广西壮族自治区崇左市2025~2026学年高二下册7月期末考试数学试卷【附解析】

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，则（）A. B. C. D.2.若等比数列满足，，则公比（）A. B. C. D.3.若，则（）A. B. C. D.4.设函数，若，则（）A. B. C. D.5.曲线在点处的切线方程为（）A. B. C. D.6.已知向量，满足，，，则（）A. B. C. D.7.在三棱锥中，平面，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.8.设圆：，（）与曲线交于，，，四点，若四边形为正方形，则（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知一组数据，，，，的平均数，方差，则（）A.每个数据都加2后，新数据的平均数为7B.每个数据都加2后，新数据的方差为4C.每个数据都乘以3后，新数据的平均数为15D.每个数据都乘以3后，新数据的方差为1810.设函数，则（）A. B.是偶函数C.的定义域为 D.在处取得极小值11.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点（位于第一象限）在上，在点处的切线恰好为的角平分线，则（）A.的渐近线方程为B.当时，C.当与轴交于点时，D.当的斜率为2时，点到轴的距离为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若函数的最大值为，则______；的最小正周期为______．13.用1，2，…，9这9个数字可以组成______个恰有两个相同数字的四位数（例如1219）．14.数列满足，且，，则______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，为的中点．（1）证明：平面．（2）证明：平面．（3）求点到平面的距离．16.已知的周长为15，，且．（1）求；（2）求的面积；（3）求的内切圆的直径．17.已知椭圆：的离心率为，左顶点为．点，点M在C上，且线段的中点在y轴正半轴上．设直线与C的另一个交点为H．（1）求C的方程；（2）求直线的斜率及点H的坐标．18.某蜂产品检测中心对甲、乙、丙三个养蜂场的A，B两类花粉样本进行品质抽检，已知A类花粉样本中有3份来自甲养蜂场，7份来自乙养蜂场，5份来自丙养蜂场；B类花粉样本中有7份来自甲养蜂场，8份来自乙养蜂场，10份来自丙养蜂场．先从三个养蜂场中等可能性地选取一个养蜂场，再从该养蜂场的花粉样本中不放回地抽取两次，每次抽取一份．（1）求第一次抽到A类花粉的概率；（2）记X为抽到的A类花粉份数，求X的分布列与期望；（3）在第二次抽到B类花粉的条件下，求第一次抽到A类花粉的概率．19.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若对任意，都有，求的取值范围；（3）当时，设是函数的两个非0零点，且，证明：.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由共轭复数的概念结合条件即可求解.解答过程：由题意得，则.2.若等比数列满足，，则公比（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用等比数列的通项公式即可.解答过程：因为是等比数列，所以，即.所以.3.若，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先求出，再利用倍角公式即可.解答过程：由得或.因为，所以.所以.4.设函数，若，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据集合相等的性质，及二次函数的性质求解即可．解答过程：由是开口向上的二次函数，且对称轴为，又，若，且，即，又二次函数不存在三个不同自变量对应相同的函数值，故该情况不符合条件；若，且，所以对称轴为，解得．综上，．5.曲线在点处的切线方程为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先对函数求导，得到处的导数值即切线斜率；再结合切点坐标用点斜式写出切线方程即可.解答过程：由可得：.则曲线在点处的切线斜率，所以曲线在点处的切线方程为，整理得.6.已知向量，满足，，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据已知条件，分别平方然后相加即可求出结果.解答过程：由，，可得，，两式相加得，，即，又，代入解得.7.在三棱锥中，平面，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据三棱锥的结构特征，三棱锥的外接球等同于长方体的外接球，利用长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得外接球的半径，进而得到外接球的表面积.解答过程：因为平面，，将三棱锥放入长方体中，如图，所以三棱锥的外接球和长方体的外接球相同，由，，所以，所以，所以该三棱锥的外接球的表面积为.8.设圆：，（）与曲线交于，，，四点，若四边形为正方形，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据圆与曲线的对称性，及四个交点的坐标特征求出的值，进而根据为圆的直径即可求解．解答过程：由圆：，与曲线都关于轴，轴对称，且它们的交点为，，，，又四边形为正方形，则不妨设，，，，其中，所以，解得，又为圆的直径，所以．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知一组数据，，，，的平均数，方差，则（）A.每个数据都加2后，新数据的平均数为7B.每个数据都加2后，新数据的方差为4C.每个数据都乘以3后，新数据的平均数为15D.每个数据都乘以3后，新数据的方差为18答案：ACD解析：思路：将变换后的新数据代入平均数与方差的公式中，结合原始数据的平均数与方差即可求解.解答过程：由题意得，即，，对于AB，记新数据为，则，，故A正确，B错误，对于CD，记新数据为，，，故CD正确.10.设函数，则（）A. B.是偶函数C.的定义域为 D.在处取得极小值答案：ABD解析：思路：本题综合考查函数的基本性质与导数应用，需结合对数运算、奇偶性定义、定义域判断、导数求极值的方法逐项分析.解答过程：选项A：代入得，故A正确；选项B：定义域为，化简，满足偶函数定义,故B正确；选项C：恒成立，因此，定义域为全体实数，故C错误；选项D：求导得，时，单调递减；时，单调递增，因此处取极小值，故D正确.11.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点（位于第一象限）在上，在点处的切线恰好为的角平分线，则（）A.的渐近线方程为B.当时，C.当与轴交于点时，D.当的斜率为2时，点到轴的距离为答案：BC解析：思路：A由渐近线定义得出；B利用双曲线的定义得出；C利用角平分线定理得出；D联立直线与双曲线方程，得出点坐标.解答过程：，因为，所以其渐近线方程为，故A错误；因为，，所以，故B正确；由得，则由角平分线定理得，因为，所以，在中利用余弦定理得，则，故C正确；设，与联立得，则，得，因为点位于第一象限，所以，此时，则点到轴的距离为，故D错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若函数的最大值为，则______；的最小正周期为______．答案：①.2②.解析：解答过程：由正弦函数的性质可得函数的最大值为2；的最小正周期为.13.用1，2，…，9这9个数字可以组成______个恰有两个相同数字的四位数（例如1219）．答案：解析：思路：本题可分为三步来确定恰有两个相同数字的四位数的个数，首先可以先从中选出1个作为重复数字，第二步从剩下的数字中选出两个数字，第三步对4个数字进行排列.解答过程：第一步从中选出1个作为重复数字，有种;第二步从剩下8个数字中选择2个数字共有种;第三步，对4个数字进行排列，先从4个位置中选2个位置给重复的数字共有种;再将剩下两个数字进行全排列共有种;根据分步计数原理的乘法原理可得共有14.数列满足，且，，则______．答案：194解析：思路：仿写作差后得到中所有下标模3余0,1,2的子列均为公差为6的等差数列，再利用等差数列的性质可计算.解答过程：因为，，则，两式作差后可得，即中所有下标模3余0,1,2的子列均为公差为6的等差数列，又，可得，即，所以四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，为的中点．（1）证明：平面．（2）证明：平面．（3）求点到平面的距离．答案：（1）因为平面，平面，所以，因为底面为矩形，所以，因为平面，所以平面；（2）因为为的中点，，所以，因为平面，平面，所以，因为平面，所以平面；（3）解析：（1）略（2）略（3）因为平面，平面，所以平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，又，由（2）点到平面的距离为，所以点到平面的距离为．16.已知的周长为15，，且．（1）求；（2）求的面积；（3）求的内切圆的直径．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据正弦定理求解即可；（2）由三角形面积公式求解即可；（3）由等面积法求解即可.（1）由

及正弦定理得

，又

，解得

，，，故

．（2）．（3）内切圆半径

，直径

．17.已知椭圆：的离心率为，左顶点为．点，点M在C上，且线段的中点在y轴正半轴上．设直线与C的另一个交点为H．（1）求C的方程；（2）求直线的斜率及点H的坐标．答案：（1）（2）斜率为，点的坐标为解析：思路：（1）根据题目条件列出关于，和的方程，求出，，进而可写出椭圆C的方程.（2）先设出点，利用中点坐标公式得出线段的中点，结合点在y轴正半轴上及点M在椭圆C上，列出方程组求出点坐标，根据直线的斜率公式可得出直线的斜率；进而可得出直线的方程，联立椭圆和直线的方程可得出点的坐标.（1）因为椭圆：的离心率为，左顶点为，所以，解得：，所以椭圆C的方程为：.（2）设点的坐标为，因为点，则线段的中点的坐标为.因为线段的中点在y轴正半轴上，所以，解得.又因为点M在椭圆C上，所以，则，即点的坐标为，所以直线的斜率为，直线的方程为，即.联立椭圆C和直线的方程，整理得：，解得：或.结合题目要求可知点H的横坐标为.将代入直线的方程可得，所以点的坐标为.18.某蜂产品检测中心对甲、乙、丙三个养蜂场的A，B两类花粉样本进行品质抽检，已知A类花粉样本中有3份来自甲养蜂场，7份来自乙养蜂场，5份来自丙养蜂场；B类花粉样本中有7份来自甲养蜂场，8份来自乙养蜂场，10份来自丙养蜂场．先从三个养蜂场中等可能性地选取一个养蜂场，再从该养蜂场的花粉样本中不放回地抽取两次，每次抽取一份．（1）求第一次抽到A类花粉的概率；（2）记X为抽到的A类花粉份数，求X的分布列与期望；（3）在第二次抽到B类花粉的条件下，求第一次抽到A类花粉的概率．答案：（1）（2）期望为012（3）解析：思路：（1）根据全概率公式求解即可；（2）由题意知，的所有可能取值为0，1，2，根据全概率公式分别求得相应的概率，即可得到其分布列，再根据离散型随机变量的期望公式，求得的期望；（3）分别求出和，再根据条件概率公式求解即可．（1）设“第次抽到的是类花粉”，“第次抽到的是类花粉”，记甲、乙、丙三个养蜂场分别为第1个养蜂场、第2个养蜂场、第3个养蜂场，“选取到第个养蜂场”，．则，，由题意得第一次抽到的是类花粉的概率为．（2）的所有可能取值为0，1，2，，，，的分布列为012所以．（3）从甲养蜂场的抽检样本中不放回地抽取两次，每次抽到类花粉的概率均为；从乙养蜂场的抽检样本中不放回地抽取两次，每次抽到类花粉的概率均为；从丙养蜂场的抽检样本中不放回地抽取两次，每次抽到类花粉的概率均为.所以，，则，所以在第二次抽到B类花粉的条件下，求第一次抽到A类花粉的概率．19.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若对任意，都有，求的取值范围；（3）当时，设是函数的两个非0零点，且，证明：.答案：（1）当时，在上单调递增；当时，递减区间为，递增区间为（2）（3）当时，，，设，则，所以在上单调递减，在上单调递增．因为，，，，，，所以存在，使得，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，由于，所以的两个零点满足，因为，所以，因为，所以，所以，得证．解析：思路：（1）对函数求导可得，再对参数进行讨论，从而得到的单调性；（2