甘肃省天水市麦积区2025~2026学年高一下册教育教学质量调研数学试卷【附解析】

数学考试时间：120分钟总分：150分一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在四边形中，若，则四边形的形状一定是（）A.梯形 B.平行四边形 C.菱形 D.矩形2.复数的虚部为（）A.-3 B.-3i C.1 D.i3.如图，是一个平面图形的直观图，若，则这个平面图形的面积是（）A. B. C. D.4.已知，，则（）A. B. C. D.5.已知向量，，若，则（）A. B. C.7 D.36.甲、乙两学生独立地解答同一道数学问题，甲生解答正确的概率是0.9，乙生解答正确的概率是0.8，那么至少有一学生解答正确的概率是A.0.26 B.0.28 C.0.72 D.0.987.空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列说法错误的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则8.如图，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进到达处，在处测得对于山坡的斜度为，若，山坡与地平面的夹角为，则（）A. B. C. D.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.已知，，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若事件，相互独立，则D.若事件，相互独立，则10.在中，，，，则（）A. B.的面积为C.外接圆的直径是 D.若是的中线，则11.在三棱锥中，平面，，，，则（）A.异面直线与所成的角为B.点A到平面的距离为C.二面角的正弦值为D.三棱锥各顶点均在半径为3的球的球面上三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上．）12.的值是______.13.已知圆锥的高为，侧面积是底面积的倍，则圆锥的体积为________．14.如图，矩形中，，以为圆心、为半径在矩形内部作弧，点是弧上一动点，，垂足为，垂足为，则四边形的周长的最小值为_______．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.已知向量，.（1）求；（2）已知，且，求向量与向量的夹角.16.如图所示，矩形所在的平面，分别是的中点.（1）求证：平面.（2）17.抛掷一蓝、一黄两枚质地均匀且四个面分别标有数字的正四面体骰子，记蓝色骰子与地面接触的面上的数字为，黄色骰子与地面接触的面上的数字为．（先列出样本空间和随机事件再求）（1）记事件为“”，求事件的概率；（2）记事件为“能被整除”，事件为“”，求事件的概率．18.在中，角的对边分别为，已知.（1）求的值；（2）若，求的值；（3）若的面积为，且，求的周长.19.如图，长方体中，，，点P为的中点.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值；（3）在直线上是否存在点Q使得平面，若存在，则此时为多少；若不存在，请说明理由.

数学考试时间：120分钟总分：150分一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在四边形中，若，则四边形的形状一定是（）A.梯形 B.平行四边形 C.菱形 D.矩形答案：B解析：思路：根据向量相等和平行四边形定义判断可得答案.解答过程：四边形中，所以，且，所以四边形为平行四边形.而邻边不一定相等、且不一定垂直，所以四边形不是梯形，也不一定是菱形、矩形.2.复数的虚部为（）A.-3 B.-3i C.1 D.i答案：A解析：思路：首先化简等式求出复数，然后根据虚部的定义确定正确选项.解答过程：因为复数，所以虚部为-3.故选：A.3.如图，是一个平面图形的直观图，若，则这个平面图形的面积是（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：根据斜二测画法的性质：原图形面积与直观图面积满足关系

，已知，，，因此，直观图面积：

，代入面积关系得原图形面积：.4.已知，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由题意利用两角差点余弦公式先求，再根据两角和的余弦公式即可求解.解答过程：由，又，所以，所以，故选：A.5.已知向量，，若，则（）A. B. C.7 D.3答案：D解析：思路：由坐标表示向量平行计算可得．解答过程：向量，，因为，所以，得．故选：D6.甲、乙两学生独立地解答同一道数学问题，甲生解答正确的概率是0.9，乙生解答正确的概率是0.8，那么至少有一学生解答正确的概率是A.0.26 B.0.28 C.0.72 D.0.98答案：D解析：思路：先记“甲解答数学问题正确”为事件，“乙解答数学问题正确”为事件，根据题意即可求出结果.解答过程：记“甲解答数学问题正确”为事件，“乙解答数学问题正确”为事件，由题意可得，，则至少有一学生解答正确的概率是.故选D方法提示：本题主要考查相互独立事件的概率，熟记概率计算公式即可，属于基础题型.7.空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列说法错误的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则答案：B解析：思路：根据各项线线、线面、面面的位置关系，结合平面的基本性质判断各项的正误.解答过程：A：由，则或，又，则，对；B：由，则平行或相交（不一定垂直），错；C：由，则，又，则必有，对；D：由，则，又，则，对.故选：B8.如图，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进到达处，在处测得对于山坡的斜度为，若，山坡与地平面的夹角为，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：在中，根据题意得，在中，由正弦定理：，即可计算求得答案.解答过程：在中，，，，，故，在中，由正弦定理：因为，所以，代入，，得，即：，所以，即.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.已知，，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若事件，相互独立，则D.若事件，相互独立，则答案：BCD解析：解答过程：A.因为，所以，A错误；B.因为，所以互斥，由互斥事件加法法则得，B正确；C.因为事件相互独立，由独立事件乘法公式得，C正确；D.由加法变形公式得，D正确.10.在中，，，，则（）A. B.的面积为C.外接圆的直径是 D.若是的中线，则答案：AD解析：思路：根据余弦二倍角公式得，进而得，再根据余弦定理求解，判断A；根据面积公式计算判断B；根据正弦定理计算判断C；根据，结合余弦定理得，再代入数据计算判断D.解答过程：已知在中，，，，由二倍角公式：，代入得：，因为，所以.对于A选项，由余弦定理：，即，故A选项正确；对于B选项，三角形面积公式：，故B选项错误；对于C选项，由正弦定理（为外接圆直径）：，故C选项错误；对于D选项，因为是的中线，所以，所以，由余弦定理得：，即，代入数值得：，故D选项正确.11.在三棱锥中，平面，，，，则（）A.异面直线与所成的角为B.点A到平面的距离为C.二面角的正弦值为D.三棱锥各顶点均在半径为3的球的球面上答案：ACD解析：思路：由两两垂直的条件，先推导线面垂直，解决A选项异面直线垂直问题；固定体积不变，用等体积法列式求点面距，判断B选项；取等腰三角形底边中点构造棱的两条垂线，找到二面角平面角，解直角三角形求正弦值，判断C选项；利补体法，由体对角线求外接球半径，判断D选项.解答过程：对于A选项，因为平面，平面，所以，又，，所以平面，由平面知，故异面直线与所成的角为，故A正确；对于B选项，显然三棱锥的体积，而，，记M为中点，连接，由等腰三角形得，由勾股定理得，故的面积，可知点A到平面的距离，故B错误；对于C选项，连接，，由，，平面，平面知为二面角的平面角，而，可得，故C正确；对于D选项，由两两垂直，可将三棱锥补成长方体，其长宽高分别为，三棱锥外接球与长方体外接球相同，外接球直径等于长方体体对角线：，，故D正确．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上．）12.的值是______.答案：解析：思路：用诱导公式化为同角，然后逆用两角和的正弦公式求解．解答过程：．故答案为：．13.已知圆锥的高为，侧面积是底面积的倍，则圆锥的体积为________．答案：##解析：思路：根据题意求出底面半径，然后结合锥体的体积公式计算即可.解答过程：设圆锥的底面半径是，母线长为，高为，则，化简得，所以，解得，所以圆锥的体积.14.如图，矩形中，，以为圆心、为半径在矩形内部作弧，点是弧上一动点，，垂足为，垂足为，则四边形的周长的最小值为_______．答案：解析：思路：连接，设，其中，则，周长，再利用三角函数恒等变换,能求出四边形的周长的最小值.解答过程：连接，设，其中，则，周长，，要让周长最小，即让最大，即最大，在时取到最大值，当时，周长有最小值，故答案为.方法提示：本题考查四边形周长的最小值的求法,具体涉及到圆的简单性质、三角函数等基本知识.解题时要认真审题，是解决本题的关键.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.已知向量，.（1）求；（2）已知，且，求向量与向量的夹角.答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）利用向量减法的坐标表示求出，再借助坐标计算向量的模；（2）利用向量的数量积运算律转化求出向量的数量积，再结合已知向量的模求出夹角.（1）由题知，，，所以，所以.（2）由题知，，，设向量与向量的夹角为，所以，即，解得，因为，所以所以向量与向量的夹角为.16.如图所示，矩形所在的平面，分别是的中点.（1）求证：平面.（2）答案：(1)见解析；（2）见解析．解析：思路：解答过程：试题分析：（1）取的中点，连接，构造平行四边形，证得线线平行，进而得到线面平行；（2）由第一问得到，又因为平面,,进而证得结论．解析：（1）证明：取的中点，连接,分别是的中点,,,四边形是平行四边形，平面，平面,平面.（2）平面，,又,平面,,又，.点睛：这个题目考查了线面平行的证明，线线垂直的证明．一般证明线面平行是从线线平行入手，通过构造平行四边形，三角形中位线，梯形底边等，找到线线平行，再证线面平行．证明线线垂直也可以从线面垂直入手．17.抛掷一蓝、一黄两枚质地均匀且四个面分别标有数字的正四面体骰子，记蓝色骰子与地面接触的面上的数字为，黄色骰子与地面接触的面上的数字为．（先列出样本空间和随机事件再求）（1）记事件为“”，求事件的概率；（2）记事件为“能被整除”，事件为“”，求事件的概率．答案：（1）（2）解析：思路：（1）先利用列举法求出基本事件总数，再得到事件的对立事件的事件数，结合古典概型求概率即可；（2）根据题意，利用列举法求出事件的事件数，再结合古典概型求概率即可．（1）由题意可知，所有样本点可表示为，其中，都是，，，中的数，则样本空间且，事件：“”，则对立事件：“”，对立事件，符合条件的基本事件数，所以，因此．（2）由（1）可知，样本空间且，事件表示“能被整除或”，则事件包含样本点为：，，，，，，，，，，，，符合条件的基本事件数，所以.18.在中，角的对边分别为，已知.（1）求的值；（2）若，求的值；（3）若的面积为，且，求的周长.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据正弦定理，将边换成角，再根据两角和与差公式化简合并，即可求解.（2）由（1）可知，根据同三角函数关系可求出，再根据正弦定理求出，根据二倍角公式进一步求出与，最后利用两角和与差公式即可求解.（3）根据面积公式和余弦定理变形公式即可求解.（1）解：（1）因为，由正弦定理得，即，因为，则，故.（2）因为，且，则，，.，，.（3），因为由余弦定理得，于是，因为，则，所以，因此，于是的周长.19.如图，长方体中，，，点P为的中点.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值；（3）在直线上是否存在点Q使得平面，若存在，则此时为多少；若不存在，请说明理由.答案：（1）由长方体性质可得平面，又平面，故，又，则底面为正方形，故，又，、平面，故平面，又平面，故平面平面；（2）