选择题压轴题综合-2027高考数学（含答案）

选择题压轴题综合-2027高考数学

送苦败爪枯败像合

考情分析

考点分类十年考情(2017—2026)命题规律

1.多为多选题形式,仅以正整数集合作为

出题载体。

2.先自定义全新集合运算规则，再设置多

考点01集合2020浙江

个命题辨析真假。

3.侧重逻辑推导，计算量偏小，重在读懂

定义、分类验证。

1.单选、多选均高频出现,常作为选择最

2025上海、2023北京/上后-一题。

海、2022浙江、2021浙江、2.以递推数列、周期序列、数列三边约束

考点02数列

2020全国II、2019浙江、为核心载体。

2018浙江3.设问包含单调性、项大小比较、周期性

质判断，综合推理要求高。

2026上海、2025全国一卷、1.全卷选择压轴核心题型,新高考以多选

2024新课标I/n/上海、题为主。

考点03函数与导2022全国乙/新高考I、2.覆盖指对比较、函数对称性、零点、极

数2021天津/全国甲/乙/上值、函数新定义多类综合场景。

海、2020全国I/IIL20193.一题设置多个结论,需逐一论证,数形

浙江结合是核心解题手段。

1.新高考多选热门出题板块，兼具空间想

2026上海、2022全国乙、象与计算。

2019浙江、2018全国III、2.载体为正方体、棱锥、外接球，围绕空间

考点04立体几何

2023新课标I、2021新高角、体积、动点命题。

考I3.常给出多个论断,判断成立与否，兼顾

几何直观与定量计算。

1.区分度较高的压轴选择，椭圆、双曲线、

2025天津/全国一卷、2024圆混合命题。

考点05平面解析北京、2023上海、2022上2.主要考查离心率、弦长、动点轨迹、图形

几何海、2021浙江、2019北京、交点等量关系。

2018全国I、2017上海3.多结论判断题型居多，联立、韦达定理

是核心计算工具。

考点06三角函数2026北京、2025全国一卷、1.单选、多选均有出现，常结合生活机械

与解三角形2021浙江模型出题。

•1•

2.依托正余弦定理、三角恒等变换求解范

围、计数判断。

3.题干文字情境较多，需先转化为纯三角

数学模型再分析。

1.小众压轴单选题，整体题量偏少。

2.以圆、动点为几何背景,考查向量线性

考点07平面向景2018浙江、2017全国HI运算与模长最值。

3.解题依靠数形结合，坐标法是通用求解

思路。

1.创新背景压轴，题干阅读量较大，新概

念居多。

2.引入信息炳、空间随机点等全新统计定

考点08概率统计2026全国一卷、2020山东

义，结合对数运算。

3.重在读懂新公式,代入简单运算即可判

断命题正误。

真题训练

考点01集合

1.（2020・浙江・高考真题）设集合S,T,SGN*,TGN*,S,T中至少有两个元素，且S,T满足:

①对于任意⑦，y€S,若夕，都有xyET

②对于任意c,期€7,若①Vy,则？6S：

x

下列命题正确的是（）

A.若S有4个元素，则SUT有7个元素B.若S有4个元素，则SUT有6个元素

C.若S有3个元素，则SUT有'5个元素D.若S有3个元素，则SUT有4个元素

考点02数列

n

1.（2025・上海・高考真题）已知数列｛Q”｝、｛bn｝>｛cn｝的通项公式分别为册=10九一9,bn=2^cn=Aan

+（1-A）bn.若对任意的4C[0,1],Q”、b“、品的值均能构成三角形,则满足条件的正整数71有（）

A.4个B.3个C.1个D.无数个

2.（2023•北京・高考真题）已知数列｛册｝满足0n+产!5-6）：'+6（"=123,…），则（）

A.当何=3时，｛%｝为递减数列，且存在常数0,使得a”>M恒成立

B.当火=5时，｛%｝为递增数列，且存在常数6,使得a”VM恒成立

C.当％=7时，｛%｝为递减数列，且存在常数河>6,使得0n>M恒成立

•2・

D.当%=9时，｛4｝为递增数列，且存在常数M>0,使得0n<M恒成立

3.（2023・上海・高考真题）已知数列｛册｝的各项均为实数，为其前。项和，若对任意k>2022,都有

S」>|S+J,则下列说法可能成立的是（）

A.01，03，。5,…，%-1为等差数列，。2，。4，而…2n为等比数列

B.而。3，。5,…，为等比数列，Q,2，Q|，M…，Q2n为等差数列

C.01，02,。3，…，Q,2022为#差数列，Q,2022,&023,^2024♦***，%为等比数列

D.的,g，Q：「…，出022为等比数列，。2022,。2。23,。2024，…，4为等差数列

4.（2022・浙江•高考真题）已知数列｛%｝满足a产l,an+1=0n—±度（nEN），则（）

（）（）

A.2<lOOaloo<-1-B.得V1QIOOV3C.3<lOOa.oo<^-D.<lOOa1（）o<4

NN//

5.（2021・浙江・高考真题）已知数列｛“｝满足如=1与向=—^5€%"）.记数列｛%｝的前九项和为

I+/Q”

SW（）

A.-|-<Sioo<3B.3Vsi00V4C.4<SIOO<-1-D.-1-<S1Oo<5

6.（2020.全国"卷・高考真题）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列…Q”…满足a”C

｛0,l｝（i=l,2,…）,且存在正整数馆,使得Qj+m=Qi（i=l,2,…）成立，则称其为0-1周期序列，并称

满足Q“+m=a?（i=1,2,…）的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0-1序列如©…a,,

…，。（七）=—2am十式Zc=1,2,…,m-l）是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0—1序列中,

171f=i

满足。（劝《《依=1,2,3,4）的序列是（）

O

A.11010B.11011…C.10001•••D.11001…

7.⑵）19•浙江・高考真题）设Q,bWR,数列｛册｝中，。产a,0n+i=嫌+b,n6N♦，则

A.当b=J,Qio>lOB.当b=：,Qio>l（）C.当b=-2,QK）>10D.当6=—4,。扭>10

4TC

8.（2018♦浙江•高考真题）己知。],电,。3,。1成等比数列，且3+出+电+=ln（Qi+&+a：>若a1>1,

则

A.B.C.VQ：：,@2Q]D.Q]>'a：>。？

考点03函数与导数

1.（2026・上海・高考真题）对于函数夕=/也），1£。,设岗=｛也,夕）|,>/3）出£。｝.对于点集初,若存

•3・

在(小伙))€使得任取@,y)EM，总有则称(g,以))为“最低点”.对于函数y=/①)和g

=gQ),以下说法中正确的是()

A.若y=f(x)和y=gQ)都有最小值,则a有最低点；

B.若％CI儿有最低点，则片/(x)和g=g(c)都有最小值；

C.若y=f(6)或g=g(0)有最小值，则4U4有最低点；

D.若羯U4有最低点，则y=f(x)或g=g(x)有最小值.

2.(2025•全国一卷•高考真题)已知2+log2x=3+log3?/=5+log/:，则工，y，z的大小关系不可能是

()

A.x>y>zB.x>z>yC.y>x>zD.y>z>x

3.(2024.新课标1卷•高考真题)已知函数/(①)的定义域为冗,/3)>/①-1)+/3—2),且当出〈3时

/3)=乃则下列结论中一定正确的是()

A.f(10)>10()B./：20)>1000C./(10)<1000D./(20)<10000

4.(2024.上海.高考真题)现定义如下：当(九,九+1)时(n€N),若fQ+l)=尸Q),则称/㈤为延展

函数.已知当cG(0,1)时，g(x)=e工且h(c)=N。，且gQ),h3)均为延展函数，则以下结论()

(1)存在y=k岔+b(k,bER,k,bW0)与y=g(x)有无穷个交点

(2)存在n=ka+b(k,bER,k,b于0)与n=/z(rr)有无穷个交点

A.(1)(2)都成立B.(1)(2)都不成立

C.(1)成立(2)不成立D.(1)不成立(2)成立.

5.(2024•新课标II卷•高考真题)设函数/3)=3+。)1!13+3，若/3)>0,则就+62的最小值为

()

A.B.；C.-yD.1

6.(2022.全国乙卷.高考真题)已知函数/3),gQ)的定义域均为R,且/(⑼+g(2—⑼=5,gQ)-/Q-

4)=7.若”=g(c)的图像关于直线4=2对称，q(2)=4,则之/依)=()

fe=l

A.-21B.-22C.-23D.-24

7.(2022.新高考全国I卷•高考真题)设。=0.卜。」力=9，。=一1皿.9,则()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

8.(2021.天津.高考真题)设aEH,函数。/(⑼=卜?干厂二个?/：;，若/⑴在区间(0,

(x--2(a+l)x4-a-+5,x>a

•4•

+8）内恰有6个零点，则a的取值范围是（）

B.（卜）U修号）

D-仔，2）仲3）

9.（2021・全国乙卷・高考真题）设。=21111.01,6=1111.02,0=4^1—1.则（）

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

10.（2021.全国甲卷.高考真题）设函数/3）的定义域为足/3+1）为奇函数，/（/+2）为偶函数，当二£

[1,2]时,/3）=。①2+'若/（o）+/⑶=6,则/得）=（）

11.（2021・上海・高考真题）已知函数g=/Q）的定义域为儿下列是/㈤无最大值的充分条件是（）

A./e）为偶函数且关于直线力=1对称B.八⑼为偶函数且关于点（1,1）对称

C.〃⑼为奇函数且关于直线①=1对称D./（乃为奇函数且关于点（1,1）对称

12.（2020•全国〃/卷•高考真题）已知心V8",13"V&5.设°=[0院3,b=log85,c=logi38,则（）

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

13.（2020・全国I卷・高考真题）若2。+log,a=,+210g力，则（）

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<b2

cx0

；3]/*、八，若函数。=/（乃一

{•5/

无一匕恰有三个零点，则

A.a<-l,6<0B.a<-l,b>0C.a>-1,6<0D.a>-l,5>0

15.（2024•新课标II卷•高考真题）设函数/Q）=2炉-3ax2+L则（）

A.当Q>1时，/Q）有三个零点

B.当QVO时，3=0是/3）的极大值点

C.存在Q,b,使得c=b为曲线g=/3）的对称轴

D.存在a,使得点（1J（1））为曲线夕=/①）的对称中心

16.（2022・新高考全国【卷•高考真题）已知函数,（2）及其导函数（（1）的定义域均为儿记坎⑼=/'（/）,

若/（9一22），g（2+/）均为偶函数，则（）

•5•

A./(())=0C./(-D=/(4)D.g(—l)=g(2)

考点04立体几何

1.（2026・上海・高考真题）已知空间直角坐标系中有一正方体，其三组棱分别与出轴、g轴、z轴重合，顶

点力与坐标原点重合，点。是正方体底面中与力相对的对角顶点，点G在点。的正上方.将正方体

绕直线4G旋转一周，试问点。的运动轨迹会经过几个空间卦限（）.

2.（2022.全国乙卷.高考真题）已知球O的半径为1,四棱锥的顶点为。，底面的四个顶点均在球O的球

面上，则当该四棱锥的体积最大时,其高为（）

A.1B.|C.乎D.李

3.（2019.浙江.高考真题）设三棱锥的底面是正三角形,侧棱长均相等，尸是棱期上的点（不

含端点），记直线P6与直线AC所成角为a,直线PR与平面43。所成角为0,二面角P—力。一6

的平面角为7,则

A.pB.C.<ayy<aD.aV£,yV/7

4.（2018・全国/〃卷•高考真题）设A。，。。3。，。。C。,。。。是同一个半径为4的球的球面上四

点，△力6。为等边三角形且其面积为9V3，则三棱锥D-46。体积的最大值为

A.12V3B.18V3C.24V3D.54V3

5.（2023•新课标I卷•高考真题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：馍）的正方体容器（容器壁

厚度忽略不计）内的有（）

A.直径为0.99?n的球体B.所有棱长均为1.4?几的四面体

C.底面直径为0.01m,高为1.8m的圆柱体D.底面直径为1.2m,高为O.Obn的圆柱体

6.（2021・新高考全国I卷•高考真题）在正三棱柱ABC-48G中，A6=力4=1,点P满足BP=

•6•

掂H+”巨瓦，其中人€[0,1],则()

A.当4=1时，AABP的周长为定值

B.当〃=1时,三棱锥P—4出。的体积为定值

C.当4时，有且仅有一个点P,使得4P_LBP

D.当〃=J时,有且仅有一个点P，使得A1B±平面ABF

A

考点05平面解析几何

1.⑵)25•天津,高考真题)双曲线三■—鸟=1(。>0,6>())的左、右焦点分别为片,£,以右焦点£为焦

a-b~

点的抛物线媛=2p/(p>0)与双曲线交于第一象限的点P,若|2片|+|2£|=3|用四，则双曲线的离

心率e=()

A.2B.5C.吗2D.空旦

2.(2024.北京.高考真题)已知M={(B妨切=。+£(22一乃,1&242,0&力41}是平面直角坐标系中的

点集.设d是M中两点间距离的最大值，S是河表示的图形的面积，则()

A.d=3,SVlB.d=3,S>lC.d=VI5,SVlD.d=VW,S>l

3.(2023・上海・高考真题)在平面上,若曲线「具有如下性质：存在点M,使得对于任意点都有Q

€「使得|。河|・心河|=1.则称这条曲线为“自相关曲线”.判断下列两个命题的真假()

①所有椭圆都是“自相关曲线”.②存在是“自相关曲线”的双曲线.

A.①假命题;②真命题B.①真命题;②假命题

C.①真命题;②真命题D.①假命题;②假命题

4.(2022・上海•高考真题)在平面直角坐标系中，已知关于点集Q二

{3皿)|3—e2+(5切2=4网水€2}的两个结论：

①存在直线I，使得集合。中不存在点在直线Z上,而存在点在I的两侧；

②存在直线/，使得集合。中存在无数个点在直线上.

则下列判断正确的是()

A.①成立，②成立B.①成立，②不成立C.①不成立,②成立D.①不成立，②不成立

5.(2021•浙江•高考真题)己知a,bE>0,函数/Q)=ax2+b(x€Ft).若f(s—£)J(s),/(s+t)成等

比数列，则平面上点(s㈤的轨迹是()

A.直线和圆B.直线和椭圆C.直线和双曲线D.直线和抛物线

•7•

6.（2019・北京・高考真题）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线。：炉+媛=1+|加就是其中

之一（如图）.给出下列三个结论：

①曲线。恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；

②曲线。上任意一点到原点的距离都不超过◎；

③曲线。所围成的“心形”区域的面积小于3.

其中，所有正确结论的序号是

A.①B.②C.①②D.①®®

7.（2018・全国/卷•高考真题）已知双曲线。：等一娟=1,O为坐标原点，尸为。的右焦点，过R的直线

与。的两条渐近线的交点分别为M、N.若△OA4N为直角三角形，则|A4N|=

A.-yB.3C.2V3D.4

8.（2017・上海・高考真题）在平面直角坐标系xOy中，己知椭圆G：条+邛=1和C?：/《=1.尸为

OO*4X

G上的动

点，Q为上的动点，加是丽•贝的最大值.记。=｛（P,Q）|P在G上，Q在G上，且丽•页=

加｝，则Q中元素个数为

A.2个B.4个C.8个D.无穷个

2222

9.（2026•全国一卷•高考真题）已知圆G：（o;+I）?+靖=1,圆C2:（x—1）+?/=I,圆Ci：x4-（t/—A/3）=

1,直线2：g=hr+b与G，G，C3均有两个交点.记/被G'a,C：,截得的弦长分别为&、S2、S3,则

（）

A.k可以取任意实数B.满足S]=S2=S3的直线/共有3条

C.满足SI+S2+S3=3的直线Z多于3条D.当b=0时，S1+S2+S3的最大值为第L

10.（2025•全国一卷•高考真题）（多选）已知抛物线C：y2=6x的焦点为「过尸的一条直线交。于A,B

两点,过力作直线人1=一。的垂线，垂足为。，过R且与直线垂直的直线交Z于点E,则（）

•8•

A.\AD\=\AF\B.\AE\=\AB\C.\AB\^6D.\AE\-\BE\>18

考点06三角函数与解三角形

1.（2026・北京・高考真题）摇杆机械装置，如图，A,B为定点，C,。是动点，40=1,CD=3,BC=

磊，AB=4,则cos/ABC的取值范围（）

2.（2021.浙江.高考真题）已知明。，7是互不相同的锐角，则在sinacos«,sin6cosy,sinycosa三个值中,

大于。的个数的最大值是（）

A.0B.1C.2D.3

3.（2025•全国一卷•高考真题）（多选）已知△力的面积为；，若cos2A+cos2B+2sinC=2,

4

cosXcos7?sinC=■,则（）

A.sinC*=sin2A4-sirrBB.AB—42

C.sin力+sinB=乎D.AC'2+BC2=3

考点07平面向量

1.（2018・浙江・高考真题）已知士次3是平面向量，3是单位向量.若非零向量日与3的夹角为弓，向量

b满足庐-43万+3=0,则年-b\的最小值是

A.V3-1B.V3+1C.2D.2-V3

2.（2017•全国〃，卷•高考真题）在矩形力石。。中，46=1,AD=2,动点尸在以点C为圆心旦与相

切的圆上.若#=1恁+〃也，则2+以的最大值为（）

A.3B.2V2C.V5D.2

考点08概率统计

•9•

1.(2026•全国一卷・高考真题)设。={(0,如/3)|劭€{-2,-l.l,2},i=l,2,3}为空间中64个点构成的集

合，点尸(1,1,1),记样本空间。=卜尸,从。中随机取一个点，定义随机变量X如下:对。中的每个点

力(如孙g)，令x(力)=21+①2+宓3,则X的数学期望值为()

A——B——C0D—

21637

2.(2020.山东.高考真题)(多选)信息熠是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为

1,2,…，打,且尸(X=i)=p1>0(i=1,2,…，n),其pi=1,定义X的信息炳H(X)=-^pllog2p£.则

t=l1=1

()

A.若n=L则H(X)=0

B.若n=2,则H(X)随着pi的增大而增大

C.若pi=L(i=1,2,•••,力,则H(X)随着九的增大而增大

TV

D.若n=2砧,随机变量V所有可能的取值为1,2,­••,m,R.P(Y=j)=Pj+P2in+i-j(j=1,2,­••,m),

则H(X)VH(y)

■10•

送重做人”效除合

考情分析

考点分类十年考情(2017-2026)命题规律

1.多为多选题形式,仅以正整数集合作为

出题载体。

2.先自定义全新集合运算规则，再设置多

考点01集合2020浙江

个命题辨析真假。

3.侧重逻辑推导，计算量偏小，重在读懂

定义、分类验证。

1.单选、多选均高频出现,常作为选择最

2025上海、2023北京/上后-一题。

海、2022浙江、2021浙江、2.以递推数列、周期序列、数列三边约束

考点02数列

2020全国II、2019浙江、为核心载体。

2018浙江3.设问包含单调性、项大小比较、周期性

质判断，综合推理要求高。

2026上海、2025全国一卷、1.全卷选择压轴核心题型,新高考以多选

2024新课标I/n/上海、题为主。

考点03函数与导2022全国乙/新高考I、2.覆盖指对比较、函数对称性、零点、极

ft2021天津/全国甲/乙/上值、函数新定义多类综合场景。

海、2020全国I/Ilk20193.一题设置多个结论,需逐一论证,数形

浙江结合是核心解题手段。

1.新高考多选热门出题板块，兼具空间想

2026上海、2022全国乙、象与计算。

2019浙江、2018全国III、2.载体为正方体、棱锥、外接球，围绕空间

考点04立体几何

2023新课标I、2021新高角、体积、动点命题。

考I3.常给出多个论断,判断成立与否，兼顾

几何直观与定量计算。

1.区分度较高的压轴选择，椭圆、双曲线、

2025天津/全国一卷、2024圆混合命题。

考点05平面解析北京、2023上海、2022上2.主要考查离心率、弦长、动点轨迹、图形

几何海、2021浙江、2019北京、交点等量关系。

2018全国I、2017上海3.多结论判断题型居多，联立、韦达定理

是核心计算工具。

考点06三角函数2026北京、2025全国一卷、1.单选、多选均有出现，常结合生活机械

与解三角形2021浙江模型出题。

.1­

2.依托正余弦定理、三角恒等变换求解范

围、计数判断。

3.题干文字情境较多，需先转化为纯三角

数学模型再分析。

1.小众压轴单选题，整体题量偏少。

2.以圆、动点为几何背景,考查向量线性

考点07平面向It2018浙江、2017全国HI运算与模长最值。

3.解题依靠数形结合，坐标法是通用求解

思路。

1.创新背景压轴，题干阅读量较大，新概

念居多。

2.引入信息炳、空间随机点等全新统计定

考点08概率统计2026全国一卷、2020山东

义，结合对数运算。

3.重在读懂新公式,代入简单运算即可判

断命题正误。

真题训练

考点01集合

1.（2020・浙江・高考真题）设集合S,T,SGN*,TGN*,S,T中至少有两个元素，且S,T满足：

①对于任意⑦，y€S,若夕，都有xyET

②对于任意c,期€7,若①Vy,则？6S：

x

下列命题正确的是（）

A.若S有4个元素，则SUT有7个元素B.若S有4个元素，则SUT有6个元素

C.若S有3个元素，则SUT有'5个元素D.若S有3个元素，则SUT有4个元素

【答案】力

【详解】首先利用排除法：

若取S={1,2,4},则T={2,4,8},此时SUT={1,2,4,8},包含4个元素，排除选项C;

若取S—{2,4,8},则T-{8,16,32},此时SUT-{2,4,8,16,32},包含5个元素，排除选项。;

若取S={2,4,8,16},则T={8,16,32,64,128},此时SUT={2,4,8,16,32,64,128},包含7个元素，排

除选项6;

下面来说明选项力的正确性：

设集合S={pi，P2，P3，Pl}，且PlVP2VP3<PA,P1，02，P3，P$£M,

则P\P><p2PA，且PIP^PIPAwT,则Rws,

Pl

同理包ES,2€S,&WS,&€S,返€S,

VlPiP2P\Pi

•2・

1

若P1=1,则02>2,则&Vp：,,故更=p2即p：i=plf

PlP2

又PI>包>—>1,故包=与=/2，所以P1=成，

P2PiP：3P2

故s={1@,次，谊}，此时piwr,p2eT,故找ws,矛盾，舍.

若Pl>2,则—<—VP3,故&=P2，&=P1即P3=P；，P2=p'

PlPlPlPl

又Pl>包>包>包>1，故包=4=Pl，所以P4=P；，

piPigpapf

故s={pi,p：,pf,pf},此时{PI,ptPI,PI,pl}qT.

若T,则Wes,故==p；,i=1,2,3,4,故9=*/=123,4,

PiPi

即qW{pj,ptPi,Pi},故{pl,Pi,Pi,Pi}=T,

此时SUT={pi，Pl,Pl,Pl,Pl,Pl,Pl,Pl}即SUT中有7个元素.

故力正确.

故选：4.

考点02数列

1.(2025・上海・高考真题)已知数列{Q〃}、{b“}、{cn}的通项公式分别为册=107，-9,鼠=2"、，以=2册

+(1—若对任意的义€册、b”、。的值均能构成三角形，则满足条件的正整数也有()

A.4个13.3个C.1个D.无数个

【答案】B

【详解】由题意On，bnCi>。，不妨设4几,Q”),3(九,公)，。(九,G),

三点均在第一象限内，由金二加八十(1-/1)6可知，后方=』互彳/£[0,1].

故点。恒在线段AB上，则有min{Q〃,b,J<cn<max{a,t,6u}<Q4+bn.

即对任意的AC[0,1],品V〃+b“恒成立，

令10x—9=2/，构造函数/(a)=2X-10x+9,x>0,

则f\x)=24n2—10,由f(x)单调递增,

又/'(3)<0/(4)>0,存在gG(3,4),使心隘)=0,

即当0VcVx0时，/'(c)<0,f(x)单调递减；

当c>的时，/3)>o,/(x)单调递增；

故f(x)M多2个零点，

又由/(I)>0,/(2)<0,/(5)<0J(6)>0,

可知f(x)存在2个零点，不妨设21,42(为〈/2),且啰16(1,2),花2£(5,6).

①若&4鼠,即10也一942n对，此时"=1或

则0n<Cn&bn，可知bn+Cn>Qn成立，

要使外、bn、品的值均能构成三角形，

所以0n+品>图恒成立，故>V20n,

所以有[2。<2(1加一9),解得九=6;

•3・

②若“)/，即lOn—9》2n时，此时7i=2,3,4,5.

则4*cn>bn,可知偏+品>bn成立,

要使“、bn、cn的值均能构成三角形，

所以bn+cn>an恒成立，故an<2bn,

所以有欲二怨1，解得54或5;

综上可知，正整数九的个数有3个.

故选：B.

2.(2023・北京・高考真题)已知数列｛Q“｝满足“+产1(Q“-6)3+6(九=1,2,3,…)，则()

4

A.当氏=3时，｛4｝为递减数列，且存在常数0,使得4>M恒成立

B.当山=5时，｛册｝为递增数列,且存在常数M&6,使得an<“恒成立

C.当%=7时，｛册｝为递减数列，且存在常数M>6,使得0n>M恒成立

D.当%=9时，｛册｝为递增数列,且存在常数M>0,使得期<M恒成立

【答案】8

【分析】法1:利用数列归纳法可判断？1CD正误，彳'J用递推可判断数列的性质，故可判断3的正误.

法2:构造/(£)=；3-6)16—为利用导数求得/(⑼的正负情况，再利用数学归纳法判断得各选

项0n所在区间，从而判断｛QN｝的单调性；对于力，构造帅户;"一得"+26①一47(243),判断得

4+1<%—1,进而取m=—[M]+4推得%>M不恒成立：对于证明％所在区间同时证得后续

结论；对于。，记研)=log3[21og±(M-6)+1],取m=[mg]+1推得%>Af不恒成立：对于。，构造

g(x)=+26c—49(①>9)，判断得0+i>%+1,进而取?71=[M]+1推得册VM不恒成

42n

立.

【详解】法1：因为a，n+i=~~(%—6)3+6,故册+1—6=；(,―6y,

44

对于人，若g=3,可用数学归纳法证明：%—6&—3即%&3,

证明：当n=1时，。1-6=-3&-3,此时不等关系%W3成立；

设当九=k时，。人.一6<—3成立，

则Q—i—6=(。上一6)'6(—00,)»故—+i-6&-3成立,

由数学归纳法可得0n43成立.

2

而%+]—%=[(0n—6)’一(%—6)=(a„-6)[-j-(an—6)—1],

4~(%—6)2—1>—1=号>0,%—6Vo，故%+i—4<0,故%+i<%,

444

故｛a,,｝为减数列，注意a,+1-6<-3<0

32

故4+1—6=:(a„—6)=(a:l—6)X:(an—6)C-y(an—6),结合0n+i—6V0,

444

所以6—QN+I>卜(6一册),故6—Qn+i*3借)，故0n+i46-3(1),

•4•

若存在常数MW0,使得On>M恒成立，则6—3借厂>M,

故生三”>故nVk>g9立三”+1,故4>“恒成立仅对部分ri成立，

故人不成立.

对于石，若心=5,可用数学后纳法证明：一14册-6<0即54%V6,

证明：当九=1时，-IWQI-6=-140,此时不等关系54斯〈6成立；

设当n=上时，5&。上<6成立，

则Q^+i—6=(。上一6).'七(一/,0),故一1<。人+1—6<0成立即

由数学')3纳法可得5<&+1V6成立.

2

而4+1-。”=?(册—6)3一(册-6)=(a,,—6)[-1-(an-6)-1],

(a,,—6)2—1V0,a”,一6V。，故QN+I—0n>0,故%+i>a”.,故｛%｝为增数列，

若河=6,则0nV6恒成立，故6正确.

对于。，当的=7时，可用数学归纳法证明：0VQ“一6&1即6V0n47,

证明：当九=1时，0VQI-641,此时不等关系成立；

设当zz=k时，6Va人W7成立，

则Q*+i-6=["(g—6)3€(0,[],故0VQg]-641成立即6VQ&+]&7

由数学归纳法可得6V篇&7成立.

而4+1—Qn=(4-6)[[■(Q“-6)2—1]V0,故0n+1V，故｛%｝为减数列，

又0n+i—6=(a„-6)x(Q“—6)24(an—6),结合a„+i-6>0可得：an+1—6C(^―6)(-j-)，所

以0n+i46+弓),

若0n+i<6+(1)”,若存在常数M>6,使得%>Al恒成立，

则M-6VJ'”恒成立，故?iVlog,(M-6)+1,n的个数有限，矛盾，故。错误.

对于。，当a1=9时，可用数学归纳法证明：4-6>3即Q“>9,

证明：当九=1时，①一6=3>3,此时不等关系成立；

设当九=k时，出>9成立，

则Q^+I—6=-(。上一6)’>>3,故djfe+i>9成工

由数学归纳法可得%29成立.

而4+1-Q“=a-6)[、■(Q”-6)2—1]>0,故0n+1>%,故｛a?l｝为增数列，

2

又0n+i-6=(Qn—6)x；(a„-6)>-y(an—6)，结合0n-6>0可得：册+i-6>(Q1-6)(言)=

44\4/

3小厂,,所以%>6+3借「：

若存在常数M>0,使得4VM恒成立，则M>6+3件Ji,

故6+3借)’1,故"Vlog[若@)+1,这与n的个数有限矛盾，故。错误.

•5•

故选：B.

法2:因为%+]—%=?(%—6)3+6—a〃=看成—1-«?4+26%—48,

令/(乃=；炉—•1■c2+26%-48,则f'(x)=-yx2—9x+26,

4Z4

令rQ)>0,得—或力>6+^^;

oJ

令rQ)VO,得6一宅VrrV6+罕；

oJ

所以/⑺在(-8,6—2畀)和(6+当工，+8)上单调递槽，在(6—2菖,6+等J上单调递减，

令/(。)=0,则、■"一■!■4+26%—48=0,即](N—4)(①一6)(2—8)