广东省广州市天河区2025~2026学年高一下册学业水平调研数学试卷【附解析】

数学满分为150分，调研时间120分钟.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则（）A.2 B.2i C.10 D.10i2.已知向量，，若A，B，C三点共线，则实数（）A. B.3 C.2或3 D.或3.某学校组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，校团委从参加这五个社团的学生中随机选取部分学生进行问卷调查，选取的学生情况绘制成如下不完整的两个统计图，则选取的学生中，绘画社团的学生数为（）A.16 B.18 C.20 D.254.如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东的方向航行海里后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东的方向航行10海里后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，需要航行的距离是（）A.20海里 B.海里 C.海里 D.海里5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（）A. B. C. D.6.已知事件A，B，C满足，，，下列结论正确的是（）A.B，C互为对立事件 B.若，则C.若A，B互斥，则 D.若A，B相互独立，则7.有一组样本数据为，3，7，8，9，11，在其中添加一个数构成一组新的样本数据，若，则新旧样本数据的下四分位数相等的概率为（）A. B. C. D.8.若平面向量，，两两夹角相等且两两不共线，，，，设，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.已知，，…，的极差为6，平均值为2，中位数为1，方差为3.若（，2，…，n），设，，…，的极差为，平均值为，中位数为p，方差为t，则（）A. B. C. D.10.已知向量，，函数的最小正周期为，则（）A.的最大值为B.在上单调递增C.在上所有零点之和为D.把的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，可得到的图象11.已知正三棱台是由一个平面截棱长为6的正四面体所得，其中，，以点A为球心，为半径的球面与侧面的交线为曲线，为上一点，则（）A.点A到平面的距离为 B.三棱台的体积为C.所有线段所形成的曲面面积为 D.三棱台外接球的表面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数满足，则________.13.点P在直二面角的棱上，C，D分别在，内，且，则________.14.某人有一把雨伞用于上下班，如果一天上班时他在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿伞去办公室，如果一天下班时他在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿伞回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在这把雨伞在家里，那么连续上班两天，他两天都不淋雨的概率为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，已知正方体，求证：（1）；（2）平面平面.16.从某企业抽查某种产品的一项质量指标，进行统计分析，制成如图所示的频率分布直方图（各区间分别为，，，，）.（1）根据频率分布直方图，估计该企业这种产品的此项质量指标的平均数；（每组数据用所在区间的中点值作代表）.（2）用比例分配的分层随机抽样方法从产品质量指标在和内的产品中抽取件；再从这件中随机抽取件，求这件产品质量指标都在内的概率.17.在中，内角、、所对的边分别为、、，已知.（1）证明：；（2）若的面积，求.18.如图，四棱锥中，平面，四边形为平行四边形.（1）已知平面平面，证明：；（2）若平面平面，证明：；（3）若，，，记与平面所成角为，求的最大值.19.在中，、、分别是边、、上的点.（1）若是的中点，且，，，求；（2）若为平面上任意一点，设，求证：；（3）若、、交于一点，求证：.

数学满分为150分，调研时间120分钟.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则（）A.2 B.2i C.10 D.10i答案：A解析：解答过程：在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则，所以，.2.已知向量，，若A，B，C三点共线，则实数（）A. B.3 C.2或3 D.或答案：B解析：解答过程：因为A，B，C三点共线，可知，则，可得，所以.3.某学校组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，校团委从参加这五个社团的学生中随机选取部分学生进行问卷调查，选取的学生情况绘制成如下不完整的两个统计图，则选取的学生中，绘画社团的学生数为（）A.16 B.18 C.20 D.25答案：C解析：解答过程：由条形统计图可知，演讲社团的人数为30，由扇形统计图可知，演讲社团的人数占选取学生总人数的，所以选取的学生总人数为.由扇形统计图可知，舞蹈社团和英语协会的人数占比均为，所以舞蹈社团和英语协会的人数均为；又由条形统计图可知，合唱社团的人数为70，所以绘画社团的学生数为.4.如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东的方向航行海里后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东的方向航行10海里后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，需要航行的距离是（）A.20海里 B.海里 C.海里 D.海里答案：D解析：解答过程：因为，由余弦定理可得.所以，即从A到C，需要航行的距离是.5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：设圆柱的底面半径为，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径的方程，求出解后可求圆锥的体积.解答过程：设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为，而它们的侧面积相等，所以即，故，故圆锥的体积为.故选：B.6.已知事件A，B，C满足，，，下列结论正确的是（）A.B，C互为对立事件 B.若，则C.若A，B互斥，则 D.若A，B相互独立，则答案：C解析：思路：根据对立事件定义、集合包含关系、互斥事件概率公式、相互独立事件的概率公式逐项判断各选项正误.解答过程：选项A：互为对立事件的充要条件为两事件交集为空集且并集为样本空间，仅无法推出B与C互为对立事件，故A错误；选项B：若，则，因此，故B错误；选项C：若A与B互斥，根据互斥事件的概率加法公式，可得，故C正确；选项D：若A与B相互独立，则A与也相互独立，，因此，故D错误.7.有一组样本数据为，3，7，8，9，11，在其中添加一个数构成一组新的样本数据，若，则新旧样本数据的下四分位数相等的概率为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：求出原始数据的下四分位数为3，再重新求得新的一组数据的下四分位数，求出满足题意的所有的取值，即可求得相应概率.解答过程：易知样本数据共6个，，因此样本数据的下四分位数为第2个数，即3；添加一个数构成一组新的样本数据共有7个数，，因此新数据的下四分位数为第2个数，也得为3；所以添加的数大于等于3即可满足题意，即可以为；在中任选一个作为共有6种选择，因此所求概率.故选：C8.若平面向量，，两两夹角相等且两两不共线，，，，设，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先确定平面内三个不共线向量的两两夹角为，再分别计算和，再根据投影向量公式计算可得.解答过程：因为平面内三个两两不共线的向量两两夹角相等，故两两夹角均为，所以.又，，，所以，，.由，所以，所以在方向上的投影向量为.因此，在方向上的投影向量为.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.已知，，…，的极差为6，平均值为2，中位数为1，方差为3.若（，2，…，n），设，，…，的极差为，平均值为，中位数为p，方差为t，则（）A. B. C. D.答案：BC解析：解答过程：选项A：极差为数据最大值与最小值的差，给每个数据加2后，新数据的最大值和最小值均增加2，差值不变，故，错误.选项B：因为，所以，正确.选项C：将原数据从小到大排序后，中位数为中间位置的数值，给所有数据加2不改变排序，中位数对应数值也加2，故，正确.选项D：方差衡量数据的离散程度，给所有数据加常数不改变离散程度，故，错误.10.已知向量，，函数的最小正周期为，则（）A.的最大值为B.在上单调递增C.在上所有零点之和为D.把的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，可得到的图象答案：ABD解析：思路：先通过向量数量积运算结合辅助角公式推导的解析式，再利用三角函数的性质、图像变换规则逐一判断选项.解答过程：因为最小正周期为，所以，所以.对于A：因为，所以，故A正确；对于B：当时，令，因为在上单调递增，所以在上单调递增，所以在上单调递增，故B正确.对于C：令，又因为，所以，所以所有零点和为，故C错误.对于D：把的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍变为，再向左平移个单位，可得，故D正确.11.已知正三棱台是由一个平面截棱长为6的正四面体所得，其中，，以点A为球心，为半径的球面与侧面的交线为曲线，为上一点，则（）A.点A到平面的距离为 B.三棱台的体积为C.所有线段所形成的曲面面积为 D.三棱台外接球的表面积为答案：ACD解析：思路：对于A，根据正四面体的性质进行计算，可判定；对于B，可以用等体积法换底面与顶点进行计算；对于C，结合球的性质研究得到曲线为等边三角形的以中心为圆心，半径为2的圆在梯形内的两段圆弧，故点的轨迹为两段圆弧，每一段的圆心角都是，端点都是等边三角形边的三等分点，曲线的长度为，所有线段所形成的曲面是以为顶点，圆为底面的圆锥的侧面少了2小部分，根据圆锥侧面积计算公式即可求解；对于D，设三棱台外接球的半径为，求出下底面外接圆半径,上底面外接圆半径,设棱台高为，则，求得，设外接球球心到下底面中心距离为，那么外接球球心到上底面中心距离为或，则或求出半径,再求出外接球表面积即可判断.解答过程：对于A，设截得已知三棱台的正四面体为，根据正四面体的性质，点到平面的距离平面，垂足为，，A选项正确；对于B，由于正三棱台是由一个平面截棱长为6的正四面体所得，，故,所以,故B选项错误；对于C，以点为球心，为半径的球面与侧面的交线为曲线，为上一点，则由A选项可知，平面，,.所以，如图所示,点轨迹是以等边三角形中心为圆心，半径为2的圆在梯形内的两段圆弧，分别为，每一段的圆心角都是，端点都是等边三角形边的三等分点，曲线的长度为，所有线段所形成的曲面是以为顶点，圆为底面的圆锥的侧面少了2小部分，其面积为，故C选项正确.对于D，设三棱台外接球的半径为，则下底面外接圆半径：,上底面外接圆半径：,设棱台高为，则即，解得，设外接球球心到下底面中心距离为，那么外接球球心到下底面中心距离为或，则或即，或解得（舍），或，故，所以外接球表面积：，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数满足，则________.答案：解析：思路：利用复数运算化简，进而求复数的模.解答过程：由，得，所以.13.点P在直二面角的棱上，C，D分别在，内，且，则________.答案：解析：思路：设，过C作AB的垂线，垂足为Q，结合全等三角形、勾股定理及面面垂直的性质可得，进而得到为等边三角形，即可求解.解答过程：设，过C作AB的垂线，垂足为Q，即，因为，则，则，因为，，，所以，又，所以，所以，则为等边三角形，则.14.某人有一把雨伞用于上下班，如果一天上班时他在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿伞去办公室，如果一天下班时他在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿伞回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在这把雨伞在家里，那么连续上班两天，他两天都不淋雨的概率为________.答案：解析：思路：从雨伞初始在家的状态出发，按第一天上班、第一天下班、第二天上班三个节点的天气情况分类，枚举所有满足两天都不淋雨的互斥情形，分别计算各情形概率后求和得到最终结果解答过程：：我们按行程顺序（第一天上班→第一天下班→第二天上班）分步计算，初始状态雨伞在家，要求全程不淋雨（下雨时必须有伞才不淋雨）：第一天上班：人在家、伞在家，无论下不下雨都不淋雨，分两种情况：情况1：第一天上班不下雨，概率，伞留在家，人到办公室；若第一天下班下雨，概率：人在办公室、伞在家，无伞淋雨，不符合要求；若第一天下班不下雨，概率：人回家，伞仍在家，第二天上班无论下不下雨都不淋雨，该分支贡献概率：；情况2：第一天上班下雨，概率，带伞到办公室，伞在办公室，人到办公室；若第一天下班不下雨，概率：人回家，伞留办公室，第二天上班只有不下雨才不淋雨（概率），该分支贡献概率：；若第一天下班下雨，概率：带伞回家，伞回到家，第二天上班无论下不下雨都不淋雨，该分支贡献概率：；总概率：把所有符合条件的分支相加：

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，已知正方体，求证：（1）；（2）平面平面.答案：（1）因为平面，平面，所以.又因为，，平面，所以平面.又平面，所以.（2）因为，平面，平面，所以平面.同理得，平面.又，且平面，所以平面平面.解析：（1）略（2）略16.从某企业抽查某种产品的一项质量指标，进行统计分析，制成如图所示的频率分布直方图（各区间分别为，，，，）.（1）根据频率分布直方图，估计该企业这种产品的此项质量指标的平均数；（每组数据用所在区间的中点值作代表）.（2）用比例分配的分层随机抽样方法从产品质量指标在和内的产品中抽取件；再从这件中随机抽取件，求这件产品质量指标都在内的概率.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用频率分布直方图中所有小矩形面积之和为求出，再利用平均数公式计算即可；（2）根据频率之比确定分层抽样中各层抽取的件数，利用列举法计算古典概型概率.（1）由频率分布直方图可知，组距为，因为所有小矩形的面积之和为，所以，解得.各组频率分别为：

：；

：；

：；：；

：。估计该企业这种产品的此项质量指标的平均数为：.因此，估计该企业这种产品的此项质量指标的平均数为.（2）产品质量指标在内的频率为，在内的频率为.两组的频率之比为，，用比例分配的分层随机抽样方法抽取件，则从内抽取的产品件数为（件），记为；从内抽取的产品件数为（件），记为.从这件产品中随机抽取件，所有可能的情况有：，共种.其中件产品质量指标都在内的情况有：

，共种.故所抽取件产品质量指标都在内的概率为.17.在中，内角、、所对的边分别为、、，已知.（1）证明：；（2）若的面积，求.答案：（1）由及正弦定理可得，即，因为、，所以，因为，故，所以或，若，则；若，即，不符合题意，舍去.综上所述，.（2）或解析：思路：（1）利用及正弦定理、两角和与差的正弦公式化简得出，讨论两角的范围，结合正弦函数的基本性质可证得结论成立；（2）由三角形的面积公式以及正弦定理化简得出，分析可知为锐角，于是得出，可得出或，再结合三角形的内角和定理以及（1）中的结论可求得角的值.（1）略（2）因为，整理可得，由正弦定理可得，因为，所以，由（1）可知，故，因为，所以，故为锐角，所以，因为，所以，因为，所以或，当时，则，则；当时，由得，整理可得，解得，故.综上