广西壮族自治区2025~2026学年高二上册9月入学摸底大联考数学试卷【附解析】

数学满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合且，则（）A B. C. D.2.已知复数，其中为虚数单位，则复数的虚部为（）A. B. C. D.3.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知角终边上一点，则（）A. B. C. D.5.在中，角的对边分别为，且，，则（）A. B. C.2 D.6.如图，在四面体中，是棱的中点，是棱上一点，且，则（）A. B.C. D.7.已知函数，若定义域为R，则实数a的取值范围为（）A. B.C D.8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M=AN=，则MN与平面BB1C1C的位置关系是（）A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下述关于频率与概率的说法中，错误的是（）A.设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品B.做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是C.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率D.利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，即使随机试验的次数超过10000，所估计出的概率也不一定很准确．10.下列说法正确的是（）A.若函数的定义域为，则函数的定义域为B.若函数过定点，则函数经过定点C.函数在上单调递减D.图象关于原点成中心对称11.在长方体中，已知，，M、N分别为、的中点，则（）A.B.异面直线BN与AC所成角的余弦值为C.若点T为长方形ABCD内一点（包括边界），且平面，则长的最小值为D.过点D，M，N的平面截长方体所得的截面周长为三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知弧长为的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形面积为__________.13.某水平放置的平面图形ABCD的斜二测直观图是梯形（如图所示），已知，，，将该平面图形绕其直角腰AB边旋转一周得到一个圆台，则该圆台的侧面积为______.（，其中，r分别是上、下底面圆的半径，l是母线长.）14.若一组数据，，，…，的方差为4，则，，，…，的标准差为________．四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.已知空间内三点，，.（1）求的余弦值；（2）求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积S.16.的内角的对边分别为，（1）求；（2）设为边上一点，且，求的面积.17.某公司生产某种产品，从生产正品中随机抽取1000件，测得产品质量差（质量差＝生产的产品质量－标准质量，单位）的样本数据统计如下：（1）求样本数据的70%分位数；（精确到0.01）（2）公司从生产的正品中按产品质量差进行分拣，若质量差在范围内的产品为一等品，其余为二等品．其中，分别为样本平均数和样本标准差，计算可得（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．①若产品的质量差为，试判断该产品是否属于一等品；②假如公司包装时要求，3件一等品和2件二等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出2件产品进行检验，求摸出2件产品中至少有1件一等品的概率．18.已知函数.（1）当时，求的取值范围；（2）若关于方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围.19.已知均为等腰直角三角形，且，平面平面．平面四边形中，平面，点为中点，连接．（1）求证：；（2）求二面角的正弦值．

数学满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合且，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据一元二次不等式的解法解集合，结合交集的概念与运算即可求解.解答过程：且，或..故选：A2.已知复数，其中为虚数单位，则复数的虚部为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义结合复数的概念判断可得出合适的选项.解答过程：，则，故的虚部为.故选：D.3.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：D解析：思路：举例说明即可证明充分性和必要性，解答过程：若，满足，但在实数范围内无意义，故充分性不满足；因为等价于，所以，当同时为0时，不能得到，故必要性不满足，所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D4.已知角终边上一点，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据三角函数的定义求三角函数值，再根据两角和的正弦公式化简求值.解答过程：点是角终边上一点，，.故选：D.5.在中，角的对边分别为，且，，则（）A. B. C.2 D.答案：C解析：思路：由余弦定理求出，再由数量积的定义计算可得.解答过程：因为，由余弦定理得，又所以.故选：C6.如图，在四面体中，是棱的中点，是棱上一点，且，则（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据空间向量的加减及数乘运算即可求解.解答过程：连接，由题意，得．故选：D7.已知函数，若定义域为R，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：转化为在上恒成立，求参数的取值范围.解答过程：由题意，在上恒成立，所以①若，则在不能恒成立；②若，则.综上：.故选：A8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M=AN=，则MN与平面BB1C1C的位置关系是（）A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定答案：B解析：思路：建立空间直角坐标系，求得平面BB1C1C的法向量和直线MN的方向向量，利用两向量垂直，得到线面平行.解答过程：建立如图所示的空间直角坐标系，由图可知平面BB1C1C的法向量.∵A1M=AN=，∴M，N，∴.∵，∴MN∥平面BB1C1C，故选：B方法提示：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有利于空间向量判断线面平行，属于简单题目.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下述关于频率与概率的说法中，错误的是（）A.设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品B.做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是C.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率D.利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，即使随机试验的次数超过10000，所估计出的概率也不一定很准确．答案：ABC解析：思路：根据频率与概率的关系，结合各选项的描述判断正误.解答过程：对于A:从中任取100件，可能有10件，A错误；对于B:做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的频率是，不是概率为，B错误；对于C:多次重复试验中事件发生的频率在某一常数附近，此常数为概率，与描述不符，C错误；对于D:10000次的界定没有科学依据，“不一定很准确"的表达正确，试验次数越多，频率越稳定在概率值附近，但并非试验次数越多，频率就等于概率，D正确.故选:ABC.10.下列说法正确的是（）A.若函数的定义域为，则函数的定义域为B.若函数过定点，则函数经过定点C.函数在上单调递减D.图象关于原点成中心对称答案：AB解析：思路：根据抽象函数定义域的计算即可判断A；根据函数图象的平移变换即可判断BD；根据幂函数的图象与性质即可判断D.解答过程：对于A，若函数的定义域为，则函数的定义域为，故A正确；对于B，函数向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到函数图象，由于过定点，故函数经过定点，故B正确；对于C，函数在上单调递减，定义域为为偶函数，故幂函数在上单调递增，故C错误；对于D，，其图象由向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，且图象关于原点对称，故图象关于点成中心对称，故D错误.故选：AB.11.在长方体中，已知，，M、N分别为、的中点，则（）A.B.异面直线BN与AC所成角的余弦值为C.若点T为长方形ABCD内一点（包括边界），且平面，则长的最小值为D.过点D，M，N的平面截长方体所得的截面周长为答案：ACD解析：思路：对于A，利用勾股定理计算即得；对于B，通过平移到，借助于，利用余弦定理即可求得；对于C，分别取的中点，连接，证明平面平面，可得点在线段上，当且仅当时，长最短，利用等面积求出长的最小值即可求得的最小值；对于D，先作出过点D，M，N的长方体的截面五边形，计算各边长，即得其周长.解答过程：对于A，因，M、N分别为、的中点，故在中，，故A正确；对于B，如上图取的中点，连接，则易得，故四边形是平行四边形，则，为异面直线BN与AC所成的角，在中，，，，由余弦定理，，故B错误；对于C，如上图，分别取的中点，连接，则易得，因平面，平面，则平面；又，故四边形为平行四边形，则，因，则四边形为平行四边形，故，则，因平面，平面，则平面，又平面，故平面平面，因点为长方形ABCD内一点，且平面，又平面平面，则点在线段上，因，要使最短，只需使最短，由图知，当且仅当时，长最短，而长的最小值为，故长的最小值为，故C正确；对于D，如上图，设直线分别与的延长线交于点，连接，交于点，连接，交于点，连接，则过点D，M，N的平面截长方体所得的截面为五边形，因，而与相似，且相似比为，故，，，同理，，则，，故五边形周长为，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知弧长为的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形面积为__________.答案：解析：思路：根据扇形的弧长与面积公式计算即可求解.解答过程：弧长为的弧所对的圆心角为，所以，所以扇形面积为.故答案为：13.某水平放置的平面图形ABCD的斜二测直观图是梯形（如图所示），已知，，，将该平面图形绕其直角腰AB边旋转一周得到一个圆台，则该圆台的侧面积为______.（，其中，r分别是上、下底面圆的半径，l是母线长.）答案：解析：思路：结合斜二测法可得圆台上、下底面半径及母线长度，结合圆台性质与圆锥的侧面积公式计算即可得该圆台的侧面积.解答过程：根据斜二测画法，还原平面图形，如图：由题可得，，，，则所得圆台上底面为以为半径的圆，下底面为以为半径的圆，高为，其母线为，故其侧面积.故答案：14.若一组数据，，，…，的方差为4，则，，，…，的标准差为________．答案：6解析：思路：求出新数据的均值后再利用方差的公式可求新数据的方差.解答过程：因为，，，…，的方差为4，平均数为，所以，新数据的平均数为，所以新数据的方差．所以，，，…，的标准差为6.故答案为：6四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.已知空间内三点，，.（1）求的余弦值；（2）求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积S.答案：（1）（2）解析：思路：（1）得到、向量后借助空间向量夹角公式计算即可得；（2）得到、向量后借助空间向量夹角公式计算可得，即可得，再借助面积公式计算即可得.（1）、，则，即的余弦值为；（2），，则，则，则.16.的内角的对边分别为，（1）求；（2）设为边上一点，且，求的面积.答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）根据已知求出，再利用余弦定理得解；（2）求出，，即得解.（1）解：由已知可得，因为，所以.在中，由余弦定理得，即，解得（舍去），.（2）解：由题设可得，所以.故.又，所以.17.某公司生产某种产品，从生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差（质量差＝生产的产品质量－标准质量，单位）的样本数据统计如下：（1）求样本数据的70%分位数；（精确到0.01）（2）公司从生产的正品中按产品质量差进行分拣，若质量差在范围内的产品为一等品，其余为二等品．其中，分别为样本平均数和样本标准差，计算可得（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．①若产品的质量差为，试判断该产品是否属于一等品；②假如公司包装时要求，3件一等品和2件二等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出2件产品进行检验，求摸出2件产品中至少有1件一等品的概率．答案：（1）（2）①一等品；②解析：思路：（1）利用频率直方图的中位数计算方法即可求解；（2）①利用频率直方图先计算出样本均值，即可做出判断；②利用古典概型计算方法，先列举出总的基本事件，再选出事件所包含的基本事件，即可求出事件发生的概率.（1）由于前2组的频率和为0.3，前3组的频率和为0.75，所以可知70%分位数一定位于第三组内，设70%分位数为x，则，解得（2）①根据频率直方图计算样本平均数：因为样本标准差，，所以，又，则可知该产品属于一等品．②记三件一等品为，两件二等品为，摸出两件产品总基本事件共10个，分别为：，，，，，，，，，，设摸出两件产品中至少有一个一等品记为事件，则包含的基本事件共9个，分别是：，，