2027年高考数学一轮复习：函数的综合应用（学生版）

第18讲函数的综合应用

知识梳理

1、高考中考查函数的内容主要是以综合题的形式出现，通常是函数与数列的综合、函

数与不等式的综合、函数与导数的综合及函数的开放性试题和信息题，求解这些问题归，着

重掌握函数的性质，把函数的性质与数列、不等式、导数等知识点融会贯通，从而找到解题

的突破口，要求掌握二次函数图像、最值和根的分布等基本解法；掌握函数图像的各种变换

形式（如对称变换、平移变换、伸缩变换和翻折变换等）；了解反函数的概念与性质；掌握

指数、对数式大小比较的‘留见方法；掌握指数、对数方程和不等式的解法；掌握导数的定义、

求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求

导法则及导数的几何意义，特别是应用导数研究函数的单调性、最值等.

2、函数/（力=£,-蜀的图象与性质

r=l

分奇、偶两种情况考虑：

比如图（1）函数/（工）=|乂+|%-1|+,一3|,图（2）函数

g(x)=|^+|x-l|+|x-2|+|x+l|

（1）当〃为奇数时，函数=的图象是一个"v”型，且在“最中间的点”取

/=|

最小值；

（2）当〃为偶数时，函数/（力=£k-同的图象是一个平底型，且在“最中间水平线

段''取最小值;

若为等差数列的项时，奇数的图象关于宜线x=4对称，偶数的图象关于直

线工=为川，+M，中对称.

2

3、若〃x）为［〃?.〃］上的连续单峰函数，且f（m）="〃）/o为极值点，则当2力变化时，

g（x）=，（力-心-耳的最大值的最小值为此号运1,当且仅当1=0.（=/（〃）；/"。）

时取得.

必考题型全归纳

题型一：函数与数列的综合

例1.（2024.全国•高三专题练习）已知数列满足％=1,23=/〃（1+K.）（〃WM）,

设数列｛（｝的前几项和为5"，则以卜结论止确的是（）

A.xn+1>B.<一2/川

C.2>Mi+1D.Sn,s>2

例2.（2024.全国•高三专题练习）已知函数数列伍”｝的前〃项和为

S.,且满足4=/（%）,则下列有关数列｛"”｝的叙述正确的是（）

A.%<|4%一3《|B.叼,仆C.«10>1D.5100>26

例3.（2024•全国•高三专题练习）已知函数—1,数列例.｝的前〃项和为

S”，且满足。向=/（为），则下列有关数列｛6｝的叙述正确的是（）

A.%B.%<%C.5100<26D.%>|4。2-34|

变式L（2024.全国•高三专题练习）已知数列｛%｝满足:%>。，且

片=3心「26x5eN.）,下列说法正确的是（）

A.若4=；，则。

C.q+%42%

变式2.（2024.陕西渭南.统考二模）已知函数/"）=sinx+lnx,将“丫）的所有极值

点按照由小到大的顺序排列，得到数列｛玉｝,对于V〃wN.,则下列说法中正确的是（）

A.vx“B.x“+1-x（<n

C,数列｛卜-⑵?”力是递增数列口./⑸卜-"In二尸

变式3.（2024•上海杨浦•高三复旦附中校考开学考试）无穷数列｛q｝满足：

0<4<1,且对任意的正整数小均有e*=（3-M）e“"，则下列说法正确的是（）

A.数列｛4｝为严格减数列B.存在正整数小使得/<。

C.数列｛%｝中存在其一项为最大项D.存在正整数〃，使得外

题型二：函数与不等式的综合

例4.（2024・全国•高三专题练习）关于x的不等式（x-y-2的•/解集为

例5.（2024.全国•高三专题练习）意大利数学家斐波那契（U75年~1250年）以兔子繁

殖数量为例，引人数列：,该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和,

即q.2=ae+4（〃£N*），故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为

1fl+x/SYfl-^Y

"飞〔丁1〔二J.设〃是不等式k）g2[（l+6）"-（>右）”]>〃+5的正整数

解，则〃的最小值为

例6.(2。24・辽宁•高三校考阶段练习)已知函数/⑶=++»2’若不等式

/(加4、+1)+/(m-2')2,对任意的x>0恒成立，则实数”的最小值为.

变式4.(2024.全国•模拟预测)已知函数/("是定义域为R的函数，

/(2+x)+/(-x)=0,对任意为,赴£口,”)(不</),均有/(七)一/(内)>0,已知a,b

(〃工“为关于1的方程W-2x+/-3=O的两个解，则关于，的不等式

”〃)+/。)+/(。>0的解集为()

A.(-2,2)B.(-2,0)C.(OJ)D.(1,2)

题型三：函数中的创新题

例7.(2024•重庆渝中•高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)帕德近似是法国数学家亨

利・帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数加，〃，函数/CD在

x=0处的[孙川阶帕德近似定义为：/?*)=?+丁+7",且满足：/(0)=/?(0),

./”(())=R(O),/〃(())=/?"⑼…，尸)(0)=胪如⑼已知/(©=皿工+1)在％=。处的

U』J阶帕德近似为/?*)=/4.注：

rM=[/v)]\r(A)=[r(x)]\/(4,(x)=(刈'j⑸。)=[/(4>u)]\..

(1)求实数〃，〃的值；

(2)求证：&+〃)/6)>1；

I

(3)求不等式(i+J•丫<e<L+，Y'的解集，其中e=2.71828.

例8.(2024・上海黄浦・上海市敬业中学校考三模)定义：如果函数)，=/("和

1y=g(x)的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数)，=/(力和y=g")具有c

关系.

⑴判断函数/(x)=lcg2(8Y)和g(x)=log「是否具有c关系；

⑵若函数=和g(x)=-x-l不具有C关系，求实数.的取值范围；

(3)若函数/(6=把、和g(x)=〃?sinM〃2<0)在区间I。兀)上具有C关系，求实数，〃的

取值范围.

例9.(2024.重庆.高三统考阶段练习)悬索桥(如图)的外观大漂亮，悬索的形状是

平面几何中的悬链线.1691年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为)，=]/+/)其

中c为参数.当c=l时，该方程就是双曲余弦函数cosh(x)==匚，类似的我们有双曲正

弦函数sinh(x)=e：e'

⑴从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数y=cosh(2力+sinh(x)的最小值;

①[cosh(x)[-[sinh(x)J2=1；

(2)sinh(2x)=2sinh(A)cosh(x)；

③cosh(2x)=[cosh⑴1+[sinh(x)]-.

(2)求证：Vxe-7T,—,cosh(cosx)>sinh(sinx).

变式5.(2024•广东深圳•高三深圳市南山区华侨城中学校考阶段练习)布劳威尔不动

点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹・布劳威尔，简

单地讲就是对于满足一定条件的连续实函数存在一个点与，使得/(无)=/，那么

我们称该函数为“小动点”函数，血称/为该函数的一个不动点.现新定义：若凡满足

/(A0)=-x0,则称七为/(力的次不动点.

⑴判断函数/(x)=f-2是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点；若不是，请说

明理由

(2)已知函数g(x)=；x+l,若。是g(x)的次不动点，求实数。的值：

(3)若函数Mx)=bgj4’一〃2)在[0』上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数。

的取值范围.

题型四：最大值的最小值问题(平口单峰函数、铅缝距离)

例10.(2024.浙江绍兴.高三浙江省柯桥中学校考开学考试)已知函数

/(x)=|.?-6x2+ar+Z>|,对于任意的实数a,〃，总存在/w[0,3],使得/(小)2"?成立,

则当，〃取最大值时，a+b=()

A.7B.4C.-4D.-7

4

例11.（2024・湖北•高三校联考阶段练习）设函数/（%）=x+二,若对任意的实数

a，。，总存在不«1,3]使得/伍）之〃7成立，则实数用的最大值为（）

A.-IB.0C.8-4^D.1

3

4

例12.（2024・全国•高三专题练习）设函数/"）=；-»,若对任意的正实数〃，总存在

e[1,4],使得则实数”的取值范围为（）

A.（YO,0]B.（-co,l]C.（f2]D.（YC,3]

变式6.（2。24・全国,高二专题练习）已知函数/⑺=累-以一比若对任意的实数小

6,总存在/以-1，2],使得/（%）..机成立，则实数〃?的取值范围是（）

A.-8,二B.-8,二C.-8,二D.(-coj]

变式7.（2024・高一课时练习）已知函数/（"=仆+'+力（〃,力cR）,当xw；,2时，设

工乙

/（八•）的最大值为则MQZ?）的最小值为（）

A.-B.-C.；D.1

842

变式8.（2024•江西宜春•校联考模拟预测）已知函数f（.r）=lnx+‘-且

X

■■

%£口，/],满足ln/+，=e-1,当xc-,x0时，设函数/（x）的最大值为“（。力），则

M（。⑼的最小值为（）

变式9.（2024♦上海虹口•高三上海市复兴高级中学校考期中）若a、且对干

O"W1时，不等式Ji2-ax-b二!■均成立,则实数对（"〃）=

题型五：倍值函数

例13.（2024.全国•高三专题练习）函数/（刈的定义域为。，若满足：①/（力在。内是单

调函数；②存在［«〃仁。使得/（X）在以上的值域为三，〈，则称函数/（x）为“成功函

数”.若函数"x）=log,"（*+2f）（其中〃?>0,且〃?工1）是“成功函数”，则实数/的取值

范围为（）

A.（0,-KC）

例14.（2024•上海金山•高三上海市金山中学校考期末）设函数/⑴的定义域为若存在

闭区I叫外0土。，使得/（%）函数满足：（1）/㈤在忸，耳上是单调函数;（2）/"）在

上的值域是［2。,2耳，则称区间［4q是函数/⑶的“和谐区间”，下列结论错误的是

A.函数/。）=f=之0）存在，，和谐区间，，

B.函数/（外=，*£2不存在“和谐区间”

4%

C.函数/（幻=一］（.120）存在“和谐区间'’

D.函数/@）=log“S=）（«>0,。工1）不存在••和谐区间”

O

例15.（2024・安徽•高三统考期末）函数/（刈的定义域为。，若存在闭区间S，加=。，使得

函数满足:①数x）在切内是单调函数;②数力在团向上的值域为3,砌,则称区

间向为,y=fM的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有

①/（x）=x：（X之0）：②fM=e\xeR）；

③/（X）=产.（X>0）；@/（x）=log式优-卜。>0,a=1）

x4+1

A.①②③④B.①<D®C.@®®D.①③

变式10.（2024•全国•高三专题练习）函数/（x）的定义域为。，对给定的正数3若存在

闭区间使得函数/⑺满足：①/（力在［〃,国内是单调函数；②/⑺在㈤上

的值域为眼,妙］,则称区间［。回为)，=/")的左级“理殂区间”.下列结论错误的是()

A.函数/(x)=f(xeR)存在1级，，理想区间，，

B.函数/(x)=e*(xeR)不存在2级“理想区间”

C.函数(x>0)存在3级“理想区间”

D.函数/(x)=tanx,工彳一1⑤不存在4级“理想区间

变式11.(2024.全国•高三专题练习)设函数的定义域为。，若满足条件：存在目q。,

ab

使〃力在［。，以上的值域为，则称/(%)为“倍缩函数”.若函数f(x)=ex+1为“倍缩函

2,2

数”，则实数/的取值范围是

l+ln2l+ln2

A.—00,-------B.-co,———

2

1+1112)l+ln2、

C.二,+8D.〒+8

题型六：函数不动点问题

例16.(2024.广西柳州・统考模拟预测)设函数/(x)=Je、+(e-l)x-a(acR,e为自然

对数的底数)，若曲线y=sinx上存在点(%,%)使/()，。)=)，0成立，则。的取值范围是

A.[l,2e-2]B.[e-'-ej]C.[l,e]D.[e^-e,2e-2]

例17.(2024.全国•高三专题练习)设函数/(x)=——+x-a(a£R),若曲线)，=9一(e是

”1e"t"1

自然对数的底数)上存在点(•%,%)使得/(/(%))=%,则〃的取值范围是

A.(-<o,0]B.(0,e]C.I-00，：D.[0,+co)

例18.(2024.江苏.高二专题练习)若存在一个实数/,使得产(。=/成立，则称/为函数

P(x)的一个不动点.设函数g(x)=e'+(l-五)x-a(awR,c为自然对数的底数)，定义在R

上的连续函数f(x)满足〃r)+/(x)=w,且当x«0时,/'(x)<x若存在

x0e^x|/(x)+^>/(l-A-)+A-且与为函数g(x)的一个不动点，则实数〃的取值范围为

()

变式12.(2024・全国•高三专题练习)设函数/(x)=Je“x—C7(aeR,。为自然对数的底

数)，若曲线丁=呼如.1+*85%上存在点(.%，%)使得/(%)=%,则〃的取值范围是

1—e1—e

A.[——J]B.[——，e+1]C.[he+ljD.H,eJ

ee

变式13.(2024.全国•高三专题练习)设函数/(x)=F+2x-a(aeR),。为自然对数的底

数，若曲线y=shu•上存在点使得/(/(%))=%,则。的取值范围是()

A.[-1+ell+e]B.[1,1+^]C.[e,e+l]D.[l，e]

题型七：函数的旋转问题

例19.(2024•江苏苏州・高三苏州中学校考阶段练习)将函数£3)=%*+1)任知)的图象绕

坐标原点逆时针方向旋转角0(0£(0,a]),得到曲线C,若对于每一个旋转角仇曲线C都

仍然是一个函数的图象，则a的最大值为()

A.71B.—C.—D.—

234

例20.(2024・上海长宁•高三上海市延安中学校考期中)设。是含数1的有限实数集，”X)

是定义在。上的函数，若/(X)的图象绕原点逆时针旋转J后与原图象重合，则在以下各项

0

中，/(I)的可能取值只能是()

A.75B.立C.立D.0

23

例2L（2024・全国•高三专题练习）双曲线q-V=1绕坐标原点。旋转适当角度可以成为

函数/（X）的图象，关于此函数/（X）有如下四个命题，其中真命题的个数为（）

&fCx)是奇函数;

,&3、

@/'(公

的图象过点2'5或；

@fCx)的值域是口去+8,

④函数），=/（x）—X有两个零点.

A.4个B.3个C.2个D.1个

Z

变式14.（2024・全国•高三专题练习）将函数y=2sin；,xe0g]）的图像绕着原点逆时针

旋转角。得到曲线丁，当到时都能使丁成为某个函数的图像，则〃的最大值是

()

>2

A，?BC.-nD.-n

-743

题型八：函数的伸缩变换问题

例22.（2024・河北唐山・高三开滦第二中学校考期末）定义域为R的函数/（X）满足

X2-X,XG(0J)

）7,当旧。,2附小）中心.若xe(0,4]时,

[1,2]

X

恒成立，则实数/的取值范围是（）

2，1

A.[U]B.C.D.

例23.（2024・全国•高三专题练习）定义域为R的函数/I㈤满足〃x+2）=2/（M，当

x2-A;xe[0,1)

,若当xe[T,—2）时，不等式“同之?-机+3恒成

x[0,2]时,〃力=«X-

,%£[1,2）

立，则实数川的取值范围是（）

A.[2,3]B.[1,3]

C.[1,4]D.[2,4]

例24.（2024•全国•高三专题练习）已知定义域为R的函数/（x）满足/（x）=2〃x+2）,当

-X2+X+1,XG[0,1）

工«0,2）时，.〃工）=小«寸，设/（x）在防-2,2〃）上的最大值为则

-\xe[l,2）

数列｛4｝的前〃项和S.的值为（）

riY5f1Y（\Y+,5（\

A.5-5-B.——5-C.5-5-D.——5-

⑶2｛2）⑶2（2

变式15.（2024.甘肃.高三西北师大附中阶段练习）定义域为R的函数/"）满足

x2-x,xe(0.1)

/(x+2)=2/(x)-2,当xe(0,2]时,/W=]1,若xe(0,4]时,

-,X€[1,2]

『-£«