广东省广州市越秀区部分校2025~2026学年高二下册期末调研数学试卷【附解析】

数学满分150分．建议完成时间：120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.3名同学报名参加足球队、篮球队，每名同学限报其中的一个运动队，则不同的报名方法的种数是（）A.8 B.6 C.5 D.92.已知离散型随机变量的分布列为1240.2若，则的值为（）A. B. C. D.3.已知函数满足，则（）A.1 B.2 C. D.4.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A.函数在区间内单调递减B.是函数的极大值点C.导函数在区间内单调递减D.是导函数的极小值点5.将一枚质地不均匀的硬币连续抛掷次，表示“硬币正面朝上”出现的次数．已知，，则（）A.3 B.8 C.9 D.166.为考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了甲、乙两组试验，得到如下两个列联表：表1甲组表2乙组药物A疾病B合计药物A疾病B未患病患病未患病患病未服用未服用服用服用合计根据表1的甲组数据计算得到．根据表2的乙组数据与下表中的参考数据，下列推断正确的是（）0.10.050.010.0052.7063.8416.6357.879A.根据小概率值的独立性检验，可以认为药物A对预防疾病B没有效果B.根据小概率值的独立性检验，可以认为药物A对预防疾病B有效果C.根据小概率值的独立性检验，可以认为药物A对预防疾病B有效果D.根据小概率值的独立性检验，可以认为药物A对预防疾病B有效果7.在的展开式中，含的项的系数是（）A. B. C. D.8.若对于任意的实数，函数在上是增函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知数列的前项和公式为，则（）A. B. C. D.是等比数列10.已知随机事件，满足，，，则（）A. B. C. D.11.已知函数，则（）A.当时，只有一个零点B.当时，有两个极值点C.当时，过点可作曲线的三条切线D.若曲线有三个不同的零点，，，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.曲线在点处的切线方程是______13.甲、乙、丙三人进行传球训练，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．第1次由甲将球传出，则3次传球后球在丙手中的概率为______．14.将本不同的书放入个编了号的抽屉，记为这个抽屉中放有书的抽屉的个数，则的数学期望______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数在处有极小值．（1）求实数的值；（2）求函数在区间上的最大值与最小值．16.设某幼苗从观察之日起，第天的高度为（单位：），测得的一些数据如下表所示：第度0479111213（1）补充完整下面的散点图，并根据散点图判断，与哪一个适宜作为关于的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的经验回归方程，并预测该幼苗第64天的高度（结果用最简分数表示）．参考公式：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．17.已知数列的前项和为，且．（1）证明：数列是等比数列；（2）已知数列满足，．若将数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值．18.从某企业生产的某种产品中抽取件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（1）求这件产品质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；（2）已知这件产品质量指标值的样本方差为，由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．（ⅰ）利用该正态分布，求；（ⅱ）某用户从该企业购买了件这种产品，记表示这件产品中质量指标值位于区间的产品件数，利用（ⅰ）的结果，试问当为何值时，最大？并说明理由．附：．若，则，．19.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若，求实数的取值范围；（3）设为整数，且对于任意不小于3的正整数，求的最小值.

数学满分150分．建议完成时间：120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.3名同学报名参加足球队、篮球队，每名同学限报其中的一个运动队，则不同的报名方法的种数是（）A.8 B.6 C.5 D.9答案：A解析：思路：根据给定条件，利用分步乘法计数原理直接列式计算作答.解答过程：依题意，每名同学报名方法数是2，所以3名同学不同的报名方法的种数是.故选：A2.已知离散型随机变量的分布列为1240.2若，则的值为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由分布列的性质可知，，又由，可得，联立，解得.3.已知函数满足，则（）A.1 B.2 C. D.答案：B解析：思路：先将视为常数，对求导后将代入导函数，解方程即可求得结果；解答过程：对求导可得将代入上述导函数表达式：，即.4.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A.函数在区间内单调递减B.是函数的极大值点C.导函数在区间内单调递减D.是导函数的极小值点答案：D解析：解答过程：选项A，当时，，则在上单调递增，故A错误；选项B，当时，，则在上单调递增，则在处不能取得极大值，故选项B错误；选项C，由图象可知导函数在区间内单调递增，故C错误；选项D，由图象可知导函数在区间内单调递减，导函数在区间内单调递增，所以是导函数的极小值点，故D正确.5.将一枚质地不均匀的硬币连续抛掷次，表示“硬币正面朝上”出现的次数．已知，，则（）A.3 B.8 C.9 D.16答案：C解析：思路：由于硬币质地不均匀，故“硬币正面朝上”与“硬币正面朝下”概率不相等，设每次抛掷硬币时，“硬币正面朝上”概率为,由题题意，可知，利用二项分布的期望、方差公式列方程组求解即可解答过程：由于硬币质地不均匀，故“硬币正面朝上”与“硬币正面朝下”概率不相等，设每次抛掷硬币时，“硬币正面朝上”概率为.由题意，可知，那么,解得.6.为考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了甲、乙两组试验，得到如下两个列联表：表1甲组表2乙组药物A疾病B合计药物A疾病B未患病患病未患病患病未服用未服用服用服用合计根据表1的甲组数据计算得到．根据表2的乙组数据与下表中的参考数据，下列推断正确的是（）0.10.050.010.0052.7063.8416.6357.879A.根据小概率值的独立性检验，可以认为药物A对预防疾病B没有效果B.根据小概率值的独立性检验，可以认为药物A对预防疾病B有效果C.根据小概率值的独立性检验，可以认为药物A对预防疾病B有效果D.根据小概率值的独立性检验，可以认为药物A对预防疾病B有效果答案：B解析：思路：先推导乙组卡方统计量与甲组卡方统计量的倍数关系计算乙组卡方值，再与各显著性水平的临界值对比判断选项解答过程：首先计算乙组的卡方统计量：乙组列联表所有数据均为甲组的2倍，因此乙组样本总量为，代入卡方公式得：

代入，得。对比参考临界值判断：当时，临界值，，拒绝“药物A对预防疾病B无效果”的原假设，A错误；当时，临界值，，拒绝原假设，可认为药物A对预防疾病B有效果，B正确；当时，临界值，，不拒绝原假设，C错误；当时，临界值，，不拒绝原假设，D错误.7.在的展开式中，含的项的系数是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据条件，利用组合数和组合数的性质，即可求解.解答过程：的展开式中，含的项的系数为.8.若对于任意的实数，函数在上是增函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：对含参函数求导，增函数条件转化为导函数恒非负，分离参数后先对配方求最小值，再对求最值，得到参数范围.解答过程：函数在上为增函数，等价于对任意，都有恒成立.对求导得，因此条件转化为对任意恒成立.由于为开口向上的二次函数，最小值在顶点处取得，代入得，

因此​，问题转化为对任意恒成立.设，求导得，令得.时，，递减；时，，递增.因此，则.因此​，即的取值范围是.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知数列的前项和公式为，则（）A. B. C. D.是等比数列答案：BCD解析：思路：先根据数列前项和公式求出的通项公式，再结合通项公式逐一判断各选项的正误解答过程：对于A项，当时，；故A错误；对于B项，当时，，时也满足该式，故.则，；，，，故，故B正确；对于C项：，故，故C正确；对于D项，令，则（常数），且首项，故是公比为的等比数列，故D正确.10.已知随机事件，满足，，，则（）A. B. C. D.答案：AC解析：思路：本题考查条件概率公式、全概率公式及贝叶斯公式的应用，通过已知条件计算各选项对应的概率值即可判断正误.解答过程：对于A，,，故选项A正确；对于B，,,,故选项B错误；对于C，，故选项C正确；对于D，由选项A，选项C可知，，，故选项D错误.11.已知函数，则（）A.当时，只有一个零点B.当时，有两个极值点C.当时，过点可作曲线的三条切线D.若曲线有三个不同的零点，，，则答案：ACD解析：思路：根据导函数可判断AB选项；C求出切线方程，将问题转化为的根的个数；D利用求导，代入化简即可.解答过程：，；，若，则，则在上单调递增，则只有一个零点，无极值点，故A正确，B错误；设切点为，则，则切线方程为，即，将代入切线方程，得，令，则，则当或时，在上单调递增；当时，在上单调递减，又，则当，即时有三个根，故C正确；因为，，是的三个不同的零点，所以，所以，则，则，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.曲线在点处的切线方程是______答案：（或）解析：解答过程：，，，在点处的切线方程是：，即．13.甲、乙、丙三人进行传球训练，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．第1次由甲将球传出，则3次传球后球在丙手中的概率为______．答案：解析：解答过程：每次传球时，传球者有2种可选的传球对象，因此3次传球的所有等可能基本事件总数为，列举得第3次传球后球在丙手中的基本事件为：①甲→乙→甲→丙；②甲→丙→甲→丙；③甲→丙→乙→丙，共3种．根据古典概型概率公式得：．14.将本不同的书放入个编了号的抽屉，记为这个抽屉中放有书的抽屉的个数，则的数学期望______．答案：##解析：思路：先确定随机变量的可能取值，计算各取值对应的概率，再代入离散型随机变量的数学期望公式求解解答过程：本不同的书放入个编号抽屉，每本书有种放法，总基本事件数为种，易知的可能取值为，当时，所有书放入同一个抽屉，共种放法，故，当时，先选个抽屉，共种选法，本书放入这个抽屉且均不空，放法为种，总放法为种，故，当时，个抽屉均有书，放法总数为种，所以，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数在处有极小值．（1）求实数的值；（2）求函数在区间上的最大值与最小值．答案：（1）（2）最大值为，最小值为解析：思路：（1）对函数求导，根据导数值求出的值，然后将的值代入导函数中判断是否符合极小值即可.（2）对函数求导，求出函数的极值点，并计算边界点的函数值，进而求出最值.（1）

，求导得.由得，解得或.当时，，在左侧附近，右侧附近，故为极小值点，符合题意.当时，，在左侧附近，右侧附近，为极大值点，舍去.故.（2）由(1)知，.在内令得或.计算，，，，比较知最大值为，最小值为.16.设某幼苗从观察之日起，第天的高度为（单位：），测得的一些数据如下表所示：第度0479111213（1）补充完整下面的散点图，并根据散点图判断，与哪一个适宜作为关于的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的经验回归方程，并预测该幼苗第64天的高度（结果用最简分数表示）．参考公式：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．答案：（1）适宜作为关于的回归方程类型.（2）关于的经验回归方程为；预测该幼苗第64天的高度为.解析：思路：（1）观察散点图趋势，随

增长逐渐放缓，故

更适宜；（2）令将非线性回归转化为线性回归，由最小二乘公式求与，代回原变量得回归方程，代入预测高度.（1）散点图略，适宜作为关于的回归方程类型.理由：观察散点趋势，随增长速度逐渐放缓，与不呈现明显线性相关关系，因此选择更合适.（2）令​，则原方程转化为关于的线性经验回归方程.由题中数据，，计算得，，

，，代入最小二乘公式得，，替换回​，得到关于的经验回归方程.当时，，代入得.即预测该幼苗第64天的高度为.17.已知数列的前项和为，且．（1）证明：数列是等比数列；（2）已知数列满足，．若将数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值．答案：（1）已知数列的前项和为，且，当时，，，解得，当时，有，两式相减，得，所以，即，又因为，，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.（2）解析：思路：（1）利用得到，两式相减即可证明；（2）根据数列和的通项公式，找出数列的规律即可求解.（1）略.（2）由（1）可知，，所以，数列的前几项为，，，，，，，所以，，所以是以为首项，为公差的等差数列，即，所以数列为，所以数列除外，其余项均在数列中，由于，，，即，所以数列的前项中包含的项有，共项，因此还需往后找个非的项，由于，因此要剔除，是接下来的个项，因此的值等于数列的前项和减去，即.18.从某企业生产的某种产品中抽取件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（1）求这件产品质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；（2）已知这件产品质量指标值的样本方差为，由直方图可以认为，这