二次根式与同类二次根式（原卷版+解析）

最简二次根式

1、最简二次根式的概念：

（1）被开方数中各因式的指数都为1;（2）被开方数不含分母.

被开方数同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.

【例I】判断下列二次根式是不是最简二次根式:

⑴小⑵任；

(3)Jl.5(a+5).

【例2】将下列二次根式化成最优二次根式：

（I）712;（2）也一丁。〉。）；⑶T27^W（。<0，b<0,c<0）.

【例3】将下列二次根式化成最优二次根式:

(2)Vl.Sa3;

b>0,c>0).

【例4】将下列式子化成最简二次根式:

(3)-(l-a)J-一—

(1)/；

V«-1

同类二次根式

1、同类二次根式的概念：

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式.

【例5】判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式?

(1)V24,V48,/—；(2)肉,,37?y(x<0),-2y[x/(y<0).

【例6】合并下列各式中的同类二次根式：

(1)2V2--V3+->/2+>/3：(2)3y[xy-ayfxy+byfxy；

23

(3)3如一痴十5后；(4)(3b4b+ay/b)—(\/4aby+abjb).

【例7】(1)乎+等；(2)(3-4+与而；

(3)34及：(4)Ob+a-ab)4b-2b4^b.计算:

【例8】若而与正是同类二次根式，求X的最小正整数？

一、单选题

1.（2022秋・上海宝山•八年级校联考期末）在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）

A.应和gB.扃^和能商C.&和JD.和而I

2.（2022秋•上海普陀•八年级校考期中）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（）

A.与3&；B.R与岛C.后与6；D.辰与后.

3.（2022秋•上海闵行•八年级校考阶段练习）下列根式中，是最简二次根式的是（）

22

A.用B.C.y]a+b-2abD.扃

4.（2022秋•上海金山•八年级校联考期末）下列根式中，与血是同类二次根式的是（）

A.712B.724C.6D.>/0^8

5.（2022秋•上海•八年级校考期中）下列说法正确的是（）.

A.而与血是同类二次根式B.面的平方根是±3

C.x+V?=2xD.-妫一定是负数

6.（2023春・上海宝山•八年级校考阶段练习）在下列二次根式中，与石是同类二次根式的是（）

A.yjlaB.53c/C.D.

7.（2023秋・上海静安・八年级上海市风华初级中学校考期末）下列二次根式中与百是同类二次根式的是

（）

A.J12B.Jo.3C.D.\/1-8

8.（2022秋・上海金山•八年级校联考期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）

A.屈B.府C.用D.y/a^

二、填空题

9.（2022秋・上海松江•八年级校考期中）若最简二次根式37^15与痴是同类二次根式，则

10.（2022秋•上海黄浦•八年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）把-'V-57中根号外因式适

当变形后移至根号内得.

11.（2022秋・上海长宁•八年级上海市第三女子初级中学校考期中）二次根式中：庐万、历、标、

炳是最简二次根式的是.

三、解答题

12.（2021秋・上海•八年级期中）已知正数x满足不等式：向-配＞2工-4,化简:

22

2A/(X+1)+Y/X-AX+A.

（2021秋•上海•八年级期中）计算：g+、0.751

13.

2

14.（2021秋・上海•八年级期中）化简：-(其中x<0)

I.下列各式中，与化简所得结果相同的是（）

A.n\!-rnnB.n4rnnC--n\［mnD.

2.下列根式中，是最简二次根式;的是（）

A.B.J12a-12bC.y］x2-y2D.d5ab°

3.若2G与最简二次根式疡71是同类二次根式，则“=

4.若两最简根式"702〃+5"-7和Ja+3〃是同类二次根式,则。+力的值的平方根是

5.解不等式：V2（A--V3）＞X/6（X4-I）

6.观察下列各式及其化简过程：｛3+26=/q+2岳1+1?=J（&+］）2=&+1；

（1）按照上述两个根式的化简过程的基本思想，将J10-2向的化简;

（2）化简：710-4＞/6

（3）化简；+底

最简二次根式

1、最简二次根式的概念：

（1）被开方数中各因式的指数都为1;（2）被开方数不含分母.

被开方数同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.

【例9】判断下列二次根式是不是最简二次根式:

⑵任;

⑴6(3)J1.5(a+5).

【答案】（1）不是；（2）不是；（3）不是.

【解析】（I）被开方数中各因式的指数都为I：（2）被开方数不含分母.

同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，

所以这三个二次根式均不是最简二次根式.

【总结】本题考查了最简二次根式的概念.

【例10】将下列二次根式化成最简二次根式：

（1）厄；（2）；⑶/74%2cs（。<0,〃<0,c<0）.

【答案】（1）26；（2）2xy&、（3）3abe［屈.

【解析】（1）x/12=2x/3；（2）机V=2xy6；（3）拉7析1/=3混血二

【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简.

【例11】将下列二次根式化成最简二次根式:

⑴g(2)J1.54:

(3)(Z?<0)(4)(a>0,b>0,c>0).

【答案】⑴哈⑵亨/.、b'd3abe

⑶噜(4)----；——.

9。2c

【解析】⑴R一2五一2”

,3

(2)Ji)/=a\{3aa\[ba

2

(3)

Z/后b-4b护痴依

(4)

【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简.

【例12】将下列式子化成最简二次根式:

（I）；一（1一〃）^5,

【总结】本题综合性较强，主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的各因式

的符号.

同类二次根式

1、同类二次根式的概念:

几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类

二次根式.

【例13】判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？

(1)V24♦>/48,；(2)J/y,3]{),*<0),-2小xy，(yv0).

【答案】(1)不是；(2)不是.

【解析】(1)0=2#；弧a瓜括=骼.

(2)y[^y=x2y[y；37??=-3X而；-2y[^:2丫弧.

【总结】本题主要考查同类二次根式的概念，先化简再判断.

【例14】合并下列各式中的同类二次根式：

(1)2\/2--\/3+-\/2+5/3；(2)3y/xy-ayfxy+b>Jxy；

23

(3)3M-病+5屈;(4)(3b>/b+a4b)-(5/4^+ab4b).

【答案】(1)竿+等；(2)(3—。+〃)历；(3〉34及；(4){3b+a-ab}4b-2b4^b.

【解析】(1)2s/2-->j3^-^+y/3=—+—

2332

(2)3y/xy-(iy[xy+byfxy=(3-«+b)^[xy：

(3)3屈-疯+5月=9拒-5&+30正=340；

(4)(30扬+ci\[b)-(\j4ab'+ab\[h)=(3b+a-ab)4b-2b\fab.

【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并.

【例15】计算:

「他"限3.5限11>/6

【解析】(I)x=----------------------=----------；

2424

“、°币币.)、5a

(2)-2x>--------------»..-2x>---------

326

【总结】本题主要考查利用二次根式的性质求解不等式和方程.

【例16]若后莪与6是同类二次根式，求X的最小正整数？

【答案】x=4.

【解析】由题意得：5X+8=/I2X7（〃为正整数），

解得：当〃=2时，x=4.

【总结】本题主要考查同类二次根式的概念，此题中要注意前面一个二次根式并不是最符的,

因此要从多个角度考虑.

一、单选题

15.（2022秋・上海宝山•八年级校联考期末）在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）

A.加和尼B.血石和甚7C.&和£D.GT和而7

【答案】c

【分析】根据同类二次根式的概念逐个判断即可.

【详解】A：瓦二2也,故拒和不是同类二次根式，故A选项不符合题意；

B：=防，故国和反石，故B选项不符合题意；

c：出=#，故五和J是同类二次根式，故C选项符合题意;

D：QT和小是同类二次根式，故D选项小符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查同类二次根式，正确理解同类二次根式的概念是解题的关键.

16.（2022秋•上海普陀•八年级校考期中）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是

（）

A.26与3&；B.A与JI；C.屈与蓬；D.屈■与后.

【答案】D

【分析】把四组式子化成最简二次根式后根据同类二次根式的定义进行判断.

【详解】解：A、与3行被开方数不同，不是同类二次根式；

B、A=当与J=半被开方数不同，不是同类二次根式；

C、血5=也与石被开方数不同，不是同类二次根式；

2

D、府=2x岳马岳，被开方数相同，是同类二次根式.

故选：D.

【点睛】本题考查同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同.

17.（2022秋・上海闵行•八年级校考阶段练习）下列根式中，是最简二次根式的是（）

A.dab'B.Ja+5C.+b，-2abD.y/Sa

【答案】B

【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可.

【详解】解：A、必=四疝，被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，

故本选项不符合题意；

B、而立是最简二次根式，故本选项符合题意：

C、yja2+b2-2ab=^（a-b）2=\a-b\,被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根

式，故本选项不符合题意；

D、庖=2而，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合

题意；

故选：B.

【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键.

18.（2022秋.上海金山.八年级校联考期末）下列根式中，与瓜是同类二次根式的是（）

A.y/\2,B.524C.D.Vo.8

【答案】C

【分析】根据同类二次根式的定义即可求出答案.

【详解】解：•・•次=2&,

A、V12=2x/3,与通不是同类二次根式.

B、V24=2x/6,与血不是同类二次根式.

c、后=母，与我是同类二次根式.

D、/=小|=后'=竽，与我不是同类二次根式.

故选：C.

【点睛】本题主要考查同类二次根式，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果

它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式.

19.（2022秋.上海.八年级校考期中）下列说法正确的是（）.

A.4与旧是同类二次根式B.庖的平方根是±3

-妫一定是负数

C.X+47=2XD.

【答案】B

【分析】根据同类二次根式的定义判断A,根据平方根的定义判断B,根据二次根式的性质

判断C,根据实数的性质判断D.

【详解】解：A.•・•次=2&,J/=2G，・•・次与疵不是同类二次根式，故不正确；

B.•・•庖=9,・•・南的平方根是±次=±3,止确；

C.当x<0时，x+V?=xr=o,故不正确；

D.当。=0时，-布=0,不是负数，故不正确；

故选B.

【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，平方根的定义，二次根式的性质，以及实数的性

质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键.

20.（2023春.上海宝山.八年级校考阶段练习）在下列一次根式中,与右是同类一次根式

的是（）

A.\[laB.yj3a2C.D.

【答案】C

【分析】先将各选项化简，再找到被开方数为。的选项即可.

【详解】解：A、与及被开方数不同，故不是同类二次根式；

R、国'=6间与G被升方数不同，故不是同类二次根式；

C、必=1。1石与右被开方数相同，故是同类二次根式；

D、77二层与石被开方数不同，故不是同类二次根式.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同的

二次根式叫做同类二次根式.

21.（2023秋•上海静安•八年级上海市风华初级中学校考期末）下列二次根式中与G是同

类二次根式的是（）

A.\!\2,B.x/o.3C.D.>/?8

【答案】A

【分析】把四个选项中的二次根式化简，再根据同类二次根式的定义进行选择即可.

【详解】A.屈=26，与后是同类二次根式，故正确；

B.瓜=噜，与右不是同类二次根式，故错误；

c.5=乎，与G不是同类二次根式，故错误；

D.M=3后与6不是同类二次根式，故错误；

故选:A.

【点睛】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键.

22.（2022秋・上海金山•八年级校联考期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）

A.屈B.历C.D.

【答案】D

【分析】满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式

是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

【详解】解：A.廊=3石，故不符合题意；

B.J3a3=a\/3a♦故不符合题意；

C.榨1=也手，故不符合题意；

D.它万，最简二次根式，符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，熟记最简二次根式的定义是解题的关键.

二、填空题

23.（2022秋・上海松江•八年级校考期中）若最简二次根式37^^与疝是同类二次根

式，则”=.

3

【答案】-/0.75

4

【分析】根据同类二次根式的根指数、被开方数相同可得出方程，解方程即可得到答案.

【详解】•・•最简二次根式3房工5与疝是同类二次根式，

2a+3=6a,

3

解得：〃

4

3

故答案为：-

【点睛】本题考查了同类二次根式的知识，掌握同类二次根式的根指数、被开方数相同是解

题的关键.

24.（2022秋•上海黄浦♦八年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）把-,口17中

a

根号外因式适当变形后移至根号内得.

【答案】4

【分析】根据二次根式的性质可得-a">0,则。<0,据此即可求解.

【详解】解：•・•-■!■口'，有意义，

a

A-a">0,则a<0,

•S=y^=二'

故答案为：用.

【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键.

25.（2022秋・上海长宁•八年级上海市第三女子初级中学校考期中）二次根式中：“广_护、

后、屈、曲是最简二次根式的是.

［答案］V77F

【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可.

【详解】解：行寿是最简二次根式，

x/4a=2\fa,

历，

•）\/5不、>/4a>J/y不是最简二次根式.

故答案为：+8*.

【点睛】本撅主要考杳了最简二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握最简二次根式的条件,

①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式.

三、解答题

26.（2021秋・上海•八年级期中）己知正数工满足不等式：瓜-瓦>2x-4,化简:

2+1尸-4x+4.

【答案】x+4

【分析】先解出不等式求出X取值范围，再利用二次根式的性质化简即可.

【详解】解：V3X-V12>2JI-4

V3x-2x>V12-4

（G-2卜>26-4（注意：75-2<0）

2x/3-4

解得：x<2.

•・・x为正数，

.,.x+l>0,x—2<0,

原式=2日+1y+

=2（x+l）+（2-x）

=x+4

【点睛】此题考查的是解不等式和化简二次根式，需要特别注意的是解不等式时两边同时乘

或除以负数时不等号改变方向.

27.（2021秋・上海,八年级期中）计算：^—―+V0-75c3-

【答案】°病

C

【分析】分别化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得到答案.

【详解】解：原式=3-弓后一9

=-V3c+-V3c---73c

ccc

=?而

c

【点睛】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的加减运算，掌握以上知识是解题的关键.

28.（2021秋•上海•八年级期中）化简：;阿+6噂一2出（其中XV。）

【答案】一2而

【分析］根据二次根式的性质进行化简各二次根式后，再合并同类二次根式即可.

【详解】解：由题意知，x<0,y<0

**•gJ9xy+

二|x3向+6yx《向—2x喘而

yjxy+2xx-yfxy

y

=2y/xy-6y/xy+2y/xy

=-2y[xy

【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答此题的关键.

7.下列各式中，与化简C^7（"00）所得结果相同的是（）

A.nyj-mnB.n\[mnC.D.-nyl-mn

【答案】D

【分析】根据二次根式的性质化简即可求解.

【详解】解：:（7%>0）/j意义.

•••〃<（）

\l-rnn3=-n\l-mn,

故选：D.

【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性

质是解题的关键.

8.下列根式中，是最简二次根式的是（）

A.762^B.J12a-12bC.卜-。D.75^

【答案】C

【详解】解：A.血工=半，不是最简二次根式；

B.J\2a-\2b=2j3a-3b,不是最简二次根式；

C.尸刀是最简二次根式；

D.屈7=向扃，不是最筒二次根式；

故选C.

【点睛】本题考查了最简二次根式，在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式

的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中

的每一个因式（或因数），如果幕的指数大于或等于2,也不是最简二次根式.

9.若2G与最简二次根式反花是同类二次根式，则。=.

【答案】y/0.5

【分析】根据同类二次根式的被开方数相同，得出美于。的方程，解出即可得出答案.

【详解】解：・・・26与最简二次根式标I是同类二