广西壮族自治区河池市2025~2026学年高二下册校内期末学业水平质量检测数学试卷【附解析】

数学满分150分，考试时间120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.2.已知函数的图象在点处的切线方程是，则的值等于（）A. B. C. D.3.已知数列是等差数列，且，，则（）A.20 B.15 C.10 D.54.已知函数在处取得极小值，则（

）A. B. C.或 D.35.在空间直角坐标系中，，，，若，则实数的值为（）A. B. C. D.6.北京冬奥会奥运村有智能餐厅和人工餐厅各一个，某运动员连续两天均在奥运村用餐且每一天均在同一个餐厅用餐.他第一天等可能地随机选择其中一个餐厅用餐．若他第一天去智能餐厅，那么第二天去智能餐厅的概率为0.6；如果他第一天去人工餐厅，那么第二天去人工餐厅的概率为0.3．则该运动员第二天去智能餐厅用餐的概率为（）A.0.45 B.0.65 C.0.75 D.0.87.现有甲、乙、丙、丁4名志愿者到、、三个村进行服务活动，要求每名志愿者只能去一个村，每村都要有志愿者，其中甲志愿者不去村，则一共有（）种安排方法A.12 B.18 C.24 D.308.已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，直线与双曲线的右支交于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列选项正确的是（）A.直线（）恒过定点B.直线的倾斜角为C.圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于D.圆被直线截得的弦长为2，则或10.下列说法正确的有（）A.，B.设随机变量，若，则C.在线性回归模型中，决定系数越大，模型对数据的拟合效果越好D.甲、乙、丙、丁、戊5个人到5个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“5个人去的景点各不相同”，事件“甲独自去一个景点”，则11.如图，在棱长为3的正方体中，点为线段上的一个动点，则（）A.三棱锥的体积为定值B.不存在点，使平面C.若，则点到直线的距离为D.若，则过点，，三点的平面截正方体所得截面的周长为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在的展开式中，的系数为___.（用数字作答）13.已知函数，则不等式的解集为___________．14.记上的可导函数的导函数为，满足（）的数列称为函数的“牛顿数列”．若，数列为函数的“牛顿数列”，且，，数列的前项和为，则满足的所有的和为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某团队为探究大语言模型参数量与模型性能之间的关系，训练了6个不同参数量的模型，并在同一验证集上评估性能得分，得到如下统计数据：参数量（亿）24681012性能得分（分）234456（1）求相关系数（保留3位小数），并说明与的线性相关程度；（2）该团队比较了100次实验的实际性能与预测性能，得到“高效”（实际得分预测得分）和“低效”（实际得分预测得分）两种效率组别．同时，他们记录了每次实验所用的训练数据质量等级（优质/普通），得到如下列联表：训练数据质量等级训练效率总计高效低效优质402060普通202040总计6040100请依据小概率值的独立性检验，分析训练效率是否与训练数据质量有关（计算结果保留3位小数）．附：，，，，．．0.050.010.0013.8416.63510.82816.已知满足，，为等比数列，，．（1）求和的通项公式；（2）设，求数列的前项和．17.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，，与交于点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面的夹角的余弦值．18.已知．（1）讨论函数的单调性并求极值；（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围．19.已知椭圆：的长轴长为，为坐标原点，为上顶点，为右焦点，为等腰直角三角形．（1）求椭圆的方程；（2）若过点的直线与椭圆交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为．（ⅰ）求证：直线恒过定点；（ⅱ）求面积的最大值．

数学满分150分，考试时间120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：抛物线的准线方程为.2.已知函数的图象在点处的切线方程是，则的值等于（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由函数的图象在点处的切线方程是，得切线斜率为，则.3.已知数列是等差数列，且，，则（）A.20 B.15 C.10 D.5答案：C解析：解答过程：在等差数列中，，，则，所以.4.已知函数在处取得极小值，则（

）A. B. C.或 D.3答案：B解析：思路：求出导函数，根据已知得出方程，求解得出的值.代入检验，即可得出；解答过程：由已知.又函数在处取得极小值，所以有，解得或.当时，有.解可得，或，所以在上单调递增，在上单调递增；解可得，，所以在上单调递减.所以，函数在处取得极小值，满足条件；当时，有.解可得，或，所以在上单调递增，在上单调递增；解可得，，所以在上单调递减.所以，函数在处取得极大值，不满足条件，舍去.综上，.5.在空间直角坐标系中，，，，若，则实数的值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：表示出，，后，利用空间向量坐标运算及垂直性质计算即可得.解答过程：，，，，由题意可得，解得.6.北京冬奥会奥运村有智能餐厅和人工餐厅各一个，某运动员连续两天均在奥运村用餐且每一天均在同一个餐厅用餐.他第一天等可能地随机选择其中一个餐厅用餐．若他第一天去智能餐厅，那么第二天去智能餐厅的概率为0.6；如果他第一天去人工餐厅，那么第二天去人工餐厅的概率为0.3．则该运动员第二天去智能餐厅用餐的概率为（）A.0.45 B.0.65 C.0.75 D.0.8答案：B解析：解答过程：设“第1天去智能餐厅用餐”，“第1天去人工餐厅用餐”，“第2天去智能餐厅用餐”，“第2天去人工餐厅用餐”，则，且与互斥，，且与互斥，根据题意得，，，，由全概率公式可知.7.现有甲、乙、丙、丁4名志愿者到、、三个村进行服务活动，要求每名志愿者只能去一个村，每村都要有志愿者，其中甲志愿者不去村，则一共有（）种安排方法A.12 B.18 C.24 D.30答案：C解析：思路：根据分组分配问题，对特殊元素特殊考虑即可．解答过程：甲、乙、丙、丁4名志愿者到、、三个村的分组方法只有1，1，2；分类讨论：一个人去村：甲不去村，故村有种取法，其他三人分配两个村，按1，2分，有种排法，根据分步乘法计数原理可得种；两个人去村：甲不去村，故村有种取法，其他两人分配两个村，按1，1分，有种排法，根据分步乘法计数原理可得种；根据分类加法计数原理可知一共种安排方法．8.已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，直线与双曲线的右支交于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据已知内切圆的半径，可利用焦点三角形面积公式建立等式，得到关于的表达式，根据余弦定理建立的齐次式，进而计算离心率．解答过程：如图，作出符合题意的图形，由直线，整理可得，恒过点；故直线过点；由点到直线的距离公式可知到的距离为；则（为内切圆半径），因为点在右支上，所以，则；又因为；所以，解得，故；故，解得；因为点在右支上，斜率为负，故，故，代入直线方程可得，解得；因为在双曲线上，所以代入可得，由整理可得，由；则；则原式化简可得，两边同乘可得，约分可得即，整理得；即，化简得，化简得，解得或或；由题意得，则符合题意，故A正确.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列选项正确的是（）A.直线（）恒过定点B.直线的倾斜角为C.圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于D.圆被直线截得的弦长为2，则或答案：BCD解析：思路：选项A，分离参数联立方程求定点判断对错；选项B，化斜截式求斜率再算出倾斜角；选项C求圆心到直线距离，结合半径分析平行线与圆交点个数；选项D利用弦长公式求出圆心到直线距离，再由点到直线距离公式解方程得值．解答过程：对于A，由，，联立，解得，，所以定点为，不是，A错误；对于B，由，得，斜率，倾斜角，，得，B正确；对于C，圆，圆心，半径，圆心到直线距离，到直线距离为的点，即与已知直线平行、距离1的两条平行线与圆交点：一条在圆心外侧，距圆心，无交点；一条朝向圆心，距圆心，过圆心，与圆交于个点；因此圆上只有2个点满足条件，C正确；对于D，圆，圆心，半径，弦长，弦长公式：，即，圆心到直线距离，解得或，D正确．10.下列说法正确的有（）A.，B.设随机变量，若，则C.在线性回归模型中，决定系数越大，模型对数据的拟合效果越好D.甲、乙、丙、丁、戊5个人到5个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“5个人去的景点各不相同”，事件“甲独自去一个景点”，则答案：BCD解析：思路：对于A：理解并记忆期望，的性质；对于B：掌握标准正态分布密度曲线的对称性及其概率计算；对于C：理解决定系数的统计意义；对于D：理解“甲独自去一个景点”这一条件的含义，正确计算满足条件的样本空间大小，利用条件概率求解即可.解答过程：对于A：因，，则，，A错误；对于B：由标准正态分布密度曲线的对称性，，则，所以，B正确；对于C：的值越接近1，表示模型的拟合效果越好，的值越接近0，表示模型的拟合效果越差，因此，决定系数越大，模型对数据的拟合效果越好；对于D：，，，D正确.11.如图，在棱长为3的正方体中，点为线段上的一个动点，则（）A.三棱锥的体积为定值B.不存在点，使平面C.若，则点到直线的距离为D.若，则过点，，三点的平面截正方体所得截面的周长为答案：ACD解析：思路：由等体积转换法得到三棱锥体积不变，判断A选项；找正方体顶点，由线面垂直证明线线垂直，然后得到线面垂直，判断B选项；建立空间直角坐标系，由向量的投影计算出点到线的距离，判断C选项；利用平行作出截面，由平行得到交点位置，即可求截面的周长，判断D选项.解答过程：因为，又因为点在线段上运动，且在正方体中，平面，所以动点到平面的距离不变，故不变，A选项正确；当点与点重合时，因为平面，平面，所以，因为四边形是正方形，所以，因为，平面，所以平面，又因为平面,所以，同理可证明，因为，平面，所以平面，因此存在点，使平面，B选项错误；以正方体顶点为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则，所以，所以在的投影，所以点到直线的距离，C选项正确；连接交于点，过点作，分别交于点，连接和，在正方体中，所以，因为，所以过点，，三点的平面截正方体所得截面为四边形，因为，所以，所以，所以，，所以四边形的周长为，D选项正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在的展开式中，的系数为___.（用数字作答）答案：40解析：思路：根据所给的二项式写出通项，要求自变量的二次方的系数，只要使得指数等于2，得出式子中的系数的表示式，得到结果．解答过程：∵（2x+1）5的通项式式是C5r（2x）5﹣r＝∁5r25﹣rx5﹣r当5﹣r＝2时，即r＝3时，得到含有x2的项，∴它的系数是C5322＝40故答案为40．方法提示：本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是写出二项式的通项.13.已知函数，则不等式的解集为___________．答案：解析：解答过程：函数的导数，因为，所以，即函数在上单调递增，因为，所以，即，即，解得.不等式的解集为.14.记上的可导函数的导函数为，满足（）的数列称为函数的“牛顿数列”．若，数列为函数的“牛顿数列”，且，，数列的前项和为，则满足的所有的和为__________．答案：解析：思路：利用所给定义计算可得数列是以为首项，为公比的等比数列，再利用等比数列定义及其求和公式计算可得，解出即可得解.解答过程：，则，又，故数列是以为首项，为公比的等比数列，故，则，，则，令，解得，即可为，故满足的所有的和为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某团队为探究大语言模型参数量与模型性能之间的关系，训练了6个不同参数量的模型，并在同一验证集上评估性能得分，得到如下统计数据：参数量（亿）24681012性能得分（分）234456（1）求相关系数（保留3位小数），并说明与的线性相关程度；（2）该团队比较了100次实验的实际性能与预测性能，得到“高效”（实际得分预测得分）和“低效”（实际得分预测得分）两种效率组别．同时，他们记录了每次实验所用的训练数据质量等级（优质/普通），得到如下列联表：训练数据质量等级训练效率总计高效低效优质402060普通202040总计6040100请依据小概率值的独立性检验，分析训练效率是否与训练数据质量有关（计算结果保留3位小数）．附：，，，，．．0.050.010.0013.8416.63510.828答案：（1）0.981，与的线性相关程度高．（2）认为训练效率与训练数据质量无关．解析：（1）由题意可得，，，，又因为，，，所以根据公式计算相关系数可得：，相关系数接近于1，说明与的线性相关程度高．（2）零假设：训练效率与训练数据质量无关，根据列联表可得：，，，，，所以卡方统计量为，因为对应的临界值为，，所以接受，依据的独立性检验，认为训练效率与训练数据质量无关．16.已知满足，，为等比数列，，．（1）求和的通项公式；（2）设，求数列的前项和．答案：（1）（2）解析：（1）由对任意正整数成立，可知是首项、公差的等差数列，由等差数列通项公式得：；设等比数列公比为，已知，故，代入得：，等比数列公比，两边同除以，可得，即，解得，因此．（2）由题意得，①②得：．17.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，，与交于点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面的夹角的余弦值．答案：（1）因为底面是菱形，，，所以为等边三角形，，，，又，为中点，故，，已知，则，则，故，即，因为，，平面，所以平面．（2）．解析：（1）略（2）由（1）知，，两两垂直，以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系．如图所示，则，，，，，，，，设平面的法向量为，则，即，令，得，设直线与平面的夹角为，则，所以，，直线与平面的夹角的余弦值为．18.已知．（1）讨论函数的单调性并求极值；（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围．答案：（1）当时，在单调递增，无极值；当时，在单调递减，在单调递增，，无极大值.（2）解析：思路：（1）由函数解析式