6.若的展开式中各项系数和为，则其展开式中的常数项为（）A. B. C. D.7.某校为高一两个班，高二两个班，高三两个班招聘了甲、乙等6位班主任，若随机安排他们每人担任一个班的班主任，则其中甲、乙两人恰好在同一年级的概率是（）A. B. C. D.8.已知函数（，且）在上单调递减，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.已知关于的回归方程为，则样本点的残差为2.2B.回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好C.随机变量X满足，若，则D.设A，B为两个随机事件，，若，则事件A与事件B相互独立10.下列说法正确的是（）A.若对都成立，则实数k的取值范围是B.函数（且）恒过定点C.已知函数的定义域为，则的定义域为D.若，，且，则的最小值为11.定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间的长度可以是（）A.1 B. C. D.2三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数且，则的值为______．13.某重点中学5位教师响应上级号召到某对口西部地区的乡村中学支教，若将这5位教师分配到该地区的3所乡村中学，每所学校至少分配1人，则分配方案的总数为______（用数字作答）．14.函数，若互不相同，且，则的取值范围是___________．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知全集，集合，，.（1）求，；（2）若，求的取值范围.16.在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响．（1）已知在安静环境下，语音识别成功的概率为0.9；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为0.6．某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为0.3，处于嘈杂环境的概率为0.7．（ⅰ）求测试结果为语音识别成功的概率；（ⅱ）已知测试结果为语音识别成功，求当天处于安静环境的概率；（2）已知当前每次测试成功的概率为0.8，现采用如下测试方案：先测试3次，如果这3次中成功次数小于等于2次，则再测试2次，否则不再测试，求需要再测试2次的概率．17.已知函数．（1）判断的奇偶性；（2）判断函数的单调性，利用函数单调性的定义进行证明；（3）若不等式成立，求实数m的取值范围．18.某高校组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女生参与答题意愿的差异，男生、女生各取100人．设事件“学生愿意报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计，．（1）根据已知条件，依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关？性别男生女生合计不愿报名参加答题活动愿意报名参加答题活动合计200（2）从愿意报名参加答题活动的学生中按性别比例用分层随机抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，再从这6名学生中抽取2人进行座谈，在有女生参加座谈的条件下，求恰有两名女生参加座谈的概率（3）假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为．若答题活动设置4道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题，直到4道题答完．已知甲同学报名参加答题活动，用X表示在本次答题的题目数量，求X的分布列和期望．参考公式：，其中参考数据：0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82819.已知函数的定义域为，若对任意，都有，则函数的图象关于点成中心对称图形，点是函数图象的对称中心.已知函数.（1）证明：的图象关于点成中心对称图形.（2）求图象的对称中心.（3）设函数，将区间分成等份，记等分点的横坐标按从小到大的顺序依次为，若不等式对任意恒成立，求整数的最小值.

数学满分：150分】一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：先根据指数函数单调性计算集合B，解一元二次不等式得出集合A，最后应用交集定义计算求解．解答过程：因为集合，集合则．2.已知函数，则（）A. B.0 C.1 D.2答案：C解析：思路：代入即可求解.解答过程：由函数，可知．故选：C．3.下列命题错误的是（）A.B.命题“”的否定是“”C.已知，则p是q的充分条件D.“”是“”的充分不必要条件答案：B解析：思路：解方程即可判断A；根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可判断B；根据充分条件的定义即可判断C；根据一元二次不等式的解法结合充分条件和必要条件的定义即可判断D.解答过程：对于A，方程的解为，为无理数，所以，故A正确；对于B，命题“”的否定是“，故B错误；对于C，已知，即能推出，则p是q的充分条件，故C正确；对于D，由，得或，所以“”是“”的充分不必要条件，故D正确.故选：B.4.设随机变量，若，则（）A. B. C. D.1答案：A解析：思路：由随机变量，，得到，从而求出，再根据二项分布的期望公式求出．解答过程：解：随机变量，，，解得，．故选：．5.已知，，，则这三个数的大小关系为（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：根据对数单调性可判断三个数的范围，即可得到三个数的大小关系．解答过程：，，；比较可得．6.若的展开式中各项系数和为，则其展开式中的常数项为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由各项系数和可求得，由此可得展开式通项公式，令可求得，代入通项公式即可得到常数项.解答过程：令得：，解得：，则展开式通项为：，令得：，展开式中的常数项为：.故选：C.7.某校为高一两个班，高二两个班，高三两个班招聘了甲、乙等6位班主任，若随机安排他们每人担任一个班的班主任，则其中甲、乙两人恰好在同一年级的概率是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据所有的分配方案有种，其中甲、乙两人恰好在同一年级的分配方案有，从而求得甲、乙两人恰好在同一年级的概率．解答过程：将这6个人随机安排他们每人担任一个班的班主任的分配方案有种.其中甲、乙两人恰好在同一年级的分配方案有.则其中甲、乙两人恰好在同一年级的概率是故选：D方法提示：本题主要考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．8.已知函数（，且）在上单调递减，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：首先由分段函数在上是减函数求出a的一个范围，然后作出的图象和直线，讨论图象交点的位置，得到方程解的情况，讨论求解即可．解答过程：由在上单调递减可知，参数a需满足，解得；结合函数图象，当时，函数的图象和直线有且只有一个公共点，即当时，方程只有一个实数解．因此，只需当时，方程恰有一个实数解．根据已知条件可得，当时，，即只需方程恰有一个实数解，即，即，在上恰有一个实数解，判别式，因为，所以．当，即时，方程有一个正实根、一个负实根，满足要求；当，即时，方程的一个根为，一个根为，满足要求；当，即时，因为，此时方程有两个负实根，不满足要求；当时，方程有两个相等的负实根，满足要求．综上可知，实数的取值范围是．方法提示：本题考查函数的单调性，考查方程根的分布问题，解题关键是掌握转化与化归思想．首先方程的根的个数转化为函数图象交点个数，然后函数图象交点个数又转化为二次方程根的分布．本题还考查了数形结合思想．对学生分析问题解决问题的能力要求较高，属于难题．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.已知关于的回归方程为，则样本点的残差为2.2B.回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好C.随机变量X满足，若，则D.设A，B为两个随机事件，，若，则事件A与事件B相互独立答案：BCD解析：思路：求出样本点的残差判断A；由残差的意义判断B；根据正态曲线的对称性求解C；根据条件概率公式及独立事件的定义判断D．解答过程：对于A，残差定义为观测值（实际值）减去预测值，即，对于样本点，预测值，所以其残差为，故A错误；对于B，回归分析中，残差平方和是实际值与预测值差的平方和，其值越小说明预测值与实际值越接近，拟合效果越好，故B正确；对于C，，正态分布对称轴，若，则，即，解得，C正确，对于D，因为，所以，所以事件A与事件B相互独立，故D正确.10.下列说法正确的是（）A.若对都成立，则实数k的取值范围是B.函数（且）恒过定点C.已知函数的定义域为，则的定义域为D.若，，且，则的最小值为答案：BD解析：思路：对于A，分与二次函数恒成立求参数范围；对于B，令对数真数为求定点；对于C，由内层函数值域求抽象函数定义域；对于D，条件式构造“”，用均值不等式求最小值，筛选正确选项．解答过程：对于A，根据具体函数定义域结合已知得出在上恒成立，若，则，符合条件，若，则，解得，综上，A错误；对于B，函数（且），令，解得，，所以恒过定点为，B正确；对于C，已知函数的定义域为，即，即，所以的定义域为，C错误；对于D，，，且，则，则，当且仅当，即，时，等号成立，D正确.11.定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间的长度可以是（）A.1 B. C. D.2答案：ABC解析：思路：利用绝对值和二次函数的性质，分区间表示，根据定义作出函数的图象，根据在区间上的值域为，结合图象讨论区间的长度，得出选项.解答过程：利用绝对值和二次函数的性质，分区间表示：根据定义作出函数的图象（实线部分），其中，.已知在区间上的值域为：最小值：仅在的顶点处取得.最大值：在上解得（），或在上解得（）.故区间的最小长度：区间包含顶点和上的，即，其长度为，故A对；中间长度：区间左端点扩展到，此时，即，区间长度为，故B对；最大长度：区间左端点扩展到，此时，因为时单调递增，所以区间为，长度为，故C对；当区间长度为2时，由图象可知，区间包含或的点，故D错.故选：ABC.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数且，则的值为______．答案：解析：解答过程：函数且，所以，即,所以13.某重点中学5位教师响应上级号召到某对口西部地区的乡村中学支教，若将这5位教师分配到该地区的3所乡村中学，每所学校至少分配1人，则分配方案的总数为______（用数字作答）．答案：150解析：解答过程：先将5位教师分成3组，且每组至少1人，一共有2种分组方式：其中1、1、3分配方式有种；1、2、2分组方式有种；再将分好组的3组教师分配到3所乡村中学，其分法有种，所以分配方案的总数为14.函数，若互不相同，且，则的取值范围是___________．答案：解析：思路：不妨设，作出函数图像，根据对称性，，，进而可以将转化为的二次函数，用二次函数的单调性来求取值范围.解答过程：解：画出函数图像如下图所示，不妨设，由图可知，，即，所以，由于二次函数对称轴是，，所以，且，所以，故令，，因为函数对称轴是，在区间单调递增，所以.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知全集，集合，，.（1）求，；（2）若，求的取值范围.答案：（1），或（2）解析：思路：（1）求得集合，再根据交集、并集及补集的定义求解即可；（2）由题意可得，分、分别求解即可.（1）因为集合，，所以，，或，或.（2）当时，，解得，满足，故；当时，由，得：或，解得或，综上，实数的取值范围为.16.在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响．（1）已知在安静环境下，语音识别成功的概率为0.9；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为0.6．某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为0.3，处于嘈杂环境的概率为0.7．（ⅰ）求测试结果为语音识别成功的概率；（ⅱ）已知测试结果为语音识别成功，求当天处于安静环境的概率；（2）已知当前每次测试成功的概率为0.8，现采用如下测试方案：先测试3次，如果这3次中成功次数小于等于2次，则再测试2次，否则不再测试，求需要再测试2次的概率．答案：（1）（ⅰ）0.69；（ⅱ）（2）0.488解析：思路：（1）（i）应用全概率公式计算求解；（ii）应用贝叶斯公式计算求解．（2）根据二项分布及对立事件化简求解即可.．（1）（i）记事件A是“安静环境”，则是“嘈杂环境”，记事件B是“语音识别成功”所以，，，所以.（ii）已知测试结果为语音识别成功，则当天处于安静环境的概率，.（2）前3次成功次数为，需要再测试2次的条件是，即.17.已知函数．（1）判断的奇偶性；（2）判断函数的单调性，利用函数单调性的定义进行证明；（3）若不等式成立，求实数m的取值范围．答案：（1）为奇函数（2）函数在定义域内单调递减，证明如下：因为，令，则，因为，则，可得，，，可得，即，所以在定义域上单调递减.（3）解析：思路：（1）利用奇偶性定义判断的奇偶性；（2）令，根据函数解析式判断的符号，即可证的单调性；（3）根据题意结合函数性质可得，解不等式即可得取值范围．（1）由题意可知：函数的定义域为，对，都有，则，所以为奇函数.（2）略（3）因为，且为奇函数，则，又因为在定义域上单调递减，则，即，解得，所以实数m的取值范围为.18.某高校组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女生参与答题意愿的差异，男生、女生各取100人．设事件“学生愿意报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计，．（1）根据已知条件，依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关？性别男生女生合计不愿报名参加答题活动愿意报名参加答题活动合计200（2）从愿意报名参加答题活动的学生中按性别比例用分层随机抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，再从这6名学生中抽取2人进行座谈，在有女生参加座谈的条件下，求恰有两名女生参加座谈的概率（3）假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为．若答题活动设置4道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题，直到4道题答完．已知甲同学报名参加答题活动，用X表示在本次答题的题目数量，求X的分布列和期望．参考公式：，其中参考数据：0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828答案：（1）性别男生女生合计不愿报名参加答题活动206080愿意报名参加答题活动8040120合计100100200认为学生报名参加答题活动与性别有关联（2）（3）X的分布列为：X1234P解析：思路：（1）根据已知条件求出列联表中的数据，再计算出的值判断即可；（2）基于分层抽样得出抽取的男女生人数，结合古典概型计算目标事件组合的概率，最终代入条件概率公式求解．（3）根据“答对即止，最多四题”的规则确定随机变量的取值，利用独立事件乘法公式求出各项概率并列出分布列，最后使用均值公式即可求解.（1）因为，所以愿意报名参加答题活动人数为，又因为，所以愿意报名参加答题活动的男生人数为，愿意报名参加答题活动的女生人数为，则可得到列联表为：性别男生女生合计不愿报名参加答题活动206080愿意报名参加答题活动8040120合计100100200零假设