2026-2027学年浙教版八年级数学上册 等腰三角形的性质定理1及等边三角形的性质（练习题）

第2章特殊三角形

2.3等腰三角形的性质定理1及等边三角形的性质

选择题每小题3分

1.如图，在△/18c中，AB=AC,乙4=40。，则NAC。的度数为（）

A.3O°B.40°C,5O°D.60°

3.如图，NABC=NDCB,给出下列条件：®AB=DCf②08=0C,③®ZACB=

A.©@

B.③④

C.®@③

D.0@③④

4.（3分）若等腰三角形的一个底角的度数为40。，则它的顶角的度数为°o

5.（3分）如图，在△/18c中，以点A为圆心，线段AA的长为半径画弧，交BC于点D,

连结A。。若/A8ZX55。，则NAQC=%

6.（3分）如图，在"8。中，AB=AC,NA=36。，8。平分NA8C,交AC于点。。写出图

中相等的角。

7.（8分）如图，已知线段〃和N1,用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=mZ

8=/1（保留作图痕迹，不写作法）。

8.（8分）如图，ZkA8c是等边三角形，点。，E在直线BC上，DB=EC.求证：N。=/E。

E

DBC

9.（8分）如图，在A48C中，AB=AC,点、E,尸在边BC上，BE=CF,点。在4尸的延长

线上，AD=ACO若N8AE=30。，求N4OC的度数。

目

10.（3分）定义：等腰三角形的顶角与其中一个底角的度数的比值%称为这个等腰三角形

的“特征值”。若在等腰三角形48。中，NA=80。，则它的特征值k为。

11.（3分）【数学文化】“三等分角”是古希腊三大几何问题之一，借助如图1的三等分

角仪叫以三等分角。图2是这个三等分角仪的示意图，有公共端点P的两条线段PA,

PB,可以绕点P转动，点。固定，点分别可以在P4PB的槽中滑动，且。£=力代CP。

若NDEB=87°,则乙4PE的度数为%

12.（8分）如图，A4BC中，AB=AC,A8的垂直平分线交AC于点P。

（1）（4分）若NA=35。，求N8PC的度数。

（2）（4分）若AB=5cin,BC=3cni,求△PBC的周长。

BC

13.（8分）如图，A48C是等边三角形，点O,E分别在AC,AC边上，其中8O=CE,连

结A。，BE,两者相交于点P。

（1）（4分）求证：AD=BEO

（2）（4分）求/APE的度数。

14.（10分）［应用意识］如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割

叫做等腰分割，并称这条线段为这个三角形的等腰分割线。如图1,当△ABD和△ACO

为等腰三角形时，A。为的等腰分割线。

（1）（5分）如图2,在△A8C中，N8=2NC,线段AC的垂直平分线交AC于点。，交BC

于点£求证：AE是AABC的一条等腰分割线。

（2）（5分汝n图3,在中，Z/l=120°,ZB=20°,ZC=40",请你用两种不同的方法

完成AABC的等腰分割，并在图中标注底角的度数。

图3

第2课时等腰三角形的性

质定理2分值：71分

选择题每小题3分

国

1.如图，在AABC中，AC=BC,CO_LAB于点O,给出下列结论：①CO平分N4C8；②

CD=AB；③NA=NB；®AD=BDO其中正确的是（）

A.②③B.①④

C.®®®D.②③④

2.如图，AD,CE均为MBC的角平分线。若A8=4C,ZC/1D=2O°,则/ACE的度数为

()

A.200D.70°

3.如图，在四边形48C。中，AB//DC,石为BC的中点，连结。E,AE,AE恰好垂直

于OE,延长。E,交A3的延长线于点凡若48:5,C7>2,则AD的长为（）

A.3B.4C.7D.9

4.（3分）如图，已知线段A8,使用直尺和圆规作得直线/,交于点。，点。在直线/

上，若NAC8=110。，则乙4CD的度数为

5.（3分）如图,在等边三角形ABC中,4O_LBC,垂足为。，点E在线段AO上。若NEBC=45。,

则NACE的度数为1

6.（8分）如图，在AABC中，A。为8c边上的中线，E为AC上一点，且AE=A4

若/孙。二50。，求NCQE的度数。

7.（8分）如图，在中，AB=AC,。是BC的中点，点E在BO上，连结A。，AE,

AE=BEo

（1）（4分）若/8=40。，求NDAE的度数。

（2）（4分）若C4=CE,求的度数。

8.（8分汝口图，在中，4。为△45C的角平分线。以点A圆心，4。长为半

径画弧，与AB,A。分别相交于点E,F,连结。E,DF。

（1）（4分）求证：空△ADF。

（2）（4分）若NBAC=80。，求N8DE的度数。

目

9.如图，已知△A8C为等边三角形，。为8C上一动点，E为A48c外一点，AD=AE,Z

D4E=60。，连结若A8=4,当四边形4DCE的周长取最小值时，3。的长为（）

A.lB.2C.3D.4

10.（3分）如图，在AA8C中，AB=AC,。是8C的中点，BF工AC于点、F,交AD于点E。

若AF二BF,80=2,贝IJAE=

11.（8分汝1图，己知Na却线段小用直尺和圆规作一个等腰三角形，使它的顶角等于/

a,底边上的高线等于以

a

12.（8分）如图，在等边三角形ABC中，。为AC边的中点,E为8C延长线上一点，CE=CD,

求N8OE的度数。

13.（8分）如图，在AABC中，AB=AC,D为BC的中点，E是84延长线上一点，AE=AF,

产是AC上一点，连结EF并延长，交8C于点G。

（1）（4分）若NABC=50。，求NAEf的度数。

(2)(4分)求证：AD//EG.

14.［模型观念］如图，在等边三角形ABC中，AD,CE是△A8C的两条中线，AO=5°若P

是AO上一动点，则P8+PE的最小值为（）

A.2.5B.5D.IO

答案解析

选择题每小题3分

固

1.如图，在AABC中，AB=AC,ZA=40°,则NACZ）的度数为（C）

A.700D.1400

2.如图，AB=AC=ADa若AD〃BC,ZC=80°,则NO的度数为(B)

A.30°B.40°C.50°D.60°

【解析】,：AB=AC=AD.

/.ZABC=ZC,ZD=ZABD0

•:AD〃BC,

：.ZD=ZCBD,

・•・ZABD=ZCBD^-ZABC^-ZC=40°o

4

3.如图，NA8C=NOC8,给出下列条件：®AB=DC,②③NA=N£>,@ZACB=

NDBC,从中添加一个条件后，能证明的是（D）

AD

()

BC

A.①②

B.③④

C.①

D.①®@®

【解析】由AB=DC,NABC=NDCB,BC=CB,得AABC9ADCB(SAS),①符合题意。

rij()B=()C,得NOBC=/OCB,又图为NABC=NDCB,所以/ABO=/DCO°

又因为NAO8=NDOC,OB=OC,所以△A3O94OCO(ASA),

所以人3=OC,同①得•△A5CgZ\OCB,②符合题意。

由/A=/0,NABC=NDCB,BC=CB,^ABC^ADCB(AAS),③符合题意。

由/ACB=NDRC,NABC=/DCB,BC=CH,得AABC0△OCV(ASA),④符合襄意。

综上所述，能证明aABC丝△OC3的是①®@④。

4.(3分)若等腰二角形的一个底角的度数为40。,则它的顶角的度数为100晨

5.(3分汝」图，在AABC中，以点A为圆心，线段A8的长为半径画弧，交BC于点D,

连结40。若NA8D=55。，则N4QC=125。。

6.(3分)如图,在"BC中,AB=ACfNA=36。,3D平分NA5C,交AC于点。。写出图

中相等的角NA=N4BD=ND8C,NABC=NC=NBDC。

【解析】9：AB=AC,

：.ZABC=ZCO

VZA+ZABC+ZC=180°,ZA=36°,

：.ZABC=ZC=12°o

*：BD牛分NABC,

：.ZDBC=ZABD=36°=ZA,

:.N50c=180°—ZC-ZCBD=180o-72°-36o=72°,

：.ZBDC=ZC=ZABCO

7.（8分汝口图，已知线段〃和Nl,用直尺和圆规作等腰三角形相C,使Z

8=/1（保留作图痕迹，不写作法）。

解：如答图，△ABC即为所作。

CM

第7题答图

8.（8分）如图，ZkABC是等边三角形，点O,E在直线6C上，DB=EC。求证：/D=NE。

证明：••・△ABC是等边三角形，

：.AB=AC,ZABC=ZACB=60°,

.,.ZA^D=ZACE=120°o

在AABD和AACE中，

AB=AC,

乙ABD=Z-ACE,

(BD=CE,

/.△A^D^AACE(SAS),

:・ND=/E°

9.（8分）如图，在中，AB=AC,点、E,尸在边8c上，BE=CF,点。在4尸的延长

线上，AD=AC.若N8AE=30。，求NAQC的度数。

解：9：AB=AC,

：.ZB=ZACFO

i^ABE和△AC尸中,

AB=AC,

乙B=44CF,

(BE=CF,

/.△ABE^AACF(SAS),

/•ZCAF=Z^AE=30°o

*：AD=AC,

：.ZADC=ZACD,

180°—乙CAP

：.ZADC==75%

2

国

10.（3分）定义：等腰三角形的顶角与其中一个底角的度数的比值攵称为这个等腰三角形

的“特征值”。若在等腰三角形A8C中，44=80。，则它的特征值々为—法:一。

【解析】分两种情况讨论：①当/A为顶角时，等腰三角形两底角的度数均为

1800-80°

=50°,

2

此时特征鱼k=^~=7

DUO

②当NA为底角时，顶角的度数为1800-80°-80°=200,

此时特征依k=^=\

臻上所述，这个等腰三角形的特征依A为兄。

11.（3分）【数学文化】“三等分角”是古希腊三大几何问题之一，借助如图1的三等分

角仪可以二等分角。图2是这个二等分角仪的示意图.有公共端点"的两条线段PA,

PB,可以绕点P转动，点C固定，点D,E分别可以在PA,PB的槽中滑动,且CE=DE=CP.

若NDEB=87。,则N4PB的度数为29。。

因为PC=CE=DE,

所以N1=NP,N2=N3,

所以N2=2/P,

所以N0£3=N3+NP=2NP+NP=3NP,

所以3NP=87°,所以NP=29。，

即NAP5=29。。

12.（8分）如图，aABC中，AB=AC,A8的垂直平分线交AC于点P。

（1）（4分）若NA=35。，求N8PC的度数。

（2）（4分）若AB=5cm,BC=3cm,求△P8C的周长。

解：（1）・・・A5的垂直平分戏支AC于点P,

:.AP=BP,

・・NA=NA3P=35U,

:.NBPC=NA+ZABP=35O4-35°=70°O

（2）^PBC的周长=BP+PC+BC

=AP+PC+BC

=AC+BC

=AB+BC

=54-3=8（cm）o

13.（8分）如图，A4BC是等边三角形，点O,E分别在8C,AC边上，其中BD=CE连

结ADBE,两者相交于点P。

(1)(4分)求证:AD=BE°

(2)(4分)求NAPE的度数。

解：(口•••△43。是等边三角形，

：.AB=BC=AC,ZABC=ZBAC=ZC=60°o

在和dBCE中，

AB=BC,

乙ABD=zC,

{BD=CE,

.,.△ABD^ABCE(SAS),

:.AD=BE。

(2)VLABD^/XBCE,

・•・NBAD=/CBE。

又;ZABPA-NCB£=N45O=60°,

.e.ZABP+ZBAD=60°,

:.NAPE=NABP+ZBAD=60°o

14.（10分）［应用意识妆口果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割

叫做等腰分割，并称这条线段为这个三角形的等腰分割线。如图1,当和△ACD

为等腰三角形时，A。为△A/?C的等腰分割线。

（1）（5分）如图2,在△A3C中，ZB=2ZC,线段AC的垂直平分线交AC于点Q,交BC

于点七。求证：AE是A/WC的一条等腰分割线。

（2）（5分）如图3,在aABC中，ZA=I2O°,ZB=20°,ZC=40°,请你用两种不同的方法

完成ZiABC的等腰分割，并在图中标注底角的度数。

图3

解：（DTE。垂直平分AC,

：.AE=CE,

：.ZC=ZCAEfz\ACE为备腰三角形，

/.ZAEB=ZC+ZCAE=2ZCo

；.NAEB=/B,

：.AE=AB,

/.AAEB为等腰三角形,

：.AE是〉ABC的一条等膑分对发。

（2）分情况讨论：

①当AC是△4CQ的底时，

此时/OAC=NC=40°,/R40=/B04=/04C+NC=800,如答图1；

第14匙冬图1

②当AC是△AC。的腰时,

此时NADC=NC=40°,/区4。=/5=20°,如卷图2。

第14题答图2

第2课时等腰三角形的性

质定理2分值：71分

选择题每小题3分

固

1.如图，在AABC中，AC=BC,CO_LAB于点O,给出下列结论：①CO平分N4C8；②

CD=AB；③NA二NB；®AD=BDO其中正确的是(C)

L

A.②③B.①④

C.①©®D.②®®

2如.图，AD,CE均为的角平分线o若AB=AC,ZCAD=20°,则NACE的度数为

(B)

A

2

1

B—DC

A.20°B.35。C.40°D.70°

3如.图，在四边形ABCO中，AB//DC,E为8。的中点，连结DE,AE,AE恰好垂直

于DE,延长。E,交的延长线于点/%若A8=5,CD=2,则AO的长为（C）

A.3B.4C.7D.9

I)

【解析】・；E为BC的中,与、,

：.BE=EC.

•:AB"CD,

：./F=/CDE°

我〉BEF与△CEO中，

ZF=Z.CDE,

乙BEF=MED,

(BE=EC,

.,.△BEF^CED(AAS),

:.EF=DE,BF=CD=2,

：.AF=AB+BF=7o

VAE1DE,EF=DE,

：.AF=AD=7O

4.（3分汝口图，已知线段AB,使用直尺和圆规作得直线/,交A8于点。，点C在直线/

上，若NAC8=110。，则/4CQ的度数为55。。

5.（3分）如图，在等边三角形ABC中,AO_L8C,垂足为。，点E在线段AO上。若NEBC=45。,

则NACE的度数为15。。

【解析】是等边,三角形，ADA.BC,

：.ZAC/J=60°,BD=CD,

・・・4。是BC的垂直平分线。

又丁点£在岗段AO上,

:.BE二CE,

JZECB=ZEBC=45°,

:.ZACE=ZACB-ZECB=15°O

6.（8分）如图，在aABC中，AB=AC,AO为BC边上的中线，E为AC上一点，且AE=A。。

若/84。=50°,求NCDE的度数。

解：9：AB=AC,AD为3c边上的中优,

・•・ZADC=90°,ZCAD=ZBAD=50°o

又・.・AD=AE,

18O0-ZC/1D

:.ZADE=ZAED==65°,

2

・・・ZCDE=ZADC-ZADE=25°O

7.（8分）如图，在AABC中，AB=AC,。是8C的中点，点E在8。上，连结AO,AE,

AE=BEO

（1）（4分）若/8=40。，求ND4E的度数。

（2）（4分）若C4=CE,求的度数。

BED

解：(1)VAB=AC,。是3C的中点，

/.ZC=ZB=40°,ZBAD=ZCAD,

:.Z^AC=180o-40°-40o=100°,

:、ZBAD=jZBAC=50°o

•:AE=BE,

/•Z«AE=Z^=40°,

・•・/DAE=/BAD-ZBAE=10%

(2)VCA=CE,：.ZCAE=ZCEA0

山(1)得，ZB=ZBAE,ZB=ZC,

：.ZCAE=ZCEA=ZB-\-ZBAE=2ZBo

VZBAC+ZB+ZC=180°,

・•・/BAE十NCAE+Zfi+ZC

=5/8=180。，

・•・ZB=36%

8.(8分)如图，在A48C中，48=AC,AO为AABC的角平分线。以点A圆心，AD长为半

径画弧，与A8,AC分别相交于点石，F,连结OE,DFo

(1)(4分)求证：△AOEg/XA。尸。

(2)(4分)若N8AO80。，求NBOE的度数。

解：（1）・・・A。是△ABC的角平分或,

:.NBAD=/CAD。

由作图如AE-AFO

在A4OE和△AOf'中，

AE=AF,

4BAD=乙CAD,

AD=AD,

.•.△ADE^AADF(SAS)C

(2)VZB4C=80°,AO为AABC的角平分线，

:.ZEAD=|ZBAC=400°

由作图知AE=AD,

：.ZAED=ZADE,

：.ZADE=jx(180°-40°)=70°o

•：AB=AC,A0为△ABC的角平分线，

：.ADlBCf

:.NBDE=900-N4O£=20°。

目

9.如图.已知△"(?为等边三角形,D为BC卜一动点,月为A4BC外一点,AD=AE,/

DAE=60°,连结CE。若AB=4,当四边形AOC石的周长取最小值时，8。的长为(B)

A.1B.2C.3D.4

［解析】・・•ZUBC是等由三角形，

:・AB=AC,NA4c=60。。

5LVZDAE=60°,

：.ZBAD=ZCAEO

在AABD和△ACE中,

AB=AC,

^BAD=Z.CAE,

(AD=AE,

.,.△ABD^AACE(SAS),

：.BD=CEO

・••△ABC是等边三角形，

：.BC=AC=AB=4,

・•・四边形ADCE的周K=CE+OC+AO+AE=BO+OC+2Ao=4+2/10。

当18c时，40的值最小，此时♦边形AOCE的周长取最小值。

KVAB=AC,；・BD=;BC=2°

10.（3分）如图，在AABC中，AB=AC,。是8C的中点，8/_LAC于点R交AD于点E。

若AF=BF,BD=2,则AE=4。

【解析】-：BFLAC,

/.Z/?FC=ZAFE=90°,

・•・NCBF+ZC=180°~Z£?FC=90°o

•：AB=AC,。是BC的中点，

：.BC=2BD=4,ADLBC,

：.ZADC=90°,

:.NEA尸+ZC=180°-ZADC=90°,

AZEAF=ZCBF.

在&AEF和ABCF中，

^EAF=乙CBF,

AF=BF,

LAFE=乙BFC=90°,

I△AEF^A