高中数学 第一章 三角函数 1.4.3 正切函数的性质与图象（6）教学教案 新人教A版必修4

高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象（6）教学教案新人教A版必修4教学课题XX课时1备课时间2025授课时间2025教学内容教材：新人教A版必修4

章节：第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象（6）

内容：本节课主要学习正切函数的周期性、奇偶性和单调性，通过观察正切函数的图象，分析其性质，并掌握正切函数在特定区间内的变化规律。核心素养目标培养学生运用数学思维分析问题的能力，提高逻辑推理和数学抽象水平。通过研究正切函数的性质，提升学生对函数变化规律的感知和把握，增强数学建模与数学应用意识。同时，培养学生在合作探究中交流分享，发展数学表达和交流能力。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

学生在进入本节课之前，已经学习了三角函数的基本概念，包括正弦、余弦函数的定义、性质和图象。此外，学生对函数的基本性质，如单调性、奇偶性、周期性等，已有初步的认识。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

高中学生对数学学科普遍持有较高的兴趣，尤其是对与实际生活相关的数学问题。学生在数学学习上具备较强的逻辑思维能力，但部分学生可能在空间想象能力上有所欠缺。学习风格上，学生倾向于通过动手操作和观察来理解新概念，同时也愿意通过小组讨论来深化理解。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

在学习正切函数的性质与图象时，学生可能会遇到以下困难：

-正切函数周期性的理解：学生可能难以理解正切函数的周期性，特别是在函数图象的周期性重复部分。

-奇偶性的识别：学生可能对正切函数的奇偶性理解不够清晰，难以在图象中直观识别。

-单调性的判断：学生可能难以判断正切函数在不同区间的单调性，尤其是在函数图象的渐近线附近。

-图象与实际应用结合：学生可能难以将正切函数的图象与实际问题相结合，理解其在实际问题中的应用价值。教学资源-软硬件资源：计算机、投影仪、白板、三角函数图象生成软件

-课程平台：学校网络教学平台、班级微信群或QQ群

-信息化资源：正切函数图象动画、相关数学软件操作教程视频

-教学手段：多媒体课件、实物模型、课堂练习题、小组讨论记录表教学过程设计基本内容（一）导入环节（5分钟）

1.创设情境：展示自然界中周期性现象的图片或视频，如潮汐、日出日落等，引导学生思考周期性现象的数学描述。

2.提出问题：引导学生回顾已知的周期函数，如正弦、余弦函数，并提出问题：“如何描述正切函数的周期性？”

3.学生回答：邀请学生回答问题，教师总结并引出正切函数的定义。

4.用时：5分钟

（二）讲授新课（20分钟）

1.正切函数的定义：讲解正切函数的定义，强调正切函数是正弦函数与余弦函数的比值。

2.正切函数的周期性：讲解正切函数的周期性，通过正切函数的图象展示周期性，引导学生观察周期性重复的部分。

3.正切函数的奇偶性：讲解正切函数的奇偶性，通过正切函数的图象展示奇偶性，引导学生识别图象中的对称性。

4.正切函数的单调性：讲解正切函数的单调性，通过正切函数的图象展示单调性，引导学生分析函数在不同区间的变化规律。

5.重点难点讲解：针对正切函数的周期性、奇偶性和单调性，结合实例进行讲解，帮助学生理解并掌握。

6.学生互动：邀请学生回答问题，教师总结并纠正错误，加深学生对正切函数性质的理解。

7.用时：20分钟

（三）巩固练习（15分钟）

1.课堂练习：布置一些与正切函数性质相关的练习题，让学生独立完成。

2.小组讨论：将学生分成小组，讨论练习题中的问题，分享解题思路。

3.学生展示：邀请小组代表展示解题过程，其他学生进行点评。

4.教师点评：对学生的解题过程进行点评，指出优点和不足。

5.用时：15分钟

（四）课堂提问（5分钟）

1.教师提问：针对本节课的重点内容，提出问题，检查学生对知识的掌握情况。

2.学生回答：邀请学生回答问题，教师总结并纠正错误。

3.教师总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点。

4.用时：5分钟

（五）创新环节（5分钟）

1.实物模型演示：利用三角板等实物模型，展示正切函数的周期性、奇偶性和单调性。

2.数学软件应用：指导学生使用数学软件，如Mathematica、MATLAB等，绘制正切函数的图象，观察函数性质。

3.学生实践：让学生尝试使用数学软件绘制正切函数的图象，观察函数性质。

4.教师点评：对学生的实践过程进行点评，指出优点和不足。

5.用时：5分钟

总计用时：45分钟教学资源拓展1.拓展资源：

-正切函数的实际应用：介绍正切函数在物理学、工程学、经济学等领域的应用，如物理学中的简谐振动、工程学中的机械设计、经济学中的利率计算等。

-正切函数的极限性质：探讨正切函数在特定角度下的极限值，如正切函数在0°和90°时的极限，以及正切函数在0°和90°附近的极限行为。

-正切函数的导数和积分：讲解正切函数的导数和积分公式，以及如何计算正切函数的导数和积分。

-正切函数在坐标系中的变换：研究正切函数在不同坐标系中的表现，如极坐标系中的正切函数，以及如何将正切函数的图象进行平移和伸缩变换。

2.拓展建议：

-阅读相关书籍或资料：推荐学生阅读《数学分析》、《高等数学》等书籍，以深入了解正切函数的性质和应用。

-观看在线课程或视频：鼓励学生观看在线数学课程，如KhanAcademy、Coursera等平台上的三角函数相关课程。

-实践项目：引导学生参与实际项目，如设计一个简单的机械装置，利用正切函数来计算角度或距离。

-数学竞赛准备：对于有志于参加数学竞赛的学生，可以提供一些高级的三角函数问题，如正切函数在复平面上的性质、正切函数的级数展开等。

-小组研究：组织学生进行小组研究，探讨正切函数在特定领域的应用，如环境科学中的太阳辐射计算、建筑设计中的角度测量等。

-互动学习平台：利用学校或社区提供的在线学习平台，让学生参与讨论，分享自己对正切函数的理解和应用案例。

-实验室或工作室学习：如果条件允许，可以组织学生到实验室或工作室进行实际操作，如使用计算机软件进行正切函数图象的绘制和分析。教学评价1.课堂评价：

-提问：通过课堂提问，了解学生对正切函数性质的理解程度，及时检查学生对定义、周期性、奇偶性和单调性的掌握情况。

-观察：观察学生在课堂上的参与度，包括提问、回答问题、小组讨论等，评估学生的课堂学习态度和合作能力。

-测试：在课程结束后，进行小测验或随堂练习，检验学生对正切函数性质的理解和应用能力。

2.作业评价：

-批改：对学生的作业进行认真批改，包括计算题、证明题和应用题，确保作业的准确性。

-点评：在批改作业的同时，给予学生具体的反馈和点评，指出作业中的错误和不足，同时肯定学生的优点和进步。

-反馈：及时将作业反馈给学生，让学生了解自己的学习效果，并根据反馈调整学习方法。

-鼓励：对表现出色的学生给予表扬和鼓励，激发学生的学习兴趣和动力；对学习有困难的学生提供个别辅导，帮助他们克服学习障碍。

3.形成性评价：

-小组讨论：通过小组讨论的评价，观察学生在合作中的表现，包括沟通能力、问题解决能力和团队合作精神。

-实践项目：评估学生在实际项目中的应用能力，包括对正切函数性质的理解、问题分析和解决方案的提出。

-课堂表现：记录学生在课堂上的参与度、提问频率和回答问题的准确性，作为形成性评价的一部分。

4.总结性评价：

-期末考试：通过期末考试，全面评估学生对正切函数性质和应用的掌握程度，包括理论知识和实际应用能力。

-学生自评：鼓励学生进行自我评价，反思自己在学习过程中的优点和不足，为下一阶段的学习制定目标。板书设计①正切函数的定义

-定义：正弦与余弦的比值

-公式：tan(θ)=sin(θ)/cos(θ)

②正切函数的周期性

-周期：π

-公式：tan(θ+π)=tan(θ)

③正切函数的奇偶性

-奇函数：tan(-θ)=-tan(θ)

④正切函数的单调性

-单调递增区间：(2kπ-π/2,2kπ+π/2)，k为整数

-单调递减区间：(2kπ+π/2,2kπ+3π/2)，k为整数

⑤正切函数的图象特征

-奇函数图象关于原点对称

-无界性：y值无限制地增大或减小

-渐近线：x=kπ+π/2，k为整数

⑥正切函数的导数

-导数：sec²(θ)

⑦正切函数的积分

-积分：ln|sec(θ)+tan(θ)|+C

⑧正切函数的应用

-物理学中的角度计算

-工程学中的机械设计

-经济学中的利率计算课后拓展1.拓展内容：

-阅读材料：《三角函数的应用》选篇，介绍正切函数在现实生活中的应用案例，如建筑测量、工程设计等。

-视频资源：《数学世界中的三角函数》系列视频，通过动画和实例讲解正切函数的性质和图象特征。

2.拓展要求：

-学生需阅读选篇材料，思考正切函数在实际问题中的应用，并尝试列举生活中可能遇到的应用场景。

-观看视频资源，注意视频中提到的正切函数的关键性质，如周期性、奇偶性和单调性。

-鼓励学生记录下在学习过程中遇到的疑问，并在课后与同学或教师讨论。

-完成课后练习题，包括理论