山东省潍坊市2025-2026学年高二年级下册期中质量监测数学试卷（含详解）

山东潍坊市2025-2026学年高二下学期期中质量监测数学试题

一、单选题

1.已知数列｛q｝中，&=则%）

A.16B.12C.8D.4

（1

2.已知X4,-，则小）=（）

\3

A.I816

C.D.

9~9

3.已知实数。是3与9的等比中项,贝|J"=（）

A.±3y/3B.±6C.3GD.6

4.学校要从4名男教师和2名女教师中随机选出2人去支教,贝！抽中的人中有女教师的概率为（）

A1B-t2

D.

*30I3

5.已知等比数歹IJ的前〃项和为名，若$5=10,Slo=50,贝（）

A.90B.210C.250D.310

6.已知y~N.同,且X和V的分布密度曲线如图所示，则（）

团的密度曲线丫的密度曲线

O26303438//min

A.E（X）>E（r）B.D（X）<D（r）

C.P（X<38）<P（y<38）D.P（X<34）<P（y<34）

7.已知等差数列｛q｝满足4=1，/<8,S8>22,则｛q｝的公差4的取值范围为（）

（\_3

D.（0,1）

A.叫B.C.J'2

8.甲乙丙三家A/公司同时对目标网络系统发起攻防测试，三家公司成功突破系统的概率分别为04050.7,

若系统仅被1家公司突破，其瘫痪的概率为0.2,若系统被2家公司突破，其瘫痪的概率为0.6,若3家公

司同时突破，系统必定瘫痪，则该网络系统被瘫痪的概率为（）

1

A.0.072B.0.246C.0.418D.0.458

二、多选题

9.学校在一次调查“体育迷”的活动中，随机调查了100名同学，获得了如下数据:

性别

男女合计

是否体育迷

体育迷ah45

非体育迷C10m

合计75n100

计算得/丈3.03,则下列结论正确的是（）

P（/〃）0.050().0100.001

k3.8416.63510.828

A.«=30

B.。是〃与。的等差中项

C.任取1人为体育迷的概率为95%

D.没有95%的把握认为是否为体育迷与性别有关

I2

10.设A,B是一个随机试验中的两个事件，且P（A）=5，P（8）=；,P（AB）=~,则（）

.JJ

A.事件A与小相互独立B.事件A与8互斥

C.咿|A)qD.P(A+国=P(5)

J

11.已知数列｛qj的前〃项和为S,,且％=；,5“二〃2勺，则（）

A.%；B.｛《,｝为递减数列

S,5

C.sinar,<sin\

三、填空题

12.已知等比数列｛«,｝中,%=2,4=6,则a=一

2

13.已知数列｛4｝满足4=-1,则4=.

n

14.已知4盒中装有大小相同的3个红球和3个黑球，8盒中装有大小相同的3个红球，从A盒中随机抽

取一个球，若是红球，则放回4盒；若是黑球，则从4盒中取一红球与其替换，这样称为1次操作，重复

以上操作，直到A盒中6个球全是红球为止.记〃（〃23）次重更操作后，A盒中6个球恰好全是红球的概率为

P.，则立「3匕=，

四、解答题

15.某人工智能公司从某年起5年的利润情况如下表所示.

第1年12345

利润），/亿元3.33.64.44.85.2

（1）求出y关丁”的回归直线方程；

（2）根据回归直线方程，预测该人工智能公司第6年的利润.

A丑（须-可（工-方人

参考公式：b=「-----------,a=y-bx.

£（须-引

|=!

参考数据：之&-可（力-方=5.

f-l

16.己知数列应｝满足q=1必+尸/〃为奇数，

2%,〃为偶数.

⑴记2=%”，证明：数列也｝为等比数列，并求打：

⑵求｛《｝的前2〃项和.

17.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点。出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共

移动6次.

-6-5-4-3-2A6123456

⑴求质点在第3次移动后位于1的概率；

（2）汜质点最终位置到原点的距离为随机变量X,求X的分布列和期望.

18.已知数列｛4｝的前〃项和为S.二〃2—；

⑴求｛%｝的通项公式；

3

(2)记数列也}的前〃项和为1,若-—2叫

(i)求。；

(ii)设为数列《三的前"项和，证明：

19.设点集北={(知七,后,…，玉)|x"R,lqy，7,icN+},从集合7；中任取两个不同的点

4(知％,4,…,q),8伯也也，…也)，定义AB两点间的距离d(A*)=£|q-用.

f=l

⑴当〃=3时，若A(0,0,0),8(-2,3,l),C(T,l,2),求“(A8)+&AC)的值；

(2)若％e{0,1},记X=d(A8).

(i)求X的分布列与期望E(X)；

(ii)证明：D(X)<[E(X)]2.

4

参考答案

1.A

【详解】依题意,%=4?=16.

2.C

【详解】因为X〜《4,；）

1/1\Q

所以Q（X）=4xy1--=-.

3.A

【详解】〃是3与9的等比中项，

所以々2=3x9=27，解得。=±36.

4.C

【详解】因为总共有4+2=6名教师，任选2人的总选法为组合数：或二三一二15种，

2x1

4x3

“抽中的人中有女教师”的对立事件是“抽中2人均为男教师”，即全男的选法为：C：=M=6种

2x1

所以全男的概率为《=9=|,因此抽中的人中有女教师的概率：P=l-|=|.

5.B

【详解】由题意可知邑解0-S5,S.一几成等比数列，

所以（50-IO）?=10（品-50）,解得儿=210.

6.C

【详解】由题图可知M=30,必=34,则从<%，即E（X）<£"），所以A错误；

根据正态曲线的性质，。越大图象越矮胖，则即Q（x）>o（y）,所以B错误：

由图可知,P（X<38）<P（r<38|,所以C正确；

由图可知，P（X<34）>l=P（r<34）,所以D错误.

7.B

1A

解：4:=l+7d<8解得八5」.

\=o+2.od>11）

5

8.D

【详解】设A8,C分别表示甲、乙、丙突破系统，P(A)=04产馅)=0.5,P(C)=0.7,相互独立.

系统瘫痪分三种情况：

仅I家突破：=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=0.4x0.5x0.3+0.6x0.5x0.3+0.6x0.5x0,7=0.36,

瘫痪概率＜'=0.36x0.2=0.072.

仅2家突破：P2=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=0.4x0.5x0.3+0.4x0.5x0.7+0.6x0.5x0.7=0.41,

瘫痪概率P；=0.41x0.6=0.246.

3家均突破：A=P（ABC）=0.4x0.5x0.7=0.14,瘫痪概率=0.14x1=0.14.

网络系统被瘫痪的概率为：P=彳+g+耳=0.072+0.246+0.14=0.458.

9.ABD

【详解】由题知，〃=1（X）-75=25,Z?=/?-10=25-10=15,々=45—〃=45—15=30,c=75-«=75-30=45,

对于A,由上述计算知，4=30,故A正确；

对于B,a=30,Z?=15,c=45,因为/;+c=15+45=60=2a,

所以〃是人与。的等差中项，故B正确；

对于C,由表可知，随机调查的100名同学中，45名同学为体育迷，

所以任取1人为体育迷的概率为界45;=045,故C错误；

10（）

对FD,z2«3.03<3.841,则没芍95%的把握认为是否为体育迷与性别有关，故D正确.

10.ACD

10I/、/

【详解】对于A：尸（A）尸（8）=；x：=；,则P（A）P（8）=P（AB）,

4JJ

所以事件A与B相互独立，故A正确.

对于B：若事件A与8互斥，则P（A8）=0,而0（45）=g,故B错误.

对于C：尸喇=黯="失:，叽卒,故c正确•

2

对于D：P（5）=1-P（B）=1-1=1P（AB）=P（A）—P（A8）=；—；=:，

JJ-Ju

_____1119

所以P（A+A）=P（A）+尸（月）一P（A月）=5+£-1二彳，

4。◊

6

而P（8）=g,所以夕（A+町=P（B）,故D正确.

11.BCD

【详解】因为5“=〃2%,当〃22时，£“=（〃一1『明,

所以两式相减得:4=Sn-S”-〃-1）?%,即（〃2_1"”=（〃一疗%,

因为〃之2,所以2=三1,

由累乘法求通项得：

=(H-1)(H-2)(H-3)]2x]1_]

1(〃+1)n(«-1)

验证当〃=1,4=—,符合公式，因此an-/

1x22n[n+i)

111

A：-2x(2+l)-6*3*A错误；

.111(1\}_2

B：因+1)(/?+2)〃(〃+1)〃+1[〃+2n)M〃+l)(〃+2)

所以。向〈%,所以｛q｝为递减数列,B正确;

)〃

C・因为a”=-7--I---Tc=ira2=/rx---1-----=------<1.

J四刀“〃(〃+1)'〃n"〃(〃+1)〃+1'

又因为S.=，％2,所以。<4“《3<1<多而函数y=sinx在卜身单调递增，

所以sina”WsinS“，故C正确;

D：当〃=1时，。：=(，

当〃之2,因为=〃(/+])，且“(〃+1)>(〃-1)(〃+2),所以+]+-1)(〃+2),

[11]____________]

所以a；=〃2(〃+|)2<

(小+1)1/?(/?-1)(/1+1)(/2+2)3(n-\)n(n+\)〃(〃+1)(〃+2)'

11111\1______1______________]

所以<—+-+•••+

431-2-32-3-432-3-43453(〃一1)•〃•(〃+】)〃♦(〃+])♦(〃+2)

7

111111115

--——~—■

436〃•(〃+1)(〃+2)4183616

故不等式成立，D正确.

12.18

【详解】设等比数列｛q｝的公比为好

,a,6x6,,,

因为%=2%=6,所以。6=4"=。叱一=：-=18.

故答案为：18.

13.-/0.5

2

【详解】由〃e二1一,，得《二丁:.

an】一q・1

I11a6=---=—I~\=211

所以〃户有"%，%=*=百

111

a=

4=----=,Zn~,L

l-a51-(-1)2

所以该数列的周期为3,

所以4=《=g•

S"T_『I

14.----------------(H>3)

6"'f

【详解】记％,",c;,分别为〃(〃之0)次操作后A盒中有1个、2个、3个黑球的概率,

则c”=；c~，又4=1，所以％=(£|“，

=2%+臼,n>l,

〃3"T2e3"T[2)

两边同时除以(|)

8

।啕前即图停）飞⑺,K

又4=0,所以2=3Xj-3X］；J,〃21,

a-l

/q\«4______""-1=gx43

两边同时除以5<5515

自嘀ir

累加得前亩

6⑶6f4?6⑶26⑶…

—X—+—X—----X—+…+—X---6--X—

5⑸5⑸5⑸5⑸5⑶

又4=°,所以。”=3x(3)一6"停)+3x(g)，〃？2,

又因为%=:4(〃22),

O

15

所以匕+L—X

2⑹

9

所以当〃之3时,

1⑸"

—X—©

6"

15.(l)y=0.5x+2.76

(2)5.76亿元

【详解】(1)依题意，x=-x(l+2+3+4+5)=3,y=-x(3.3+3.6+4.4+4.8+5.2)=4.26,

55

ZDGi)5

则、上0.5,<7=4.26-0.5x3=2.76,

H----------4+1+0+1+4

/=!

所以>关干x的回归方程为.V=0.5x+2.76.

(2)由(1)知，当x=6时，(=0.5x6+2.76=5.76

所以该人工智能公司第6年的利涧约为5.76亿元.

3

16.(1)证明见解析，^=|x3n-'

⑵fc!)

4

33c

―ci—x2a

【详解】(1)证明：“向_%”+2_22"”_2

丁丁七一工-

33

且4

所以｛〃｝是以|为首项，3为公比的等比数列，

a

于是勿=5、尸；

(2)解：S?“=4+%+&+•••+6“=3+%+出+一七2,一)+(〃2+4+4+,••+%〃)

=固+2久+2仇+…+2”

(3I3233”+瓦+优+4十•••十〃,

55(T)5(37).

-X--------=--------

31-34

17.(1)1

O

10

⑵

X0246

51531

P

76321632

E(X)=\

【详解】（1）设事件A为质点第3次移动后位于1,所以3次移动中有两次向右，一次向左,

则P（A）=C；（；213

X—=—

28

（2）随机变量X的所有可能取值为。，2,4,6.

5

p(x=0)=c：To

P(X=2)Y©x©+C：©4J15+1515

64=32

所以X的分布列为

X0246

5153I

P

-16321632

E(X)=0x—+2x—+4x—+6x—=—.

'1163216328

18.⑴4=4；

2n-\,n>2

(2)(i)<=(2〃—3)22+6；(ii)证明见解析.

【详解】(1)

当〃=1时，4=*=1,

11

当“22时，〃“=S“-S“T=/r-w

3

验证当〃=1时，4=2x1—1=10：,所以q二

2〃一1,〃>2

（i）由（-2，=6-2-2得，〃之2时，11一2〃1=6-2向，

相减得：（『2"）-（如—-）=（6-2/2）-（6-2〃）

化简得：2-2"+2%=-2川，所以勿=2%+2的，则紧恭=2,

又已知，当〃=1时，Ti-2b=-2,所以〃=2,即3=1,

所以与=l+（〃_］）x2=2〃—l,即〃=（2〃-1）2”,

法一：利用原撅中关系式求匚.

+2/t+2n+,

Tn=2bn+6-T=（2n-l）Z+6-2=（2w-3）2+6.

法二：利用乘公比错位相减求（.

因为〃=（2〃-1）2“，

所以7；=（2x1—1”+（2x2-1）22+（2x3-1”3十・••+（2x71-1）2”,

则7；=2+3x2’十5x2,十…十（2〃一1）2”,

所以2〈=22+3X23+5X24+…+（2〃—1）2向，

两式相减得：-7；=2+2x2?+2x2?+2x2"+…+2x2"-（2〃一1）2向

即：-7；=2+NED—（2，L1）2〃+L化简得：（=（2〃-3）2向+6

r二r=f=？，，:_____

（ii）由（1）和（i）知s”-“2l-4,r-l-12//-12〃+1

nn-'

4

所以此=2

135

=22'+22+23+---+2/,一一^―

I2〃+U

=22H+,-2----

I2n+\)

由(i)知<=(2〃-3)2川+6,

(2〃3)2叫62"+4-8〃-16

所以此=22"“-2-

2/z+l2n+\2n+l

又因为2-一12>0,所以此>-4.

19.(1)10

(2)(i)分布列:

X12Ln

C：C；C：

P・・.

20-12"-12n-l

"(X卜黄T(ii)证明见解析

【详解】(1)由题意得d(AB)=|0+2|+|0-)+|0T=6,d(AC)=|0+l|+|0T|+|0-2|=4,

所以d（A3）+d（AC）=6+4=10.

（2）（i）由题意可知，，中元素的个数为2”个，

对于X=攵的随机变量，在坐标（4，%，%…M”）与他也也,…也）中有k个坐标值不同,

即剩下，个坐标值满足4=4,