第一章-一元二次方程（单元重点综合测试）

第1章一元二次方程（单元重点综合测试）

一、单选题（一共8个小题，每题3分，共24分）

1.下列方程中，关于x的一元二次方程是（）

A.3（.d+2x）=3/-1B.ax2+hx+c=O

C.（x+2）~=4x+lD.-7+x-|-1=0

X

2.若两个数的和为6,积为5,则以这两个数为根的一元二次方程是（）

A.x2-12x+5=0B.X2-5X-6=0

C.x2-6x-5=0D.x2-6x+5=0

3.某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件9元，设该商品平均每次降价

的百分率为x（x>0）,则（）

A.9（1-X）2=25B.25（1-才=9C.9（1+X）2=25D.25（1+X）2=9

4.方程近+3x-5=0的根的情况是（

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.无法确定是否有实数根

5.方程x2+6x-5=0的左边配成完全平方后所得的方程为()

A.(x+3『=14B.(x-3)：=14C.(X+6)2=41D.(X-6)2=41

6.+b2)2+5a2+5b2=6,贝!!/+从的值是()

A.-6B.1C.1或-6D.1或6

7.已知a和p是方程Y+2023x+l=0的两个根，贝1」（小+202轨+2）（占+202邛+2）的值为（）

A.-2021B.2021C.-2023D.2023

>-10

8.使得关于x的不等式组113有且只有4个整数解，且关于x的一元二次方程

（。-5）/+以+1=0有实数根的所有整数。的值之和为（）

A.35B.30C.26D.21

二、填空题（一共10个小题，每题3分，满分30分）

9.方程（2x+l『=49的根是.

10.已知a、〃是方程一十3x-4=0的两根，贝lja?十4a十6一3=.

11.若等腰一8C的一边长6,另两边长恰好是关于％方程V-10x+〃?=（）的两个实数根，则“8。

的面积为__________

12.方程（二-4卜+%+1=0的两个实数根互为相反数，贝必的值是_____

13.某服装厂生产一批服装，2020年该类服装出厂价为200元/件，2021年、2022年连续两

年改进技术，降低成本，2022年该类服装的出厂价调整为162元/件.若这两年此类服装的出

厂价下降的百分率相同，则2021年此类服装的出厂价为________元/件.

14.某学校组织篮球比赛，实行单循环制，共有36场比赛，则参加的队数为—.

15.已知x为实数，若厂+7-5卜+小+8=0,那么x的值为

16.如图，将边长为4cm的正方形48C。沿其对角线AC剪开，再把“8c沿着力。方向平移，

得到若两个三角形重叠部分的面积为4cn?，则它移动的距离44等于.

17.2018年10月24日，世界上最长的港珠澳大桥正式通车，香港口岸途径西人工岛到达澳门

口岸.五一期间小辉与小亮两家人在港澳旅游，某日两家人从香港口岸前往澳门口岸，当小

辉家乘坐穿梭巴上出发4分钟后，小亮家乘坐跨境出租车出发，两车在全程中均保持匀

速行驶，跨境出租车比穿梭巴士早到66分钟，过海关时间不考虑在内，两车距西人工岛的路

程之和》（千米）与小辉家出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，穿梭巴士出发分

钟到达澳门口岸.

18.如图，Z8AC=90\AB=AC=3^.过点。作CQ_L4C,延长C8到£,使BE=,连接

AE，ED.若ED=24E,则应二.（结果保留根号）

AC

三、解答题(一共10题，满分86分)

19.解方程

(l)4(x-l)2=l

(2)3x2-7x+l=0

(3)r+10v-2=0(配方法)

(4)x(x-4)=2(x-4)2

，丫2丫4丫2

20.先化简，再求值弓-甘+2；其中X为方程人2+4一2=0的根.

21.若a,。是方程3/+2x-9=()的两实数根，求下列各式的值.

11

'ap,

(2i(a-p)2；

(3)3a2-2p.

22.已知关于％的方程V-2x-2/1=0有两个不相等的实数根.

⑴求〃的取值范围；

⑵若方程的一个根为4,求方程的另一根.

23.如图，把一块长为40cm,宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后

把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒.若该无盖纸盒的底面积

为600cm2,求纸盒的体积.

24.某商场将进价为30元的台灯按40元出售，平均每月能售出600盏.调查表明，这种台

灯的售价每上涨1元，其销售量减少10盏.为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台

灯的售价应定为多少元？

25.在国家的调控下.某市商品房成交价由今年8月份的50000元/m?下降到10月份的40500

元府・

（1）同8〜9两月平均每月降价的百分率是多少？

（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到12月份该市的商品房成交均价是否

会跌破30000元/m?请说明理由•

26.如图，矩形力38中，月5=16cm,6c•-6cm,点尸从点A出发沿相向点S移动（不与点A、

8重合），一直到达点8为止；同时，点。从点。出发沿C7）向点。移动（不与点。、。重合）.

（1）若点P、。均以3cm/s的速度移动，经过多长时间四边形引力。为菱形？

（2）若点。为3cm/s的速度移动，点。以2cm/s的速度移动,经过多长时间VOPQ为直角三角形？

27.阅读下列材料：在解一元二次方程时，无论是用直接开平方法、配方法还是月因式分解

法，我们都是将元二次方程转•化为两个元,次方程，用“专化”的数学思想，我们还可以

解一些新的方程.例如：一元三次方程/+x2-2x=0,可以通过因式分解把它转化为

2

A（X+X-2）=0,解一元一次方程x=o和一元二次方程/+.2=0,可得为=。，x2=l,凡=-2.

再如，解无理方程（根号下含有未知数的方程）＜节=2,可以通过方程两边平方把它转化

为x+l=4,解得x=3.

（1）解下列方程：

①/-3/-4"0

②J2x+3=x

（2）根据材料给你的启示，求函数的最小值.

28.某文明小区50平方米和80平方米两种户型的住宅，50平方米住宅套数是80平方米住

宅套数的2倍.物管公司月底按每平方米2元收取当月物管费，该小区全部住宅都人住且每

户均按时全额缴纳物管费.

(1)该小区每月可收取物管费90000元，问该小区共有多少套80平方米的住宅？

(2)为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司5月初推出活动一：“垃圾分类送礼物”，50

平方米和80平方米的住户分别有40%和20%参加了此次活动.为提离大家的积极性，6月份

准备把活动一升级为活动二：“拉圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一.经调查与测算，参

加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户会大幅增加，这样，6月份参加活动

的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加加％,每户物管费将会

3

减少历。％;6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上

将增加6〃％,每户物管费将会减少;。％.这样，参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物

管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少磊〃％,求°的值.

第1章一元二次方程（单元重点综管测试）

一、单选题（一共8个小题，每题3分，共24分）

1.下列方程中，关于x的一元二次方程是（）

A.3（.d+2x）=3xlB.ax2+hx+c=O

C.(x+2『=4x+lD.4-x+l=0

【答案】C

【分析】根据一元二次方程的定义解答即可.

【详解】解：A.该方程化简后为6x=-l,是一元一次方程，不符合题意;

B.当。=0时，ad+bx+cnO不是一元二次方程，不符合题意；

C.该方程化简后为炉+3=0,是一元二次方程，符合题意；

D.该方程是分式方程，不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足四个条件：①未知数的最

高次数是2,②二次项系数不为0,③是整式方程，④含有一个未知数，熟练掌握一元二次方

程必须满足的四个条件，是解题的关键.

2.若两个数的和为6,积为5,则以这两个数为根的一元二次方程是（）

A.x2-12x+5=0B.x2-5x-6=0

C..r26x5=0D.x26x15=0

【答案】D

【分析】以X1,X2为根的一元二次方程的形式是/一的+工2产+中2=0,根据这个公式直接代

入即可得到所求方程.

【详解】解：A、--⑵+5=0中，*+々=-12,V2=5,不符合题意；

B、/一5丫-6=0中，西+8=5,4与=-6,不符合题意:

C、Y_6x-5=0中，％+/=6,X,X2=-5,不符合题意;

2

D、X-6X+5=0+，x,+x2=6tX,X2=5,符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，ad+6x+c=0（。=0）的两根分别为5,x2,

bc

则X[+*2=--fxi,x2=—.

3.某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件9元，设该商品平均每次降价

的百分率为*x>0)，则()

A.9(l-x)2=25B.25(1,4=9C.9(l+x)2=25D.25(l+x『=9

【答案】B

【分析】根据增长率的计算方法，一元二次方程与实际问题的综合运用即可求解.

【详解】解：原来的每件25元降到每件。元，连续两次降价，平均每次降价的百分率为x(x、O),

・・・列方程得,25(lj=9,

故选：B.

【点睛】本题主要考查一元二次方程与增长率的实际运用，理解题目中的数量关系，掌握一

元二次方程与实际问题的综合运用是解题的关键.

4.方程/+3.5=0的根的情况是()

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.无法确定是否有实数根

【答案】A

【分析】根据根的判别式进行判断即可.

【详解】解：♦・•方程，+3>5=。中。=1，b=3,c=-5,

.•.△=32-4x(-5)=29>0,

方程.一+3x-5=0有两个不相等的实数根，故A正确•

故选：A.

【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程加+云+°=0("0)的根与A=〃_4〃C有如下

关系：当A〉0时，方程有两个不相等的实数根；当△=()时，方程有两个相等的实数艰：当A<0

时，方程无实数根.

5.方程V+6x-5=0的左边配成完全平方后所得的方程为()

A.(jr+3)2=14B.(x-3)2=14C.(x+6)2=41D.(x-6)2=41

【答案】A

【分析】根据配方法的步骤对方程进行配方即可.

【详解】解：移项得：/+6/=5,

配方可.得：/+61+9=5+9，

即（x+3）'=14,

故选：A.

【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程.熟练掌握用配方法解一元二次方程的具体步骤

是解决此题的关键.

6.若（/+//+"2+方=6,贝IJ/+/的值是（）

A.-6B.1C.1或-6D.1或6

【答案】B

【分析】设。2+/=xZ0,而|/+〃）：!+5（。2+〃）_6=0,可得/+5工一6=0,再解一元二次方程

即可.

【详解】解：设/+〃="0，

《2+〃,+5,）-6=0

x~+5x—6=0,

（x-l）（x+6）=0,

・・・x-l=0或x+6=0,

解得：耳=1,9=-6（不符合题意舍去）；

a2+b2=\,

故选B

【点睛】本题考查的是利用换元法与因式分解的方法解一元二次方程，非负数的性质，熟练

的换元是解本题的关键.

7.已知a和0是方程x2+2O23x+l=O的两个根，贝1」（疗+2024«+2）（，+202邛+2）的值为（）

A.-2021B.2021C.-2023D.2023

【答案】A

【分析】由a和0是方程用+2023%+1=0的两个根，根据根于系数关系可得,

a邛=1,a+。=-2023,由一元二次方程根的定义可得

a2+2023a+1=0,p2+20230+1=0,即可求解;

【详解】〈a和0是方程W+2023x+l=0的两个根，

/.a2+2023a+1=0,

p2+2023p+1=0,

aP=1,a4-P--2023,

2

/.(a+2024a+2)g+2024p+2)

=(a2+2023a+I+a+ijp2+2023P+1+p+1)

=(a+l)(p+l)

=a-p+a+p+l

=I-2023+1

=-2021

故选A.

【点睛】该题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，熟记一元二次方程根与系数关

系公式是解答该题的关键.

6x-«>-10

8.使得关于x的不等式组11,3有且只有4个整数解，且关于x的一元二次方程

+2<-8+2

(a-5)/+4x+l=0有实数根的所有整数。的值之和为()

A.35B.30C.26D.21

【答案】B

【分析】先求出不等式组的解集，根据有且只有4个整数解可确定。的取值范围，再通过根

的判别式确定。的取值范围，最后结合两个取值范围找出满足条件的整数相加即可.

6x-a>_10®

【详解】解：整理不等式组得：彳_8+以］》12②

由①得：工之二^，

由②得：x<4

・・•不等式组有且只有4个整数解，

・.・不等式组的4个整数解是：3,2,1,0,

解得：4<a<10,

・.・("5)』+4X+1=0有实数根,

A=b2-4ac=16-4x(a-5)x1=36—4a20,

解得：a<9,

•・•方程（"5）/+4X+1=°是一元一次方程，

/.存5

：,4<a<9t且存5,

满足条件的整数有：6、7、8、9；

・・・6+7+8+9=30,

故选：B.

【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组和一元二次方程根的判别式，熟练卷:握解不等

式的性质和不等式解集的写法是解题发关键.

二、填空题（一共10个小题，每题3分，满分30分）

9.方程（2x+if=49的根是.

【答案】2%2=-4

【分析】利用直接开平方法解二元一次方程即可.

【详解】解：..・（2X+1）2=49，

2x+l=7或2x+l=-7,

解得…、

故答案为：演=3,/=-4.

【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因

式分解法、公式法及配方法，根据方程的特点选择简便的方法是解题的关键.

10.已知。、人是方程/+3x—4=0的两根，贝1」/+4〃+6-3=.

【答案】-2

【分析】利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，可得"6=-3,/+3”4=0,从而

得到/+3a=4,然后代入，即可求解.

【详解】解：・・・〃，是方程d+3x-4=0的两根，

a+b=-3,cr+3。-4=0,

Q~+3。=4,

a2+4a+b-3

=a2+3a+4+b-3

=4+（-3）-3

=2.

故答案为：-2.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方

程的解的定义和根与系数的关系是解题的关键.

11.若等腰“8C的一边长6,另两边长恰好是关于、方程/-10.丫+〃?=0的两个实数根，则“8。

的面积为.

【答案】12或8五

【分析】当等腰A在。的底边为6,利用根的判别式的意义得到A=(T0)2-4〃?=0,求出机得到

后方程化为心+25=0,解方程得到三角形的三边分别为5、5、6,BPAB=AC=5fBC=6,

过A点作于。，贝IJ8O=CZ)=3,利用勾股定理计算出力。，则可计算出“此的面积；

当等腰的腰为6,把x=6代入一元二次方程得加=24,则方程化为工2-10工+24=0,解方

程得到此时三角形的三边分别为6、6、4,即/B=4C=6,BC=4,过A点作力加一于。，

则80=8=2,利用勾股定理计算出4。，则可计算出“8C的面积.

【详解】解：当等腰小8。的底边为6,则两腰为方程犬-10x+〃?=0的两个实数根，

...A=(-10)2-4/?Z=0,

解得川=25,

方程化为炉-10%+25=0,

解得演=毛=5,

此时三角形的三边分别为5、5、6,

如图，AB=AC=5,BC=6,

过A点作力Q_L4C于。，则BO=CQ=3,

AD=y/52-32=4，

:.“BC的面积=1x6x4=12；

当等腰的腰为6,

把x=6代入方程x2-10x+m=0得36—60+/〃=0,

解得m=24,

方程化为1-10x+24=0,

解得苔=4,与=6,

此时三角形的三边分别为6、6、4,

如I图，AB=AC=6,5C=4,

过A点作于。，贝l」B0=CQ=2,

/.AD=62-22=42，

••.”8C的面积=；x4x42=82;

综上所述，"8C的面积为12或82.

故答案为：12或82

【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程云+c=O（awO）的根与△=〃_4M有如下关

系：当△>（）时，方程有两个不相等的实数根；当△=（）时，方程有两个相等的实数根；当△<（）

时，方程无实数根.也考查了三角形三边的关系和等腰三角形的性质.

12.方程伊-4b+%+1=0的两个实数根互为相反数，则攵的值是

【答案】-2

【分析】设方程的两根分别为4/，根据根与系数的关系得到演+占=/-4=0,解得左=±2,

然后分别计算△，最后确定％=-2.

【详解】解：设方程的两根分别为与马，

・・•方程_一代2_4/+"1=°的两个实数根互为相反数，，

2

：.^+x2=k-4=0f解得〃=±2,

当k=2,方程变为：/+3=0,A=-12<0,方程没有实数根，所以％=2舍去；

当％=-2,方程变为：x2-l=0,A=4>0,方程有两个不相等的实数根；

：.k=-2,

故答案为：-2.

【点睛】本题考查了一元二次方程a，+bx+c=0（"。，。，b,。为常数）根与系数的关系：若

方程的两根分别为不5,则再+/=-：；•气3=：.也考查了一元二次方程的根的判别式

△=〃-4加：当4>0,方程有两个不相等的实数根；当△=0,方程有两个相等的实数艰；当△<0,

方程没看•实数根.

13.某服装厂生产一批服装，2020年该类服装出厂价为200元/件，2021年、2022年连续两

年改进技术，降低成本，2022年该类服装的出厂价调整为162元/件.若这两年此类服装的出

厂价下降的百分率相同，则2021年此类服装的出厂价为兀/件.

【答案】18。

【分析】设这两年此类服装的出厂价下降的百分率为x,根据题意，列方程求解即可.

【详解】解：设这两年此类服装的出厂价下降的百分率为巴由题意可得：

200（l-xj=i62

解得：x=10%或x=190%（舍去）

2021年此类服装的出厂价为200x90%=180（元）

故答案为：180

【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确列出方程.

14.某学校组织篮球比赛，实行单循环制，共有36场比赛，则参加的队数为_.

【答案】9

【分析】设有％个球队参加比赛，那么第一个队和其他队打（♦1）场球，第二个队和其他队打

。-2）场，以此类推可以知道共打（l+2+3+...+x-l）场，然后列出方程求解.

【详解】解：设邀请4个球队参加比赛，

依题意得1+2+3+・・T（X-1）=36,

,v2-x-72=0,

.,.1=9或丫=-8（不合题意，舍去）.

故答案为：9.

【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，该题和实际生活结合比较紧密，准确找到关键描

述语，从而根据等量关系准确地列出方程是解决问题的关键.此题还要判断所求的解是否符

合题意，舍去不合题意的解.

15.已知x为实数，若丁+了-5卜+1|+8=0,那么x的值为.

【答案】2或3

【分析】将原方程变形为卜+：卜6=0,然后把x+：看作一个整体运用因式分解法

求出、十：的值即可.

【详解】解：・.・/++-5"+8=0,

.二厂+「+2-5卜+—+6=0,

》+-―2Ix―3=°,

IX八XJ

•x+--2=0,x+--3=0

xx，

1.

解解，x+：=2,x+；=3,

人人

故答案为：2或3.

【点睛】本题主要考查了配方法，用因式分解法解一元二次方程，正确将原方程进行变形运

用因式分解法求解是解答本题的关键.

16.如图，将边长为4cm的正方形49CQ沿其对角线力C剪开，再把“8C沿着力。方向平移，

得到"bC,若两个三角形重叠部分的面积为4cm，，则它移动的距离4力等于.

【答案】2

【分析】由平移的性质可知阴影部分为平行四边形，设/H=x,根据题意阴影部分的面积为

x(4-x)=4,解方程即可求解.

【详解】设/H=x,"与丁相交于点G,

•・•1C。是正方形48co剪开得到的，

・・・"C。是等腰直角三角形，

・•・/%=45°,

•••△力/G是等腰直角三角形，

AG=AAr-x,

A'D=AD-AAf=4-x,

・・,两个三角形重叠部分的面积为4,

/.x(4-A)=4,

解得x=2,

即移动的距禽44为2.

故答案为：2.

【点睛】本题考查正方形和图形的平移，一元二次方程的应用，熟练掌握平移的性质，正方

形的性质，列出方程是解题的关键.

17.2018年10月24日，世界上最长的港珠澳大桥正式通车，香港口岸途径西人工岛到达澳门

口岸.五一期间小辉与小亮两家人在港澳旅游，某日两家人从香港口岸前往澳门口岸，当小

辉一家乘坐穿梭巴士出发4分钟后，小亮一家乘坐跨境出租车出发，两车在全程中均保持匀

速行驶，跨境出租车比穿梭巴士早到65分钟，过海关时间不考虑在内，两车距西人工岛的路

程之和》（千米）与小辉家出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，穿梭巴士出发分

钟到达澳门口岸.

【答案】42

【分析】先根据已知图中路程中32千米可知：两家没出发时，距西人工岛的路程之和为32千

米，即香港口岸距西人工岛的路程益千米，4c=16千米，设穿梭巴士的速度为〃，千米/分，跨

境出租车的速度为〃千米/分，=s千米，分别根据时间相等列方程可解决问题.

【详解】解：如图1,

ACB

香港口岸人工岛澳门口岸

图1

由题意得：2/C=32,

AC=16,

设穿梭巴士的速度为机千米/分，跨境出租车的速度为〃千米/分,

八，4..」,16_4/〃16,,m4-m

当y=°时，两家同时到达西人工岛，则f—=：，解得：：=-「，

设BC=sT米,则s+s-6.5〃?=45.5,

45.5+65〃

$=2，

m7-m

-=----

解得:n7+tn

1—m4_m

7+m4

m2一机=0,

q=0,叫=i,

\6_4m16_,人，7_134_13

检验：当〃=7。时，一••"•-二【••无思义，故舍去；当用=1时，左边二•丁+!•"=了，右边==］，

左边=右边，

故原方程的解是〃?=1.

45.56.5”

.2=-5+—=26,

・••穿梭巴士的时间=存?=42,

答：穿梭巴士出发42分钟到达澳门口岸.

故答案为：42.

【点睛】本题考查一次函数的应用，解分式方程，解一元二次方程，解答本题的关键是明确

题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答，注意本题的卜轴表示两车距人工岛的路

程和，容易被忽略，本题较姓.

18.如图，ZBAC=90°,AB=AC=342.过点C作。OJ_8C,延长。到E,使=力，连接

ME。.若a=2花，贝1」的=（结果保留根号）

AC

EE----------------------------------

【答案】7+1/1+7

【分析】如图，过E作EQ'U,交G4的延长线于点。，设65=人，准=-可得CD=3x,OE=2九

证明8C=2AB=6,C£=6+A,△。。后为等腰直角三角形，

2222

CE=22+Xfx

QE=CQ=22(6+工)=2^2=2»由勾股定理可得：

(2yj=(6+x,+(3x)2

2Y,再解方程组可得答案.

+2A

・.・BE=；CD,ED=2AE,

:.CD=3x、DE=2y,

VZBAC=900,AB=AC=32,

:・BC=2AB=6,CE=6+xt△。。后为等腰直角三角形,

222

()E-CQ—CE-2(6+x)—32+?x,

2

AQ=；x,

(2yj=(6+xj+(3x『

由勾股定理可得：｛2(2Y()2<

y~=1+32+x

22

\J\7

整理得：X2-2X-6=0,

解得：x=1±7,

经检验x=l-S■不符合题意；

.・・BE=x=1+0

故答案为：1+V7.

【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，作

出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键.

二、解答题（一共10题，满分86分）

19.解方程

⑴4（1『=1

（2I3X2-7X+1=0

（3i/+10y-2=0（配方法）

（4IA-（X-4）-2（X-4）2

13

【答案】（1）再=力X1=2

小、7—屈7+后

（2收=:（=：

66

⑶乂=-36-5，%二班-5

（4）X|=4,吃=8

【分析】（1）方程两边同时除以4,然后根据直接开平方法解一元二次方程；

（2）根据公式法解一元二次方程；；

（3）根据配方法解一元二次方程；

（4）根据因式分解法解一元二次方程即可求解.

【详解】（1）解：4（x-lj=l,

gpx-l=±-,

,,13

解得：玉=,，“2=5

(2)解:3X2-7X+I=0,

・.•a=3,〃=-7,c=1,△=〃-4ac=49-12=37>0,

.-b±ylb2-4ac7±y/yf

,,x=_=,.

2a6

解得:

16

(3)解：/+10y-2=0,

.・./+10尸25=27,

・・.()'+5j=27,

_y+5=±3,^3,

解得：,=-3价-5,y2=35/3-5；

(4)解：x(.v-4)=2(x-4)2

X(X-4)-2(X-4)2=0,

即(工一4口—2x+8)=0,

,\(x-4)(8-x)=0,

・・.1=0或8r=0,

解得：士=4,5=8

【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.

20.先化简，再求值二一M■。子其中x为方程/+》_2=0的根.

X+1X-1X"-2x+l

【答案】匕、-2

x+1

【分析】先对分式进行化简，然后求出一元二次方程的解，进而代值求解即可.

2x2x_4x-2

【详解】

X+1X~X~-2x+l

2x2(x2)(x—I)2

.r+1+x_2

2x2(-y-l)

-x+1x+1，

2x-2x+2

x+1

2

-

x+i

解方程》2+工-2=°得：x=-2或x=l，

如果已知分式有意义，必须”不等于2,-1,1,

•・・%为方程/+工-2=0的1:艮，

・・.x只能为2

2

二•当x=-2时，原式=〃i=-2.

【点睛】本题主要考查分式的化简求值及一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握各个

运算方法.

21.若a,。是方程3-+2x-9=0的两实数根,求下列各式的值.

11

⑴一+1;

ap

⑵(a-柏

(3)3a2-2P.

【答案】⑴5

4

⑵%

(3iiol

【分析】(l)a,[3是方程3/+2、一9=。的两实数根，a+p=—=与，再利用景,

从而可得答案；

(2)利用(a-P)2=(a+。j-如P，再整体代入即可得到答案;

(3)由a,p是方程31+2戈-9=0的两实数根，可得3a2=_法+9,再利用3屋-23=-2(a+p)+9,

再整体代入进行计算即可.

【详解】(1)解：:a,B是方程3/+24-9=0的两实数根，

.\a+p=-j,«P=-3,

2

・J+二3=21二；

apap-39

2

2_

(2)(a-p)-=(a+p)-4ap=^|--4x(一3)=12：；

(3)Va,p是方程3/+2x-9=0的两实数根，

.・.3a2+2a-9=0,

3a2=-2a+9»

2\i

2

/.3a-2p=-2a-2p+9=_2包+p=-2x-yh-9=10—o

【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，方程的解的含义，熟记根与系数的关

系是解本题的关键.

22.已知关于%的方程2厂2/7=0有两个不相等的实数根.

⑴求〃的取值范围：

(2)若方程的一个根为4,求方程的另一根.

【答案】⑴；

(2)-2

【分析】(1)根据判别式的意义得到A=4+8〃>0,然后解不等式即可得到〃的取值范围；

(2)设方程另一个根为，，根据根与系数的关系得到4+,=2,然后解关于，的一次方程即可.

【详解】(1)解：根据题意得：A=4+8〃>0,

解得：〃>一；；

(2)解：设方程另一个根为L

根据题意得4+f=2,

解得/=-2,

即方程的另一根为-2.

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，本题的关键是熟练掌握根

的判别式的意义.

23.如图，把一块长为40cm,宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后

把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成个无盖纸盒.若该无盖纸盒的底面积

为600cm一求纸盒的体积.

【答案】3000cm'

【分析】设剪去小正方形的边长是xcm,也是纸盒的高.则纸盒底面的长为(40-2x)cm,

宽为(30-2x)cm,根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是600cm2,即可得出关于x的

一元二次方程并解答.

【详解】设剪去小正方形的边长是xcm,根据题意得：

(30-2x)(40-2Y)=600.

解得x/=5，X2=3Q

由题可知xV15,所以x=5,

体积：V=600x=600x5=3000cm3

答：纸盒的体积为3000cm3.

【点睛】本题考查一元二次方程的应用，其中涉及长方形的面积、长方体体积等知识，是重

要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

24.某商场将进价为30元的台灯按40元出售，平均每月能售出600盏.调查表明，这种台

灯的售价每上涨1元，其销售量减少10盏.为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台

灯的售价应定为多少元？

【答案】台灯的售价应定为50元或80元

【分析】设售价为x元，根据“销售利润=一个灯泡的利润x销售灯泡的个数”，列出方程解方

程即可.

【详解】解：设售价定为x元，

由题意得［600-10（1-40）］（厂30）=10000,

整理，得/T30x+4000=0,

解得：x/=50,x?=80.

，这种台灯的售价应定为50元或80元，

答：台灯的售价应定为50元或80元.

【点睛】本题主耍考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识

进行求解.

25.在国家的调控下.某市商品房成交价由今年8月份的50000元/m?下降到10月份的40500

元

（1）同8〜9两月平均每月降价的百分率是多少？

（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到12月份该市的商品房成交均价是否

会跌破30000元/m?请说明理由•

【答案】（1）8、9两月平均每月降价的百分率是10%；（2）12月份该市的商品房成交均价不

会跌破30000元佃?，见解析

【分析】（1）设8、9两月平均每月降价的百分率是x,那么9月份的房价为50000（1-x）,

10月份的房价为50000（1-x）2,然后根据10月份的40500元/m?即可列出方程解决问题;

（2）根据（1）的结果可以计算出今年12月份商品房成交均价，然后和30000元/nf进行比

较即可作出判断.

【详解】解：（1）设这两月平均每月降价的百分率是X,根据题意得:

50000(1-x)2=40500

解得：x,=10%,X2=1.9（不合题意，舍去）

答：8、9两月平均每月降价的百分率是10%

（2）不会跌破30000元/m?.

40500（1-A）2=40500x0.92=32805>3000（）

・・・12月份该市的商品房成交均价不会跌破30000元加2

【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，和实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到

关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键.

26.如图，矩形48CO中，/B=16cm,BC=6cm,点P从点A出发沿45向点8移动（不与点A、

8重合），一直到达点8为止；同时，点。从点C出发沿C。向点。移动（不与点。、。重合）.

（1）若点。均以3cm/s的速度移动，经过多长时间四边形8P。。为菱形？

（2）若点。为3cm/s的速度移动，点。以2cm/s的速度移动,经过多长时间VQP。为直角三角形？

【答案】⑴经过葛秒四边形8尸。。是菱形；（2）经过2秒、弓秒、晟秒时"OP。为直角三

角形

【分析】（1）根据矩形性质可得力8//CO,由P、0两点速度大小相同得到平行四边形第。。，

只需BP=DP,四边形8尸。。是菱形，设经过x秒四边形"。。是菱形，将3P、。尸表示出来，

建立一元二次方程即可得解；

⑵由/尸°。=90。分为①/8。=90。②NO0P=90。两种情况讨论：对①，过0作。于

利用勾股定理即可得出关于工的一元二次方程，即可得解；对②，则力q+。。=16,由此可得

关于X的一元一次方程，即可得解.

【详解】解：（1）由题可知”〃c。，

由于P、Q两点速度大小相同，

/.AP-CQ,BP-DQ

.•.3/7)。是平行四边形,

.•.当8P=OP时，四边形〃尸。。是菱形；

设经过了X秒四边形在。。是菱形，则有：

AP=3xcm,BP=(16-3x)cni

由勾股定理得：。尸2=(3xj+6?

/.D尸=(3xj+62=(16-3xj

解得：x=24

故经过U秒四边形8尸。。是菱形；

(2)vP、/两点不重合

:"PDQ。90°

••・△皿乜为直角三角形有两种情况：①当/OPQ=90。时过。作。Ml居于“，可知|5CQW为矩

形，如图所示

vAP=3xcni,BM=CQ=2xcm,贝”行.

PM=(16-5x),DQ=(16-2x)cm

「.(16-5xj+6?+(3工)2+62=(16-2xj

解得：演=2,*2=亍；

②当/。。尸=90°时，AP+CQ=\65

所以3x+2x=16,解得

综上可知：经过2秒、£秒、当秒时VOP。为直角三角形.

【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理的逆定理以及菱形的判定；解题的关键在于：（1）

根据领边相等建立一元二次方程；（2）分类讨论，根据边与边的关系建立方程；解决该类问

题根据菱形的判定、勾股定理的逆定理得出关于x的方程是关键.

27.阅读下列材料：在解一元一次方程时，无论是用直接开平方法、配方法还是月因式分解

法，我们都是将一元二次方程转化为两个一元一次方程，用“转化”的数学思想，我们还可以

解一些新的方程.例如：一元三次方程X3+X2-2X=0,可以通过因式分解把它转化为

—2）=0,解一元一次方程1=0和一元二次方程/+x_2=（）,可得为=0,、2=1,七=-2.

再如，解无理方程（根号下含有未知数的方程）x+l=2,可以通过方程两边平方把它转化

为x+l=4,解得x=3.

（1）解下列方程：

①F-3.r2-4x=0

②2x+3=x

（2）根据材料给你的启示，求函数的最小值.

X4-2X+1

【答案】（1）①%=°,9=-1,刍=4；②、=3；（2）；

【分析】（1）①结合题意，首先提取公因式，再结合因式分解法求解，即可得到答案

②方程两边平方把它转化为2x+3=Y，再通过因式分解法求解一元二次方程，结合二次根式

的取值范围分析，即可得到答案；

（2）首先将原函数转化成关于x的一元二次方程，分J-3和歹=3两种情况，当j