广东省河源市2025~2026学年普通高中供题训练高二下册数学试卷【附解析】

数学本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设，则（）A.2 B.3 C.4 D.52.经过点，且与直线平行的直线方程为（）A. B. C. D.3.如图，在正方体中，与所成角的大小为（）A. B. C. D.4.已知等差数列前项和为，若，，则（）A.110 B.55 C.25 D.135.某中学高二（1）班筹备校园文化展演，安排了名男生和名女生作为班级方阵的领演，人随机排成一列走在队伍最前方，则两位女生相邻的不同排法种数是（）A.12 B.16 C.20 D.246.展开式中x2的系数为（）A.15 B.20 C.30 D.407.若双曲线：的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为（）A.2 B. C. D.8.已知函数，若函数存在唯一的零点，则实数的值为（）A. B.C.或 D.或二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.一个袋子中有4个大小相同的球，其中有1个红球，3个黑球，每次抽取1个球，有放回地随机抽取2次，设为两次抽取中取到红球的次数，下列选项正确的是（）A. B. C. D.10.已知正项数列前项和为，，，下列选项正确的是（）A.若是等差数列，则 B.若是等比数列，公比C.若是等差数列，则 D.若是等比数列，则11.如图，在棱长为3的正方体中，点，，分别为棱，，的中点，点，，分别是线段，，（不含端点）上的动点，则下列选项正确的是（）A.若为的中点，则平面B.存在点，使得平面C.的最小值为D.若，则取得最小值时平面与平面夹角的余弦值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.曲线在点处的切线方程为_____________________.13.已知随机变量，且，则______．14.已知椭圆，直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点，且，则面积的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列的前项和为，且（）．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．16.如图，在三棱锥中，，，平面平面，．（1）证明：平面；（2）求与平面所成角的正弦值．17.甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．（1）求甲学校获得冠军的概率；（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．18.已知抛物线：（）的焦点为，准线为，过准线上一点作平行于轴的直线交抛物线于点，当点的横坐标为时，．（1）求抛物线的方程．（2）直线交抛物线于，两点，①若，求点的坐标；②求的面积的最小值．19.已知函数，记的最小值为．（1）求；（2）证明：；（3）证明：函数有且只有一个零点．

数学本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设，则（）A.2 B.3 C.4 D.5答案：C解析：思路：根据求导公式及求导法则进行求解即可.解答过程：，，则.2.经过点，且与直线平行的直线方程为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：直线可化为，斜率为.所求直线与已知直线平行，故斜率也为.又所求直线经过点，由点斜式得，整理得，即.3.如图，在正方体中，与所成角的大小为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：首先连接，根据得到或其补角为异面直线与所成角，再解三角形即可.解答过程：连接，如图所示：因为，所以或其补角为异面直线与所成角，又因为为等边三角形，所以.所以直线与所成角的大小为.4.已知等差数列前项和为，若，，则（）A.110 B.55 C.25 D.13答案：B解析：思路：利用等差数列的项的性质，由条件求得，再求，并根据等差数列求和公式化简计算即得.解答过程：因是等差数列，故，解得，又，所以，则.5.某中学高二（1）班筹备校园文化展演，安排了名男生和名女生作为班级方阵的领演，人随机排成一列走在队伍最前方，则两位女生相邻的不同排法种数是（）A.12 B.16 C.20 D.24答案：A解析：思路：根据捆绑法求解即可．解答过程：由两位女生相邻，则将两位女生看成一个整体，则女生内部排列，有种排法，再将一个整体与名男生全排列，有种排法，所以两位女生相邻的不同排法种数是．6.展开式中x2的系数为（）A.15 B.20 C.30 D.40答案：C解析：思路：利用二项展开式通项公式结合多项式乘法法则可得结论．解答过程：展开式的通项公式为，因此所展开式的系数为．故选：C．7.若双曲线：的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为（）A.2 B. C. D.答案：D解析：思路：写出一条渐近线方程，求出圆心到渐近线的距离，由圆的弦长公式求得弦长后得的关系式，从而变形求得离心率．解答过程：双曲线：的一条渐近线不妨为：，圆的圆心，半径为：2，双曲线：的一条渐近线被圆所截得的弦长为，可得圆心到直线的距离为：，所以，，，又，即.故选：D．8.已知函数，若函数存在唯一的零点，则实数的值为（）A. B.C.或 D.或答案：D解析：思路：令可得，由于不是函数的零点，所以，，把问题转化为直线与曲线恰有一个交点，通过求导判断单调性，画出函数图像求解问题.解答过程：令可得，由于不是函数的零点，所以，，把问题转化为直线与曲线恰有一个交点；对函数求导可得，令，解得或，由得或；由得或，因此在和单调递增，在和单调递减．处取极大值，，处取极小值，，画出图像大致如图，由此可得或．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.一个袋子中有4个大小相同的球，其中有1个红球，3个黑球，每次抽取1个球，有放回地随机抽取2次，设为两次抽取中取到红球的次数，下列选项正确的是（）A. B. C. D.答案：BD解析：思路：先根据题意得到，再根据二项分布逐一求解数学期望，方差，及分布列即可判断．解答过程：依题意可得取到红球的概率为，取到黑球的概率为，则，且的可能值为，对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，结合选项C有，故D正确．10.已知正项数列前项和为，，，下列选项正确的是（）A.若是等差数列，则 B.若是等比数列，公比C.若是等差数列，则 D.若是等比数列，则答案：ACD解析：思路：已知正项数列，，，分等差、等比两种情况讨论.解答过程：若为等差数列，则成等差数列.，，所以.设首项，公差，则，得：.选项A：，正确.选项C：，所以，正确.若为等比数列，正项等比，，片段和性质：成等比数列.，，公比.选项B：，两式相除：，即，，错误.选项D：等比片段等比：，，正确.11.如图，在棱长为3的正方体中，点，，分别为棱，，的中点，点，，分别是线段，，（不含端点）上的动点，则下列选项正确的是（）A.若为的中点，则平面B.存在点，使得平面C.的最小值为D.若，则取得最小值时平面与平面夹角的余弦值为答案：ABD解析：思路：A选项先找到线线平行，从而得到线面平行；B选项先找出直线与平面平行，再确定点；C选项找出异面直线公垂线，再求公垂线长度；D选项先找出二面角的平面角，再用余弦定理计算余弦值.解答过程：对于选项A：如图1，若P为的中点，,平面PAC，平面PAC，平面PAC，故A正确；对于选项B：如图2，当P为平面AMNC与的交点时，连接MA，此时，平面PAC，平面PAC，故平面PAC，所以B正确；对于选项C：如图3，连接，平面，，又，，平面，所以平面，平面，所以，同理可得，取BC中点Q，连接，QA分别与，BD相交，取交点分别为F，E，此时，得，因为，，所以，，故EF为，BD的公垂线段，且，所以C不正确；对于选项D：如图4，设，，则，作，垂足为T，连接ET，，，可得，，，，故，当且仅当时“＝”成立，即当E，F分别为BD，中点时EF取得最小值．取EF中点R，连接RB，RC，平面与平面交线为，因为E，F分别为BD，中点，所以，又R是EF中点，所以,则为二面角的平面角，而，得，即此时平面BEF与平面CEF夹角的余弦值为，所以D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.曲线在点处的切线方程为_____________________.答案：解析：思路：首先判定点在曲线上，然后利用导数的几何意义求得答案.解答过程：由题意可知点在曲线上，而，故曲线在点处的切线斜率为，所以切线方程为：，即，故答案为：13.已知随机变量，且，则______．答案：0.1##解析：思路：根据正态分布的性质计算即可.解答过程：因为随机变量，，所以，故.14.已知椭圆，直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点，且，则面积的取值范围是______．答案：解析：思路：分类讨论、所在直线与两坐标轴是否重合，求出原点到直线的距离为定值；再联立方程求出，再表示出三角形面积即可.解答过程：①当、所在直线与两坐标轴重合时，原点O到直线l的距离为；②当直线、的斜率存在且都不为零时，设直线的方程为，则直线OB的方程为，联立，可得，所以，同理可得，所以原点到直线的距离为，综上所述，原点到直线的距离为定值．①当、所在直线与两坐标轴重合时，；②当直线、的斜率存在且都不为零时，则，令，则，因为，所以，则，所以，所以，所以，所以．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列的前项和为，且（）．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用公式可求的通项公式；（2）裂项相消法可求数列的前项和.（1）因为，当时，，当时，，检验，当时，，也满足．所以．（2）因为，，，．16.如图，在三棱锥中，，，平面平面，．（1）证明：平面；（2）求与平面所成角的正弦值．答案：（1）证明：因为平面平面，平面平面，又，所以平面，平面，故，又因为，，平面，平面，故平面．（2）解析：思路：（1）先利用平面平面，证得平面，从而得到，再由，证得平面.（1）略（2）取的中点M，连接，由（1）知平面，平面，所以，又因为，为中点，所以，，所以平面，所以就是与平面所成角，，所以，CD与平面ABD所成角的正弦值为．17.甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．（1）求甲学校获得冠军的概率；（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．答案：（1）；（2）的分布列为01020300.160.440.340.06.解析：思路：（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；（2）依题可知，的可能取值为，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望．（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为．（2）依题可知，的可能取值为，所以，,，，.即的分布列为01020300.160.440.340.06期望.18.已知抛物线：（）的焦点为，准线为，过准线上一点作平行于轴的直线交抛物线于点，当点的横坐标为时，．（1）求抛物线的方程．（2）直线交抛物线于，两点，①若，求点的坐标；②求的面积的最小值．答案：（1）（2）①N点的坐标为，和，；②解析：思路：（1）利用焦半径公式可得，求解即可；（2）（i）设，，，求得直线NF的方程，与抛物线方程联立，由根与系数的关系可得，，由题意可得，求解即可；（ii）由（i）可得，可得，利用换元法与导数，可求得的面积的最小值．（1）由题意知：，解得，所以抛物线C的方程为．（2）（i）设，则直线NF为，即，设，，联立方程：，消元得，，由韦达定理得，，则，将韦达定理代入得：，解得或，因此N点的坐标为，和，．（ii）由（i）可得，故，，令，则，因此，设，，，令，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故的最小值为，即的最小值为．19.已知函数，记的最小值为．（1）求；（2）证明：；（3）证明：函数有且只有一个零点．答案：（1）（2）令，则，当，，单调递减，所以，故时，成立．由（1）知，；所以，即，因此，所以