高一升高二（数学） 第七章《复数》章末复习卷（解析版）

第七章复数章末复习卷

(考试时间：120分钟，分值：15()分)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干

净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题仔上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交问。

第一部分(选择题共58分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

I.在复平面内，复数Z对应的点的坐标是(L2),则2=()

A.l+2iB.-2+iC.l-2iD.-2-i

【答案】A

【详解】由史数的几何意义可得z-l+2i.

2.已知复数zT+i2025,则复数z的虚部为()

A.iB.-1C.1D.-i

【答案】C

【分析】利用虚数单位i的暴次周期性化简复数z,再根据复数虚部的定义确定结果.

【详解】虚数单位i的毒次具有周期性，周期为4,对任意AeZ,

满足：产=1，追讨=i，严+2=T，i"+3=T，

则2025=4x506+1,tei2O25=i，因此z=l+i,

根据复数虚部的定义：形如例(a,〃wR)的复数，虚部为实数匕，可得z的虚部为1.

3.已知Z]=〃+2i,z2=3+/?i,(a,R),若4=z2,则()

A.a=3,b=2B.a=-3,b=2

C.〃=3./?=—2D.〃=—2,b=3

【答案】A

【详解】由4=z2,得a=3,b=2.

4.若复数z=(T+2i)(a-3i)(aeR)为纯虚数，则，=()

A.-V?B.-12C.0D.10

【答案】B

‘4+6=0

2

因为复:数Z为纯虚数，所以《解得

5.在复平面内，复数z=（/-2a）+d-a-2）i对应的点在虚轴上，则。的值为（）

A.〃=（）或。=2B.〃=（）C.〃工1且。工2D.。工1或。工2

【答案】A

【分析】根据复数的几何意义，构造方程得解.

【详解】•・•复数z=（〃-2a）+（a2一。一2）i对应的点在虚轴上，.・./-2。=0，.・.〃=0或。=2.

故选：A.

6.在复平面内，O为原点，向量。4对应的复数为-l+2i,若点A关于），轴的对称点为8,则向量OB对应的复数

为（）

A.-2-iB.-2+iC.l+2iD.-l-2i

【答案】C

【详解】:向量OA对应的复数为一l+2i,•••点A的坐标为（一1,2）,

丁点4关于），轴的对称点为B,：.点B的坐标为（1,2）

二向量OB对应的复数为1+2i.

7.已知复数z满足z+HW-2i=0（awR）,则实数。的可能取值为（）

A.2B.-C.1D.《

22

【答案】D

【详解】设复数z=x+yi（其中x,yeR）,则以卜百万，将z=x+炉代入z+a|z|-2i=0,整理得：

x+yi+a^Jx2+y2-2i=0,

即（…"77）十（y-2）i=o,所以得y=2,

。，-2=0

将丁=2代入第一'个方程得：x+a,£+4=0,即x=-ajx2+4»

两边平方得：x2=d2（x2+4）,所以工2=竺，

\-a~

因为dzo,且分母不能为o,所以上一；：°，即一1<”1,

44>0

所以从判断选项来看，。的可能取值只有;.

8.棣莫弗公式8。+1由］。)"=85/?。+14】/?叩€1<)是由法国数学家棣莫弗发现的.若复数0=85>51吟，则

疗=()

A.」+西B.-立+匕C.L乌D.-+-1

22222222

【答案】C

【详解】由棣莫弗公式，<y2=fcos—+isin—=cos—+isin-=cos—+isin—=-+—i.

166j663322

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共IX分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的

得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.设复数4=6+"Z=x+yiJ,yeR),在复平面内，4,z2对应的向量分别为，OZ2,0为坐标原点，

则()

A.同=2B.|z「zj=|z-

C.若OZJ/QZ-则6x+y=0D.若忆+zj=g,则忆-2i|的最大值为3b

【答案】ABD

【分析】利用共扼复数及复数模的意义求解判断A；利用复数乘法及模的意义求解判断B；利用向量共线的坐标表

示判断C；确定点Z2的轨迹并求出最大值判断D.

【详解】对于A,Z=百一八则同=>/(6)2+(—1)2=2,A正确：

22

对二JR.zl-zl=(x/3+i)(\/3+i)=24-243\,\^-^\~y)^-+(2>/3)-4,

而㈤=点可手=2,因此IZiZHzJ,B正确；

时J：COZ,=(V3,l),OZ2=Uy)»由。ZJ/OZ2,得百y=x,C错误；

对于D,由|z2+zj=g,即卜2—(-G—i)卜石，

得点4的轨迹是以点(-6,-1)为圆心，石为半径的圆，

|马-2i|表示点Z?与点(0,2)的距离，该距离最大值为J(—G_0)2+(_I_2)2+6=36,D正确.

10.已知复数z=(。-l)+(/+2a-3)i,其中。为实数，i为虚数单位，则下列说法正确的是()

A.若z为虚数，则或］工一3

B.若复平面内表示复数z的点位于第二象限，则。v-3

C.若z>-2,则a=l

D.若“1且〃工一3,则z?=\z\2

【答案】BC

【分析】根据题意，根据复数的定义，以及复数的几何意义，以及复数的运算形式，逐项判定，即可求解.

【详解】由复数z=（〃-l）+（储+2a-3）i,其中。为实数，i为虚数单位，

对于A中，若z为虚数，则满足/+2〃-3工0,解得。工1且。工-3,所以A不正确；

。一1<0

对于B中，若夏平面内表示复数z的点位于第二象限，则满足.，

cr+2a-3o>0A

解得a<-3,所以B正确；

对丁C中，若z>—2,可得「I?"二3二。，解得〃=],所以c正确；

对于D中，当。工1且。工一3,可得Z为虚数，z2为虚数，而，WR,所以z2工，，所以D不正确.

故选：BC.

H.在量了•计算的理论研究中，量了比特的相位演化可以用复指数形式描述.瑞士数学家欧拉于”48年提出了著

名的欧拉公式：eu=cosx+isinx为量子态的叠加与演化提供了重要的数学基础.其中。是自然对数的底数，i是虚数

单位，该公式将指数函数的定义域扩大到爱数，建立了三角函数与指数函数的关联.依据欧拉公式，则下列结论正

确的是（）

A.』的虚部为g

B./在复平面内对应的点位于第一象限

ix-ix

C•isinx=-------------

2

D.若Z]=e,z2=e5在复平面内分别对应点Z-Z2,贝lj.OZZ2面积的最大值为日

【答案】ABC

【分析】对于A,根据题意可得,=3+匕，即可得虚部；对于B,根据题意可得』=立+立i,结合复数的几

2222

何意义分析判断；对于C,根据题意结合诱导公式分析判断；对于D,由题意可得等jz^cosasin。），结

合面积公式分析判断.

【详解】对于A,因为j=嗯+1呼=争：所以』的虚部为?故A正确；

对于B.因为e，=cos'+isinN,

4422

所以M在复:平面内对应的点为（乎，等）位于第一象限，故B正确；

对于C.因为e"=cosx+isinx，eiv=cos（-x）+isin（-x）=cosx-isinx,

ix_-ix

所以e"-e"=2isinx,即isinx=----—，故C正确；

2

对于选项D：因为Z1=cos¥+isin4=，+且i,z,=e"，=cosO+isinO,

3322

则z=£z,=/在复平面内分别对应点z［；，S，Z2(cosdsin0),

可得|OZj=|OZ2|=l,ZZ1OZ2=,

则.OZZz面积为Sv%%=J。4Hoz2sinZZ,OZ2<l,

当且仅当sinNZ0Zz=l时,等号成立,

所以.0ZZ2面积的最大值为故D错误.

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.复数z=(a-I)+(a+2)i(其中i为虚数单位)是实数，则实数。=.

【答案】-2

【详解】由复数z=e-l)+(〃+2)i为实数，贝Ija+2=o,得。=一2.

13.若0=80°+1§足三，贝|J33=

33

【答案】-1

【分析】根据复数三角形式的运算法则，准确化简、运算，即可求解.

【详解】因为“=cos2+isin工，

33

根据复数的运算法则，可得@3=(8sm+isin]J=8s(g+方+g)+isin(方+方+])=—1.

故答案为：-L

14.已知复数2m，若复数4满足|z「z|=l，则卜-2|的最大值为.

【答案】6+1

【分析】由题意可设Z|=cos，+(l+sin9)i,根据辅助角公式及正弦函数性质计算求解即可.

【详解】若复数4满足|z「z|=l,可设Z1=8s，+(l+sin9)i,

则zx-2=cos^+(l+sin^)i-2=(cos^-2)+(l+sin^)i,

所以,一2|二J(cos夕-2『+(l+sin8)~=Vcos2^-4cos^+4+l+2sin0+sin20

=J6+(2sin9-4cos8)=^6+2\/5sin(0+(p),其中〔an°=-2,pw'gg),

由正弦函数性质可知，当时，sin(e+o)=i,

此时|z「2|有最大值为,6+26=+=75+1.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.已如i是虚数单位，复数z=(〃P-5“2+6)+(〃?2—3〃?)i,〃2wR.

(1)当复:数z为实数时，求加的值；

(2)当复数z为纯虚数时，求加的值.

【答案】(1)m=0或帆=3

(2)m—2

【分析】(1)根据复数为实数得出方程解出即可：

(2)根据复数为纯虚数得出方程组解出即可.

【详解】(1)由复数z=(〃5〃?+6)+(〃/一3川R,

当复数z为实数时，>_36=0,解得：切=0或m=3.

(2)由复数z=(〃/一5m+6)+(〃/-3w)i,meR.

当复数z为纯虚数时，,丁+*,解得:m=2.

tn-一3/"0

16.当实数也取什么值时.，复平面内表示复数2=(>-8〃?+15)+1爆2(病-15»的点分别满足下列条件？

(1)位于第二象限；

⑵位于第四象限.

【答案】(1)4<m<5

(2)-4<；??<-\[\5

【分析】(1)写出复数对应的点的坐标，由该点位「第二象限，列出不等式组，解得，”的范围.

(2)写出复数对应的点的坐标，由该点位于第四象限，列出不等式组，解得m的范围.

【详解】⑴该复数对应的点的坐标为(〃广-8加+151鸣(>-15)),

nr-8/27+15<0

当时，该点位于第二象限,

log?(独/一15)>0

nr-Stn+15<0得!(〃?-3)(〃?-5)<0

[62一]5>1解得4<"?<5,

log2(/?r-15)>0

则当4<〃2V5时，复平面内表示更数z的点在第二象限.

(2)该复数对应的点的坐标为(，-8/〃+151og2(〃「-15)),

m2Sm+15>0

时，该点位于第四象限,

1log,(/AZ2-15)<0

-8〃?+】5>0,J(机—3)(加一5)>0

解得〈〈一店，

log,(/M2—15)<0"0<-15<1-45

则当7＜小＜-/时，复平面内表示复数z的点在第四象限.

17.已知复数z=(3帆+〃)+(〃?-2n)i(w,〃£R).

(1)若z=5-3i,求，〃，〃的值；

(2)若z是方程f+4x+8=0的一个复数根,求〃?，〃的值.

【答案】(I)，力=1,〃=2

26

m=——m=——

77

⑵8或4

n=­n=—

77

【分析】(1)根据兔数相等的条件，列出关于也拉的二元一次方程叁求解；

(2)解一元二次方程求出复数根，分两个根分别讨论，分别利用复数相等构造方程组求解.

【详解】(I)已知复数z=(3"?+〃)+(〃?-2〃)i=5-3i,则

3〃?+，:=5nt=\

解得

n=2

(2)/+4_¥+8=0=(%+2)2=(公『,解得x=-2±2i,

2

m=-

3，〃+n=-27

若则，,解得

z=-2+2i,…=28；

n=-

7

6

m=—

3m+n=-27

若z=-2-2i,则,吁2〃=-2,解得

4

n=­

7

18.在复平面内，复数z=a+bi(a为eR)劝应的向量为oz(。为坐标原点)，设|OZ|=r,以射线Oi为始边，Oz为

终边逆时针旋转所得的角为%则z=r(cos0+isin0),此为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理:

马=4(cos4+isinq),z2=r2(cos巧+isin2)，则马z2=住[cos©+6?)+isin(q+劣)].由棣莫弗定理导出了复数乘方

公式：=[r(cos6^+isin0)]n=r"(cosr.0+isinnO)(neN).

⑴将复数z=-1+Gi表示为三角形式；

(2)根据复数乘方公式，化简：(-1+6产

【答案】(l)z=2(cosT+isinT)・

(2)(-1+x/3i)"=-1024-1024x/3i

【分析】(I)求出匕。的值即可得答案:

(2)由题意可得(-1+Gi)”=[2(cos今+1如今)『二2"(cos寺+isin学)，再利用诱导公式求解即可.