福建省龙岩市2025~2026学年高二下册7月期末监测数学试卷【附解析】

数学（考试时间：120分钟满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知函数，则（）A. B. C. D.2.下面是不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数是，，，，其中最大的是（）A. B. C. D.3.从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛，则所选3人中恰有2名男生的概率为（）A. B. C. D.4.若随机变量且，则（）A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.65.如图，是圆O的直径，垂直于圆O所在的平面，，D是弧的中点，则异面直线与所成角的大小为（）A. B. C. D.6.设函数，若在R上单调递增，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.7.在长方体中，，，，，，．过M，N，P三点的平面与直线相交于点Q，则等于（）A. B. C. D.8.已知函数．若，，，则（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若为平面的法向量，为平面的法向量，为直线l的方向向量，则（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则10.已知函数，则（）A.当时，曲线在处的切线方程为B.若有且只有两个零点，则a的取值范围是C.当时，在区间上的最大值为1D.对任意，曲线上总存在两条切线，使得它们的斜率互为相反数11.甲盒与乙盒中，初始时均装有大小、质地一样的1个白球和2个黑球．规定一次操作为：从甲盒中随机取出1个球，同时从乙盒中随机取出1个球，将取出的两个球交换放入对方盒中．按此规则重复进行次操作后，甲盒中恰有0个白球，1个白球，2个白球分别记为事件，，，则（）A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若随机变量，则__________．13.已知，，三点，若是锐角，则实数a的取值范围为__________．14.已知正三棱锥的各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，则该正三棱锥体积的最大值为___________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某教育科技公司为了解学生对线上学习工具的使用情况，同时分析工具的周活跃用户变化趋势，随机调查了80名学生，列联表数据如下：不活跃活跃合计初中生162440高中生43640合计206080（1）根据调查结果回答：是否有99.5％的把握认为使用线上学习工具的活跃度与学段有关？（2）下表为该工具上线前5周的周活跃用户数（单位：万人）：周代码x12345活跃用户y4136302419求y关于x的线性回归方程．附：①，其中．0.10.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828②在利用最小二乘法求得的线性回归方程中，，，，．16.已知函数，．（1）求的单调区间；（2）若恒成立，求a的取值范围．17.如图，在正三棱柱中，M为线段的中点，N为线段上的动点．（1）求证：；（2）若，，二面角的余弦值为，求点到平面的距离．18.某校为庆祝建校百年，组织数理化知识竞赛．题库中数学、物理、化学占比分别为，，．甲同学从中任选一道题作答，设回答正确的概率为p．（1）若甲同学回答数学、物理、化学这三类题中每道题的正确率分别为，，．（ⅰ）求p；（ⅱ）若甲同学从这三类题中各任选一道题作答，回答正确得3分，回答错误得分．用X表示该同学回答三道题后的总得分，求X的分布列及数学期望；（2）知识竞赛规则：随机从题库中抽取道题目，答对题目数不少于n道，即可获得奖励．若时获奖的可能性比时大，求p的取值范围，并说明理由．19.已知函数，．（1）若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值；（2）已知，记为的导函数，，若存在两个极值点．（ⅰ）证明：；（ⅱ）已知，求的取值范围．

数学（考试时间：120分钟满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知函数，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：求导后代入计算即可得.解答过程：，则.2.下面是不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数是，，，，其中最大的是（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由散点图的趋势可知且接近1，，与绝对值较小，所以最大.3.从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛，则所选3人中恰有2名男生的概率为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由题意可得，所选3人中恰有2名男生的概率为.4.若随机变量且，则（）A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6答案：D解析：解答过程：由，则，而，则，所以.5.如图，是圆O的直径，垂直于圆O所在的平面，，D是弧的中点，则异面直线与所成角的大小为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：因为，平面，，，故可将其补形为如图的长方体，因为平面，平面，所以，因为，所以异面直线与所成角为，设，则，则，则，故异面直线与所成角的大小为6.设函数，若在R上单调递增，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据给定条件，利用导数结合分段函数单调性求出的范围.解答过程：函数，函数在上单调递增，由函数在R上单调递增，得函数在上单调递增，且，则，恒成立，且，而当时，，因此，且，所以实数a的取值范围是.7.在长方体中，，，，，，．过M，N，P三点的平面与直线相交于点Q，则等于（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设点坐标，利用可得点Q坐标，从而可以计算的值.解答过程：如图，以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系..又因为，，，所以设，则，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，，所以.因为点在平面上，所以，即，解得.所以.8.已知函数．若，，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先判断函数的奇偶性，求导判断函数单调性，比较自变量大小，利用单调性比较函数值；解答过程：因为，所以是偶函数，因此，求导，当时：，令，则，在单调递增，，可得，故又时，，故，所以在单调递增，对取对数得，令，求导得，当时，单调递增；当时，单调递减；因为，计算得，所以，即因为在单调递增，所以，即，故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若为平面的法向量，为平面的法向量，为直线l的方向向量，则（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则答案：AC解析：解答过程：由题意可知若，则，存在实数，使得，所以，解得，选项A正确；若，则，存在实数，使得，所以，解得，选项B错误；若，则，所以，选项C正确.若，则，所以，所以或者，选项D错误.10.已知函数，则（）A.当时，曲线在处的切线方程为B.若有且只有两个零点，则a的取值范围是C.当时，在区间上的最大值为1D.对任意，曲线上总存在两条切线，使得它们的斜率互为相反数答案：ABD解析：思路：由导数的意义可得A；转化为函数交点问题可得B；求导分析单调性可判断C；利用导数的意义结合对数的运算性质可得D.解答过程：对于A，当时，，，所以，切线方程为，故A正确；对于B，若有且只有两个零点，等价于方程有两个正实根，即与有两个交点，，当时，，单调递减；当时，，单调递增；且当时，，当时，，即函数在处取得最小值为1，依题意，可得,故B正确；对于C，当时，，，令，由可得,由可得,所以在上单调递减，在区间上无最值，故C错误；对于D，若对任意，曲线上总存在两条切线，使得它们的斜率互为相反数，则存在，使得，即，整理可得，由于，由等号两边数值的连续性可得命题成立，故D正确.11.甲盒与乙盒中，初始时均装有大小、质地一样的1个白球和2个黑球．规定一次操作为：从甲盒中随机取出1个球，同时从乙盒中随机取出1个球，将取出的两个球交换放入对方盒中．按此规则重复进行次操作后，甲盒中恰有0个白球，1个白球，2个白球分别记为事件，，，则（）A. B.C. D.答案：ABC解析：思路：对A：借助相互独立事件的概率公式计算即可得；对B：借助贝叶斯公式计算即可得；对C：借助全概率公式可得，则可计算出，再利用对立事件概率公式计算即可得解；对D：借助概率公式计算即可得.解答过程：对A：，故A正确；对B：，故B正确；对C：由题意可得，则，由，则，，则，故C正确；对D：，故D错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若随机变量，则__________．答案：16解析：解答过程：由随机变量，得，所以.13.已知，，三点，若是锐角，则实数a的取值范围为__________．答案：解析：解答过程：由，，，则，因为是锐角，所以，且不共线，则，解得且，则实数a的取值范围为.14.已知正三棱锥的各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，则该正三棱锥体积的最大值为___________.答案：解析：思路：由外接球表面积求出半径，设球心到底面距离为，由三角函数关系解出底面三角形面积，由此可确定正三棱锥体积关于的函数关系.解答过程：因为，所以正三棱锥外接球半径，正三棱锥如图所示，设外接球圆心为，过向底面作垂线垂足为，因为是正三棱锥，所以是的中心，所以，,又因为，所以，所以，令，解得所以在递增，在递减，故当时，取最大值，.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某教育科技公司为了解学生对线上学习工具的使用情况，同时分析工具的周活跃用户变化趋势，随机调查了80名学生，列联表数据如下：不活跃活跃合计初中生162440高中生43640合计206080（1）根据调查结果回答：是否有99.5％的把握认为使用线上学习工具的活跃度与学段有关？（2）下表为该工具上线前5周的周活跃用户数（单位：万人）：周代码x12345活跃用户y4136302419求y关于x的线性回归方程．附：①，其中．0.10.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828②在利用最小二乘法求得的线性回归方程中，，，，．答案：（1）有99.5％的把握认为使用线上学习工具的活跃度与学段有关（2）解析：思路：（1）计算卡方后与标准值对比可得；（2）利用最小二乘公式计算可得.（1）假设：认为使用线上学习工具的频率与学段无关．由列联表中的数据，可得因为，故否定假设，所以有99.5％的把握认为使用线上学习工具的活跃度与学段有关．（2）由前5周的活跃用户数，可得，，又，，所以，则，故所求的线性回归方程为．16.已知函数，．（1）求的单调区间；（2）若恒成立，求a的取值范围．答案：（1）当时，的单调递减区间是；当时，单调递减区间是，单调递增区间是；（2）解析：思路：（1）先求导得到，分、两种情况，依据导函数的正负判断原函数的单调性，进而划分出单调区间；（2）法1：借助(1)得到的单调性结论，分、、三类讨论：举反例推翻，直接验证成立，求出函数最小值并令最小值解出的范围，最终整合得到取值范围；法2：对、、分类参数分离构造函数，通过求导分析单调性得到不同区间下的最值与极限情况，从而求出的取值范围.（1）由题意可得，当时，，函数在R上单调递减．当时，令，得，因在R上单调递增，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；综上所述：当时，的单调递减区间是；当时，单调递减区间是，单调递增区间是；（2）法1：当时，由（1）知在R上单调递减，，与恒成立矛盾．当时，恒成立．当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以的最小值为，令，得．综上，实数a的取值范围是．法2：由恒成立，得．当时，恒成立．当时，由恒成立，可得恒成立；当时，由恒成立，可得恒成立；设，则，令得，故当时，，在上单调递减，故当或时，，在，上单调递增，所以当时，的最小值为，此时．当时，，且当时，，此时综上，a的取值范围是．17.如图，在正三棱柱中，M为线段的中点，N为线段上的动点．（1）求证：；（2）若，，二面角的余弦值为，求点到平面的距离．答案：（1）连接，在正三棱柱中，为等边三角形，又因为M为的中点，所以．又因为平面，平面，所以又因为，，平面，所以平面．又因为平面，所以．（2）解析：思路：（1）连接，则由等边三角形的性可得，再由正三棱柱的性质得，然后由线面垂直的判定可得平面，最后由线面垂直的性质可证得结论；（2）如图建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离.（1）略（2）设为的中点，由（1）知，，，如图，以M为原点，以，，的方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系．因为，，设，，所以，，设平面的法向量为，所以，令，得，，所以平面的一个法向量为，由已知得，，，所以的中点，所以平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，因为二面角的余弦值为，所以，化简得，解得，，因为，所以，所以平面的一个法向量为，，又，所以，所以点到平面的距离，所以点到平面的距离为．18.某校为庆祝建校百年，组织数理化知识竞赛．题库中数学、物理、化学占比分别为，，．甲同学从中任选一道题作答，设回答正确的概率为p．（1）若甲同学回答数学、物理、化学这三类题中每道题的正确率分别为，，．（ⅰ）求p；（ⅱ）若甲同学从这三类题中各任选一道题作答，回答正确得3分，回答错误得分．用X表示该同学回答三道题后的总得分，求X的分布列及数学期望；（2）知识竞赛规则：随机从题库中抽取道题目，答对题目数不少于n道，即可获得奖励．若时获奖的可能性比时大，求p的取值范围，并说明理由．答案：（1）（ⅰ）（ⅱ）X159P．（2），理由如下：当时，Y为答对题目的数量，由题意可知，故当时，获得奖励的概率，当时，获得奖励的情况可以分为如下情况：①前8道题答对题目的数量大于等于5，②前8道题答对题目的数量等于4，且最后2道题至少答对1道题，③前8道题答对题目的数量等于3，且最后2道题全部答对，故当时，获得奖励的概率，所以，因为，所以，即，所以．解析：思路：（1）（ⅰ）由全概率公式代入数据求解即可；（ⅱ）确定的可能取值，求得对应概率，即可求解；（2）结合二项分布，求得和时获奖概率，再通过作差法求解即可.（1）（ⅰ）设“甲同学所选的题目回答正确”，“所选的题目为数学相关知识的题目”，“所选的题目为物理相关知识