广东省江门市2025~2026学年高一下册调研（二）数学试卷【附解析】

数学本试卷共6页，19小题，满分150分．测试用时120分钟．1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复平面内，复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数（）A. B. C. D.2.的值为（）A. B. C. D.3.已知，是两条直线，，为两个平面，则下列结论正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，，，则4.如图，在正六边形中，（）A. B. C. D.5.已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（）A. B. C. D.6.已知圆锥的底面半径等于球的半径，圆锥的侧面积等于球的表面积，则圆锥的体积与球的体积之比为（）A. B. C. D.7.函数的部分图象如图所示，则（）A. B.C. D.8.记的内角，，的对边分别为，，，已知，，则的面积最大值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9.已知向量，，则（）A.B.可以作为平面内所有向量的一个基底C.D.向量在向量上的投影向量为10.新会圭峰山是位于广东省江门市新会区的国家森林公园和国家级旅游景区，它以秀丽的自然风光、深厚的历史文化和丰富的生态资源著称，是集观光、休闲、健身于一体的城市绿肺．某校开展数学建模活动，建模小组的学生选择测量圭峰山的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走了米到达点（，，，在同一个平面内），在处测得山顶的仰角为，则（）A. B.C. D.11.如图，在边长为6的正方形中，，分别是，边上的点，且，将，分别沿，折起，使，重合于点．在翻折形成的三棱锥中，则（）A.平面B.平面C.点到平面的距离为D.三棱锥的外接球表面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知是虚数单位，则________．13.已知，则________．14.一棱长为2的正四面体木块如图所示，动点在平面内（含边界），过点将木块锯开，使截面平行于直线和，则截面的面积最大值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算．15.已知，，，向量与的夹角为．（1）求；（2）若与互相垂直，求证：．16.如图，在四棱柱中，平面，底面为菱形，为的中点，求证：（1）平面；（2）．17.已知函数的最大值为2．（1）求常数的值及函数的单调递减区间；（2）将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得到函数的图象，若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．18.如图，在中，已知，，，点，分别是，的中点，，相交于点，过点作直线分别交线段和于点，．（1）求线段的长；（2）求的余弦值；（3）当点不与重合，点不与重合时，求四边形面积的取值范围．19.如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为正方形，侧面为等腰三角形，为的中点，且，．（1）求证：平面；（2）设平面与平面的交线为．（ⅰ）求直线与直线所成角的正弦值；（ⅱ）若为直线上的动点，且满足，是否存在点使直线与平面所成的角为？若存在，请求出满足条件的值；若不存在，请说明理由．

数学本试卷共6页，19小题，满分150分．测试用时120分钟．1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复平面内，复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据复数的几何意义和共轭复数定义解题即可.解答过程：z在复平面对应的点是，根据复数的几何意义得，由共轭复数的定义可知.故选：D2.的值为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：.3.已知，是两条直线，，为两个平面，则下列结论正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，，，则答案：A解析：解答过程：对于A，由，，得，A正确；对于B，由，，得与平行或相交或是异面直线，B错误；对于C，由，，得或，C错误；对于D，，，，，当时，与平行或相交，D错误.4.如图，在正六边形中，（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：在正六边形

中，边

与边

平行且长度相等.由图可知，向量

的方向水平向左，向量

的方向水平向右，所以

与

方向相反，即

，故

.则

.5.已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由是函数的图象的一个对称中心，得，解得，而，则，因此当时，取得最小值.6.已知圆锥的底面半径等于球的半径，圆锥的侧面积等于球的表面积，则圆锥的体积与球的体积之比为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据给定条件，利用圆锥的侧面积、体积公式及球的表面积、体积公式列式求解.解答过程：设球半径为，圆锥的母线长为，由圆锥的侧面积等于球的表面积，得，解得，则圆锥的高，所以圆锥的体积与球的体积之比为.7.函数的部分图象如图所示，则（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：根据给定的函数图象，结合正弦型函数的图象性质求出参数值即可.解答过程：观察函数图象，得，则，而，则函数的半周期，解得，当时，，由，得，解得，因此；当时，，则，解得，因此，所以选项ABD错误，C正确.8.记的内角，，的对边分别为，，，已知，，则的面积最大值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：应用正弦定理计算求出角，再应用面积公式计算求解.解答过程：因为，，所以，由正弦定理得，所以，所以，因为，所以，所以，由余弦定理得出，所以，当且仅当时，取的最大值，所以的面积，所以的面积最大值为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9.已知向量，，则（）A.B.可以作为平面内所有向量的一个基底C.D.向量在向量上的投影向量为答案：ABD解析：解答过程：对于A，由，得，A正确；对于B，向量，由，即不共线，可以作为平面内所有向量的一个基底，B正确；对于C，，而，因此不共线，C错误；对于D，，因此向量在向量上的投影向量为，D正确.10.新会圭峰山是位于广东省江门市新会区的国家森林公园和国家级旅游景区，它以秀丽的自然风光、深厚的历史文化和丰富的生态资源著称，是集观光、休闲、健身于一体的城市绿肺．某校开展数学建模活动，建模小组的学生选择测量圭峰山的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走了米到达点（，，，在同一个平面内），在处测得山顶的仰角为，则（）A. B.C. D.答案：ACD解析：思路：通过分析图形中的角度关系，求出的各个内角，利用正弦定理求出，再在直角三角形中求出，即可逐一判断选项.解答过程：选项A，，，所以.因为，所以与水平线的夹角为，与水平线的夹角为.根据三角形的外角性质或平行线性质，.在中，，故A正确.选项B，由选项A可知.所以.因为通常，所以，而，两者不相等，故B错误.选项C，在中，由正弦定理得，即，解得，故C正确.选项D，在中，.将选项C中求得的代入，得，故D正确.11.如图，在边长为6的正方形中，，分别是，边上的点，且，将，分别沿，折起，使，重合于点．在翻折形成的三棱锥中，则（）A.平面B.平面C.点到平面的距离为D.三棱锥的外接球表面积为答案：ACD解析：思路：利用线面垂直的判定推理判断A；利用余弦定理求解判断B；利用等体积法求出距离判断C；利用直三棱柱外接球的结构特征求出球半径，进而求出球的表面积判断D.解答过程：对于A，由平面，得平面，A正确；对于B，在中，，，则是锐角，不垂直，因此不垂直于平面，B错误；对于C，，，设点到平面的距离为，由，得，因此，C正确；对于D，的外接圆半径，将三棱锥补形成以为底面，为侧棱的直三棱柱，其外接球即为三棱锥的外接球，则该球半径，所以三棱锥的外接球表面积为，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知是虚数单位，则________．答案：解析：解答过程：.13.已知，则________．答案：##解析：解答过程：由，得，整理得，所以.14.一棱长为2的正四面体木块如图所示，动点在平面内（含边界），过点将木块锯开，使截面平行于直线和，则截面的面积最大值为________．答案：1解析：思路：作出过点且平行于直线和的截面并确定截面形状，令，求出截面面积的函数关系并求出最大值.解答过程：过点作交分别于，分别过点作的平行线，交分别于，连接，则四边形是过点且平行于直线和的截面，由，平面，平面，得平面，而平面，平面平面，则，又，因此四边形是平行四边形，由是正四面体，得，则，平行四边形是矩形，令，又正四面体的棱长为2，则，又都是正三角形，于是，矩形的面积，当且仅当时取等号，所以截面的面积最大值为1.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算．15.已知，，，向量与的夹角为．（1）求；（2）若与互相垂直，求证：．答案：（1）（2）由与互相垂直，得，而，，则，即，又都是非零向量，所以．解析：思路：（1）利用数量积的定义及运算律求解.（2）利用数量积的运算律推理得证.（1）由，，与的夹角为，得，所以.（2）略16.如图，在四棱柱中，平面，底面为菱形，为的中点，求证：（1）平面；（2）．答案：（1）设与交于点，接，因为底面是菱形，为中点，又因为是的中点，，面，平面平面．（2）底面是菱形，，底面，底面，，且，平面．平面．平面，．解析：思路：（1）设与交于点，接，可得，即可证明平面；（2）由底面是菱形，得，又底面，可得，证明平面，利用线面垂直的性质可证．（1）略（2）略17.已知函数的最大值为2．（1）求常数的值及函数的单调递减区间；（2）将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得到函数的图象，若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．答案：（1），单调递减区间为（2）解析：思路：（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，由已知求出，再求出单调递减区间.（2）利用三角函数图象变换求出，再求出指定区间上的最值，利用恒成立列式求出范围.（1）函数，由函数的最大值为，得，因此，，由，得，所以函数的单调递减区间是.（2）将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得，将得到的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得，当时，，则，，由不等式恒成立，得，解得，所以实数的取值范围是.18.如图，在中，已知，，，点，分别是，的中点，，相交于点，过点作直线分别交线段和于点，．（1）求线段的长；（2）求的余弦值；（3）当点不与重合，点不与重合时，求四边形面积的取值范围．答案：（1）；（2）；（3）.解析：思路：（1）根据给定条件，利用余弦定理求解.（2）利用数量积的运算律及向量的夹角公式求解.（3）利用共线向量定理的推论及三角形面积公式列出函数关系，再利用对勾函数的性质求出范围.（1）在中，，，由余弦定理得.（2）令，由点分别是的中点，得，则，，，所以.（3）由的中线与相交于点，得点是的重心，则，令，则，由共线，得，解得，由，得，，令，函数在上单调递减，在上单调递增，则，于是，，又，所以，即四边形面积的取值范围.19.如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为正方形，侧面为等腰三角形，为的中点，且，．（1）求证：平面；（2）设平面与平面的交线为．（ⅰ）求直线与直线所成角的正弦值；（ⅱ）若为直线上的动点，且满足，是否存在点使直线与平面所成的角为？若存在，请求出满足条件的值；若不存在，请说明理由．答案：（1）在四棱锥中，由正方形，得，由平面平面，平面平面，平面，得平面，而平面，则，由为的中点，，得，又平面，所以平面.（2）（ⅰ）；（ⅱ）存在，.解析：思路：（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的性质及判定推理得证.（2）（ⅰ）利用线面平行的