沪科版八年级数学上册-命题与证明（分层练习）

13.2命题与证明分层练习（学生版）

基础过关练

题型一判断是否命题

1.下列语句中，是命题的是（）

A.两点之间，线段最短B.庄子故里欢迎您！

C.作线段8C的垂线D.你吃饭了吗？

2.下列语句中，不是命题的是（）

A.两点之间线段最短B.不平行的两条直线只有一个交点

C.x与歹的差等于吗？D.相等的角是对顶角

3.下列语句中，属于命题的是（）

A.作//8C的平分线B.同旁内角互补

C.画线段力8=女】11D.你喜欢等腰三角形还是直角三角形呢

题型二命题的真假

4.下面给出4个命题：①等边三角形一定是锐角三角形；②三角形的外角都大于它的任何一个内

角；③若/=》，则是X的函数；④点2"3）不可能在第二象限.其中是真命题的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.下列命题是真命题的是（）

A.若a<b,b>c,则B.若a<b,则ac<be

C.若a=b,则4cH反D.若a>b,则q-c>6-c

6.下列命题：①如果W=IM,那么②如果两个角相等，那么这两个角为同位角；③如果用

那么小>〃2；④如果//与互补,那么4+/8=180"其中假命题有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.下列命题为假命题的是（）

A.若b>Of则〃+方>0B.对顶角相等

C.若1"1=1切，则D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

题型三写出命题的题设与结论

8.把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式：.

9.“相等的两个角不互补”它是命题（填“真”或“假”），改写成“如果……那么

的形式为.

10.三知命题：全等三角形的对应角平分线相等.

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13.2命题与证明分层练习（学生版）

（1）把该命题写成：“如果…，那么…”的形式；

（2）如图，证明该命题，需要写出已知，求证以及证明过程.

11.如图，己知：/口。是△48C的一个外角.

（1）请从①力8=力。，②/力平分/£力C,③力。〃6c中任选两个当条件，第三个当结论构成一个真命

题.

条件:

结论:

（2）证明你所构建的命题是真命题.

题型四举例说明命题的真假

12.要说明命题“若。＜1,则才是假命题,下列所列举的反例•错•误的是（）

A.a=-3B.a=-2C.a=-1D.。=

2

13.下列选项中，能够说明“若方是有理数，则圆=-1”是假命题的是（）

m

A.nt=1B.nt=0C.m=-1D.m=-2024

14.举反例说明命题“若x＜l,则工＜0”是假命题时，可举的反例是：工=（写出一个即可）

15.己知命题："三角形三条高线的交点一定不在三角形的外部.”小冉想举一反例说明它是假命题,

则下列选项中符合要求的反例是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形

16.能说明“锐角锐角夕的和是锐角”是假命题的例证图是（）.

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13.2命题与证明分层练习(学生版)

17.能说明命题：“若两个用。，4互补，则这两个角必为一个锐角一个钝角''是假命题的反例

是.

18.举反例说明下列命题是假命题，

(1)如果a+b>0,那么

(2)两直线被第三条直线所截，同位角相等.

19.判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，清举出一个反例.

(1)两条直线被第三条直线所截，同位角相等；

(2)有两边相等的三角形是等腰三角形；

(3)两个锐角的和是钝角.

题型五写出命题的逆命题

20.下列命题的逆命题不成立的是()

A.等边对等角B.两直线平行，同位角相等

C.对顶角相等D.三个角都是60。的三角形是等边三角形

21.已知下列命题：①对顶角相等：②直角三角形两锐角互余：③若”0,A>0,|a|>\b\,则a+〃<()：

④同旁内角互补，两直线平行，其中逆命踵属于真命题的有()

A.0个B.1个C.2个D.3个

22.下列命题的逆命题是假命题的是()

A.偶数一定能被2整除

B.两直线平行，内错角相等

C.三条边对应相等的两个三角形是全等三角形

D.若工=八则

23.在下列定理中，逆命题错误的是()

A.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

B.等腰三角形的底角相等

C.线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点距离相等

D.全等三角形的面积相等

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13.2命题与证明分层练习（学生版）

能力提升练

题型一利用反证法证明

1.用反证法证明"三角形的三个内角中至少有一个角不小于60度“，第一步应假设

2.用反证法证明命题”一个三角形中至少有一个内角是锐角”时，应先假设（）

A.三个内角都是锐角B.三个内角都是钝角

C.三个内角都不是锐角D.三个内角都不是钝角

3.利用反证法证明“在△秘。中，ZC>ZJ,求证：时，第一步应假设：.

4.用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.

拓展培优练

1.举反例说明命题“面积相等的两个三角形周长也相等''是假命题.

2.如图，在△/出C和SEE中，B、E、C、户在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选择3

个作为题设，余下的1个作为结论，写一个真命题，并加以证明.①AB=DE,②力。=。/，

③4BC=NDEF,®BE=CF.

3.如图，点A、B、C、D在同一条直线上，E和尸在直线4）两侧，若NE=NF,请从①/E=O尸,

②4B=CD,③£。〃4”中选两个当条件，第三个当结论构成一个真命题.

（1）条件：（填写序号）

结论：（填写序号）

（2）证明你所构建的命题是真命题.

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13.2命题与证明分层练习(学生版)

4.现给出如下命题：两边及其一边上的高对应相等的两个三角形全等.

(1)请问这个命题是真命题还是假命题？若是假命题，请举出反例说明；

(2)请修改这个命题，使其成为真命题，用语言写出这个命题，不必写出已知、求证及其证明过程.

5.如图△力。〃和•中，NA=NB,点。，及EC在同一直线上，有如下三个关系式:

旷

(1)请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有正确的命题(用序号写出命题书写

形式，即写成如果……，那么……形式.)；

(2)选取(1)中一个正确的命题进行证明.

6.(1)把命题“等腰三角形两腰上的中线的交点到底边两个端点的距离相等”写成"如果……，那

么……”的形式；

(2)判断该命题是否是真命题？若是，请写出证明过程；若不是，请举出一个反例(要求：画出

符合题意的图形，并写出己知、求证.)

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13.2命题与证明分层练习(学生版)

7.判断下列语句是否是命题，若是，写成“如果…那么…”的形式，并判断其是真命题还是假命题.

(D同位角相等，两直线平行；

(2)延长BA到点C；

(3)同角的补角相等；

(4)平方后等于1的数是1.

8.已知：4B,NC是“EC的内角.求证：ZJ,NB,/C中至多有一个角是钝角.

9.已知命题：等腰三角形底边上的中线和顶角的平分线重合.证明这个命题，并写出它的逆命题,

逆命题成立吗？

10.如图，有如下三个论断：(1)AD//EFf②/1+/2=180。，③。G〃AB.

(1)请从这三个论断中选择两个作为题设，余下的一个作为结论，构成一个真命题.试用“如果

那么……”的形式写出来；(写出所有的真命题，不要说明理由)

(2)请你在上述真命题中选择一个进行证明.

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13.2命题与证明分层练习（解析版）

基础过关练

题型一判断是否命题

1.下列语句中，是命题的是（）

A.两点之间，线段最短B.庄子故里欢迎您！

C.作线段8C的垂线D.你吃饭了吗？

【答案】A

【分析】本题考查命题的识别，对一件事情做出判定的语句是命题，根据其定义对各个选项进行分

析，从而得到答案.

【详解】解：A,有题设，有结论，是命题；

B,有结论，没有题设，不是命题；

C,有题设，没有结论，不是命题；

D,疑问句，没有结论，不是命题；

故选A.

2.下列语句中，不是命题的是（）

A.两点之间线段最短B.不平行的两条直线只有一个交点

c.X与歹的差等于x-y吗？D.相等的角是对顶角

【答案】C

【分析】本题考查了命题的定义，根据命题的定义对四个涪句进行判断.

【详解】解：A、两点之间线段最短是命题，不符合题意；

B、不平行的两条直线有一个交点是命题，不符合题意；

C、x与歹的差等于AN吗？不是命题，符合题意；

D、相等的角是对顶角，是命题，不符合题意；

故选：C.

3.下列语句中，属于命题的是（）

A.作的平分线B.同旁内角互补

C.画线段=D.你喜欢等腰三角形还是直角三角形呢

【答案】B

【分析】本题考查命题概念，命题由题设和结论组成，是能判断真假的陈述句，根据命题概念逐项

验证即可得到答案，熟记命题概念是解决问题的关键.

【详解】解：A作/"C的平分线，不是陈述句，不是命题，不符合题意；

B、同旁内角互补，是命题，符合题意：

C、画线段N8=3cm,不是陈述句，不是命题，不符合题意；

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13.2命题与证明分层练习（解析版）

D、你喜欢等腰三角形还是直角三角形呢，不是陈述句，天是命题，不符合题意；

故选：B.

题型二命题的真假

4.下面给出4个命题：①等边三角形一定是锐角三角形：②三角形的外角都大于它的任何一个内

角；③若则y是X的函数；④点力伍-1,2。-3）不可能在第二象限.其中是真命题的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】本题考查三角形的性质、函数的定义以及点的坐标相关知识，解题的关键是依据各知识点

的定义和性质，对每个命题逐一进行分析判断.

依据等边三角形内角的度数及锐角三角形的定义判断命题①.根据三角形外角与内角的关系判断命

题②.按照函数的定义判断命题③.通过假设点4在第二象限，列出不等式组并分析其解集情况

来判断命题④.

【详解】①等边三角形的三个内角都相等，且都为180。+3=60。.

因为锐角三角形是指三个角都小于-90。的三角形，60。<90。，所以等边三角形一定是锐角三角形，①

命题正确，是真命题；

②三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角，比如直的三角形中直角的外角是90。，并不大于

直角本身，所以“三角形的外角都大于它的任何一个内角“错误，②是假命题；

③对于V=x，当》取一个正数时，比如》=4,y=±2,不是有唯一确定的N值与x对应.

根据函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量X,少，如果给定一个工值，相应的就确定唯一的

一个y值，那么就称y是X的函数，所以y不是X的函数，③该命题错误，是假命题；

④假设点力（。-1，2〃-3）在第二象限，则横坐标叱1<0,即纵坐标2a-3>O,即〃4.不存在“

既小于1又大于白，所以不等式组无解，即点A不可能在第二象限，④命题正确，是真命题.

综上，真命题有（1）（4）,共2个，

故选:B.

5.下列命题是真命题的是（）

A.若a<b,b>c,则a<cB.若a<b,则

C.若a=b,则D.若a>b,则

【答案】D

【分析】本题考查判断命题的真假，根据不等式的性质，等式的性质，逐项判断即可.

【详解】解：若a<b,b>c,不能得出"%如2<3,3>1,但2>1,故A选项是假命题：

当。<0时，若则讹>加，故B选项是假命题；

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13.2命题与证明分层练习（解析版）

若a=b,则"=从，故C选项是假命题；

若。>力，则”c>6-c,故D选项是真命题；

故选D.

6.下列命题：①如果冈=|小那么、二入②如果两个角相等，那么这两个角为同位角；③如果加>〃，

那么小④如果N/1与互补，那么N/+N3=180,其中假命题有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】本题考查的是命题与定理，根据绝对值、同位角的概念、实数的大小比较、补角的概念判

断即可.正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性

质定理.

【详解】解：①如果Ehl"，那么x=±y,故本小题命题是假命题；

②两个角相等，这两个角不一定是同位角，故本小题命题是假命题：

③如果〃1>〃，那么果是假命题，例如：1>-2,而fv（-2）2；

④如果//与互补，那么4+/8=180。，是真命题；

故选：C.

7.下列命题为假命题的是（）

A.若b>0,则〃+方>0B.对顶角相等

C.若1〃1=161,则D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

【答案】C

【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是熟练掌握基本概念，根据有理数的加法法则，对顶角

的性质，绝对值的意义，平行公理逐项判断即可.

【详解】解：A.若"（），b>0,则a+力>0,是真命题，不符合题意；

B.对顶角相等，是真命题，不符合题意；

C.若1。1=闻,则”功,原命题是假命题，不符合题意；

D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是真命题，不符合题意；

故选：C.

题型三写出命题的题设与结论

8.把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式：.

【答案】如果同旁内角互补，那么两直线平行

【分析】本题考查了一个命题写成”如果...那么…”的形式，一个命题都能写成”如果...那么…”的形

式，如果后面是题设，那么后面是结论.

根据命题”同旁内角互补，两直线平行”的题设和结论进行分析解答即可.

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13.2命题与证明分层练习(解析版)

【详解】解：“同旁内角互补，两直线平行”的条件是：“同旁内角互补”，结论为：“两直线平行”，

・・・写成“如果…，那么…”的形式为：“如果同旁内角互补，那么两直线平行”，

故答案为：如果同旁内角互补，那么两直线平行.

9.“相等的两个角不互补”它是__________命题(填“真”或“假”)，改写成“如果……那么……”

的形式为.

【答案】假如果两个角相等，那么这两个角不互补

【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题

的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.根据补角的概念判断命题的真假，根据命题的概念把它改

写成“如果…，那么…”的形式.

【详解】解：・.•如果两个角的和等于180度，那么这两个角互补，

,丁相等的两个角不一定互补”，故原命题是假命题.

改写成“如果……那么……”的形式为：如果两个角相等，那么这两个角不互补.

故答案为：假；如果两个角相等，那么这两个角不互补.

10.三知命题：全等三角形的对应角平分线相等.

(1)把该命题写成：“如果...，那么...”的形式；

(2)如图，证明该命题，需要写出己知，求证以及证明过程.

【答案】(1)如果两个三角形全等，那么它们的对应角平分线相等；

(2)见解析.

【分析】本题考查了命题与定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，掌握相关知

识是解题的关键.

(1)如果部分是条件，那么部分是结果；

(2)由△ZBC△AVSG得到=AB=4B「NBAC=NB",再由解平分线性质得到

=进而证明,即可得出结论.

【详解】(1)解：如果两个三角形全等，那么它们的对应角平分线相等.

(2)解：己知：AABC9和4乌分别是N8/1C和/即£的角平分线，

求证：AD=AiDi.

证明：•.・△力"Cg

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13.2命题与证明分层练习(解析版)

NB=NB[,4B=AB[,NB4C=A1c],

又•・•AD和4A分别是N8ZC和44G的角平分线,

Z.BAD=ZB、4A,

在△48。和△44。中，

"8:44

/.BAD=NB、4Q

.♦.△业法△444(ASA),

AD=AiDl,

11.如图,已知：NE/C是△48C的一个外角.

⑴请从①48=4。，②力。平分NE4C,③力。〃8c中任选两个当条件，第三个当结论构成一个真命

题.

条件：__________________________________________________

结论：__________________________________________________

（2）证明你所构建的命题是真命题.

【答案】（1）①②，③

（2）见解析

【分析】（1）选择①②当条件，③为结论，即可（答案不唯一）；

（2）根据等边对等角可得/4=/C,根据三角形的外角性质可得/瓦4C=NA+NC,根据角平分线

的定义可得N〃C=2NE4。，推得=根据平行线的判定即可证明.

【详解】（1）解：选择①②当条件，③为结论；

故答案为：①②，③.

（2）解：已知：NE4C是△力8c的一个外角，AB=AC,4D平分NE力C,

求证：AD//BC.

证明：VAB=AC9

：.ZZ?=ZC,

•/Z£JC=ZB+ZC,

NEAC=2NB,

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13.2命题与证明分层练习（解析版）

力。平分N4C,

/./EAC=2/EAD,

N6=NEAD,

，AD//BC.

即选择①②当条件，③为结论，构成真命题.

【点睛】本题考查了真命题，平行线的判定，角平分线的定义，三角形的外角性质，等边对等角等,

熟练掌握以上判定和性质是解题的关键.

题型四举例说明命题的真假

12.要说明命题“若“<1,则/<广是假命题，下列所列举的反例错••误的是（）

A.。=-3B.a=-2C.a=-\D.

2

【答案】D

【分析】找出4满足。<1，但不满足/<1即可.

【详解】解：“若"1,贝IJ42<1”是假命题，

当a=-3.因为。=-3<1,a2>1,能说明命题是假命题，选项A列举反例正确.

同理可得选项B、C列举反例正确；

当"二.因为"-故不能说明“若"1,则/<1”是假命题，故选项D列举反

224

例错误.

综上所述：列举的反例错误的是D,

故选D.

【点睛】本题考查了命题与定义：判断一件事情的语句，叫做命题.许多命题都是由题设和结论两

部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”

形式.判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.

13.下列选项中，能够说明“若"，是有理数，则回=-「是假命题的是（）

m

A./»=1B.m=0C.w=-1D.in=-2024

【答案】A

【分析】本题考查举反例说明命题是假命题，熟练掌握要说明一个命题的正确性，一般要推理、谁,

而判断一个命题是假命题只要举出一个反例即可.

根据绝对值的性质、有理数的除法以法则，逐项代入计算判定即可.

【详解】解：A、当机=1时，回=出=1,

m1

・・・说明“若加是有理数，则㈣=-1”是假命题，故此选项符合题意；

m

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13.2命题与证明分层练习（解析版）

当阳=0时，四无意义，

・•・不能说明“若加是有理数，则园=T”是假命题，故此选项不符合题意；

m

c、当小=_］时，®=臼=_1,

m-1

・•・不能说明“若〃，是有理数，则圆=-1”是假命题，故此选项不符合题意；

m

D、当〃?=一2024时，HHM_H

m=-2024=

・••不能说明“若加是有理数，则包=-「是假命题，故此选项不符合题意；

m

故选：A.

14.举反例说明命题“若工<1,贝!x<0”是假命题时，可举的反例是：。"（写出一个即可）

【答案】I（答案不唯一）

【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是学会举例说明是假命题，答案不唯一，只要满足0<%<1

的数即可，如

【详解】解：x=g时，x>0,

・—,则入yo”是假命题.

故答案为：y（答案不唯一）.

15.已知命题：“三角形三条高线的交点一定不在三角形的外部.”小冉想举一反例说明它是假命题,

则下列选项中符合要求的反例是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形

【答案】D

【分析】根据钝角三角形的三条高线所在直线的交点在三角形的外部，进行判断即可.

【详解】A、等腰三角形三条高线的交点不一定不在三角形的外部，不符合题意；

B、直角三角形的三条高线的交点在直角顶点处，不在三角形的外部，不符合题意；

C、锐角三角形的三条高线的交点在三角形的内部，不符合题意；

D、钝角三角形的三条高线所在直线的交点在三角形的外部，符合题意；

故选D.

【点睛】本题考查反例法证明命题是假命题.熟练掌握钝角三角形的三条高线所在直线的交点在三

角形的外部，是解题的关键.

16.能说明“锐角锐角夕的和是锐角”是假命题的例证图是（）.

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13.2命题与证明分层练习(解析版)

【分析】先将每个图形补充成三角形，再利用三角形的外角性质逐项判断即得答案.

【详蟀】解：A、如图1,N1是锐角，且=a+所以此图说明“锐角明锐角尸的和是锐角”

是真命题，故本诜项不符合题煮：

B、如图2,N2是锐角，且/2=。十6所以此图说明“锐角明锐角厂的和是锐角''是真命题，故

木选项不符合题意：

C、如图3,N3是钝角，且N3=a+£,所以此图说明“锐角明锐角△的和是锐角”是假命题，故

本选项符合题意；

D、如图4,N4是锐角，且N4=a+夕，所以此图说明“锐角。，锐角尸的和是锐角”是真命题，故

本选项不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查了真假命题、举反例说明一个命题是假命题以及二角形的外角性质等知识，属于

基本题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键.

17.能说明命题：“若两个角a,£互补，则这两个角必为一个锐角一个钝角”是假命题的反例

【答案】a=90。，”90。

【分析】举出一个反例即可.

【详解】解：若两个角〃，P互补，则这两个角不一定一个是锐角一个是钝角，

如a=90。，夕=90。，

故答案为:a=90°,4=90。.

【点睛】本题考查了说明命题是假命题的方法，证明一个命题是假命题举出一个反例是解决此类题

的关海

18.举反例说明下列命题是假命题，

(1)如果力>(),/K么卜>°;

(2)两直线被第三条直线所截，同位角相等.

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13.2命题与证明分层练习（解析版）

【答案】（1）反例："31=-1

（2）若两条直线不平行，则被第三条直线所截得的同位角不相等

【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假

命题：经过推理，论证得到的真命题称为定理.

（1）根据命题举出使得命题不成立的命题即可.

（2）根据命题举出使得命题不成立的命题即可.

【详解】（1）解：当”=34=-1时，满足〃+6>0,但力>0不成立；

（2）解：如图，N1/2为同位角，但是NIH/2,

只有两条平行线被第三条直线所截，同位角才相等.

19.判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，清举出一个反例.

（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；

⑵有两边相等的三角形是等腰三角形；

（3）两个锐角的和是钝角.

【答案】（1）假命题.反例：两条直线不平行时，被第三条直线所截，同位角不相等

（2）真命题

⑶假命题.反例：当/。=20。,/”=50。时，Na+"=70。，不是钝角

【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的定义，判断命题正真假，以及写反例.

（1）根据平行线的性质，即可解答；

（2）根据等腰三角形的定义，即可解答；

（3）根据钝角的定义，即可解答.

【详解】（1）解：该命题为假命题，

反例：两条直线不平行时，被第三条直线所截，同位角不相等；

（2）解：该命题为真命题；

（3）解：该命题为假命题，

反例：当/口=20。，"=50。时，Za+Z/?=70°,不是钝角.

题型五写出命题的逆命题

20.下列命题的逆命题不成立的是（）

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13.2命题与证明分层练习（解析版）

A.等边对等角B.两直线平行，同位角相等

C.对顶角相等D.三个角都是60。的三角形是等边三角形

【答案】C

【分析】本题考查了命题与定理的知识，能够写出命题的逆命题是解答本题的关键.

分别写出逆命题，然后判断是否成立即可.

【详解】解：A.逆命题为：等角对等边，成立，不符合题意；

B.逆命题为：同位角相等，两直线平行，成立，不符合题意；

C.逆命题为：相等的角为对顶角，错误，符合题意；

D.逆命题为：等边三角形的三个角都是60。，成立，不符合题意.

故选：C.

21.已知下列命题:①对顶角相等;②直角三角形两锐角互余;③若。<0,b>0f\a\>\b\f则a+b<0；

④同旁内角互补，两直线平行，其中您命题属于真命题的有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】C

【分析】根据命题，逆命题的知识解答即可.

本题考查了逆命题，命题的判断，熟练掌握逆命题的描述是解题的关键.

【详解】解：①对顶角相等的逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，是假命题；

②直珀三角形两锐角互余的逆命题如果三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形，是

真命题；

③若"0,z）>o,M>H，贝的逆命题是：如果。+6<0,那么/>>o,H>H，是假命

题；

④同旁内角互补，两直线平行的逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，是真命题；

故选：c.

22.下列命题的逆命题是假命题的是（）

A.偶数一定能被2整除

B.两直线平行，内错角相等

C.三条边对应相等的两个三角形是全等三角形

D.若工二九则/

【答案】D

【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题.写出原命

题的逆命题后判断正误即可.

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13.2命题与证明分层练习（解析版）

【详解】解：A、逆命题为能被2整除的数一定是偶数，正确，是真命题，不符合题意；

B、逆命题为内错角相等，两直线平行，正确，是真命题，不符合题意；

C、逆命题为全等三角形的三条边对应相等，正确，是真命题，不符合题意；

D、逆命题为若一=），2,则、=儿错误，是假命题，符合题意.

故选：D.

23.在下列定理中，逆命题错误的是（）

A.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

B.等腰三角形的底角相等

C.线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点距离相等

D.全等三角形的面积相等

【答案】D

【分析】本题考查判断逆命题的真假.先写出逆命题，再判断真假即可.将一个命题的题设和结论

互换,得到的命题为原命题的逆命题.

【详解】解：A、逆命题为：三角形一边上的中线等于这条边长度的一半的三角形为直角三角形，

为真命题，不符合题意；

B、逆命题为：两角相等的三角形为等腰三角形，为真命题，不符合题意；

C、逆命题为：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，为真命题，不符合题意；

D、逆命题为：面积相等的两个三角形是全等三角形，为假命题，符合题意，

故选：D.

能力提升练

题型一利用反证法证明

1.用反证法证明"三角形的三个内角中至少有一个角不小于60度”,第一步应假设.

【答案】三角形的三个内角都小于60。

【分析】熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接填空即可；此题主要考查了反证

法的步骤，熟记反证法的步骤是解题的关键.

【详解】解：・・•用反证法证明三角形中至少有一个角不小于60。，

第一步应假设结论不成立，

即三角形的三个内角都小于60。.

故答案为：三角形的三个内角都小于6（）。.

2.用反证法证明命题“一个三角形中至少有一个内角是锐笥'时，应先假设（）

A.三个内角都是锐角B.三个内角都是钝角

C.三个内角都不是锐角D.三个内角都不是钝角

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13.2命题与证明分层练习（解析版）

【答案】C

【分析】解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，根据反证法的第一步是从结论的反面出发进而假

设得出即可.

【详解】解：用反证法证明“一个三角形中至少有一个内角是锐角”，应先假设三个内角都不是锐角.

故选：C.

3.利用反证法证明"在中，ZOZJ,求证：”>8C”时，第一步应假设：.

【答案】AB<BC/BC>AB

【分析】根据反证法定义：先假设命题结论不成立，然后经过推理，得出矛盾的结果，最后断言结

论一定成立，这样的证明方法叫做反证法；据此即可求解.

【详解】解：假设结论：AB>BC不成立,

••・假设"WAC；

故答案：AB<BC.

【点睛】本题考查了反证法的定义，理解定义是解题的关键.

4.用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.

【答案】见解析.

【分析】假设三角形的三个内角NB、NC中有两个（或三个）直角，不妨设4=N8=9（T,则

ZJ+Z5+ZC=90,+901+ZC>180°,这与三角形内角和为180。相矛盾,4=NB=90。不成立，由此即

可证明.

【详解】证明：假设三角形的三个内角N4N8、NC中有两个（或三个）直角，

不妨设N4=NB=90。,则Z4+ZB+ZC=90°+9O°+ZC>180°,

这与三角形内角和为180。相矛盾，4=4=90。不成立，

所以一个三角形中不能有两个直角.

【点睛】本题主要考查了反证法，解题的关键在于能够熟练掌握反证法的步骤.

拓展培优练

1.举反例说明命题“面积相等的两个三角形周长也相等''是假命题.

【答案】见解析

【分析】本题主要考查真假命题的判定，勾股定理的计算，掌握以上知识，合理作图是关键.

根据题意，作图分析，在R15c和等腰中，BC=EF=2,AB=DG=1,分别算出面积和周长

进行比较即可.

【详解】解：如图，在必“8。却等腰△。防中，BC=EF=2,AB=DG=T,

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13.2命题与证明分层练习（解析版）

，AABC与ADEF的面积相等,

22

「AC=Vl+2=下，DE=<EG、DG?=+F="=DF

：.△/AC的周长=力8+4。+力。=1+2+石=3+石，

△OEF的周长=+f尸+。q=&+五+2=2+2日，

・•・LABC与^EF的周长不相等，

综上所述，面积相等的两个三角形，周长不相等，故原命题是假命题.

2.如图，在△48C和力斯中，B、E、C、尸在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选择3

个作为题设，余下的1个作为结论，写一个真命题，并加以证明.①AB=DE,②力。=。9，

③ZABC=NDEF,®BE=CF.

【答案】见解析

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，本题是一道开放性试题，需要把所有可能出现

的情况都考虑到，证明全等三角形的方法有：SSS、SAS、ASA、AAS,本题共有四种情况，①、

②、③、④均可以作为命题的结论，当①或④作结论时，其余三个条件的位置关系是SST不能证

明三曲形全等，所以不能得到真命题，只有把②、③作为结论时，得到的是真命题.

【详解】情况一、当取①③④作为题设，②作为结论时，

即如果力〃=。月，ZABC=NDEF,BE=CF,那么力C二O/，

己知：AB=DE,ZABC=NDEF,BE=CF,求证：AC=DF,

证明：•••8E=C/，

/.BE+EC=CF+EC,

；.BC=EF,

AB=DE

在△力〃C/口AOEQ中，ZBC=/DEF,

BC=EF

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13.2命题与证明分层练习（解析版）

:."BCmDEF,

:.AC=DF-

情况二、当取①②④作为题设，③作为结论时，

即如果=AC=DF,BE=CF,那么尸，

已知：AB=DEiAC=DF,BE=CF,求证：/ABC=NDEF,

证明：•.•8E=C/，

?.BEtEC=CF+EC,

BC=EF,

AB=DE

在△力AC和AOEW中，-AC=DF,

BC=EF

:AABC%DEF,

/ABC=/DEF.

3.如图，点A、B、C、£）在同一条直线上，E和歹在直线4。两侧，若NE=NF.请从①4E=DF,

@AB=CDt③FC〃〃产中选两个当条件，第三个当结论构成一个真命题.

（1）条件：（填写序号）

结论：（填写序号）

（2）证明你所构建的命题是真命题.

【答案】（1）②③；①或①③；②

（2）见解析

【分析】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定与性质、命题与定理，熟练掌握平行线的性

质以及三角形全等的判定与性质是解此题的关键.

（1）选择②③当条件，①当结沦或①③当条件，②当结论即可；

（2）根据EC〃B"，得出N4CE=NO8/，证明△力CE❷△£>8F（AAS）即可.

【详解】（1）解：条件：②③，结论：①；或条件①③，结论②；

（2）当条件：②③，结论：①时，

证明：Y七。〃川L

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13.2命题与证明分层练习（解析版）

NACE=/DBF,

•/AB=CD,

AAB+BC=BC+CD,RRAC=BD,

4E=/F

在A4CE和GBF中ZACE=/DBF,

AC=BD

AACEgADBF(AAS),

・\AE=DF•

当条件①③，结论②时，

•/EC//BF,

NACE=/DBF,

NE=NF

在A/1CE和△DBF中ZCE=/DBF,

AE=DF

：."CE/DBF(AAS),

・・・AC=BD,

AC-BC=BD-BC,

AB=CD.

4.现给出如下命题：两边及其一边上的高对应相等的两个三角形全等.

（1）请问这个命题是真命题还是假命题？若是假命题，请举出反例说明；

（2）请修改这个命题，使其成为真命题，用语言写出这个命题，不必写出已知、求证及其证明过程.

【答案】（1）假命题，反例见解析

（2）两边及其一边上的高对应相等的两个锐角三角形（或钝角三角形）全等

【分析】本题考查了全等三角形判定的应用.

（1）根据题意画出反例图形，结合图形即可得出结论；

（2）命题修改为“两边及其一边上的高对应相等的两个锐角三角形（或钝角三角形）全等“，分别

构造图形证明全等即可.

【详解】（1）解：这个命题是假命题，反例如下：

如图：

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13.2命题与证明分层练习（解析版）

在△/8C和“CO中，边彳。=力。，BC=CD,^AE=AE,

但是MBC和MCD不全等；

（2）解：命题修改为“两边及其一边上的高对应相等的两个锐角三角形（或钝角三角形）全等

当两边及其一边上的高对应相等的两个锐角三角形全等时，

已知：如图，锐角三角形MBC和小PG中，AB=EF.BC=FG,8c和内G边上的高分别为力力，EH,

且AD=EH,

求证：“BC⑦EFG；

AB=EF

AD=EH

RtA/18。丝Rt.bG(HL),

Z£=ZF,

在aBC和△EFG中，

AB=EF

・ZB=4F,

BC=FG

：.^ABC^EFG（SAS）,

・・・命题”两边及其一边上的高对应相等的两个锐角三角形全等”是真命题，

同理可证明命题“两边及其一边上的高对应相等的两个钝角三角形全等”是真命题.

5.如图△/成和中，=点。，瓦在同一直线上，有如下三个关系式:

®BE\\AFi®DE=CE®AD=BC.

（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有正确的命题（用序号写出命题书写

形式，即写成如果……，那么……形式.）；

（2）选取（1）中一个正确的命题进行证明.

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13.2命题与证明分层练习（解析版）

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】本题主要考查了命题，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，正确掌握相关性质内容

是解题的关键.

（1）根据命题书写形式，分别写出所有的正确命题，即可作答.

（2）先由平行线的性质得乙〃吟=再证明△力QZFVCE（AAS）,然后根据全等三角形的性质，

即可证明.

【详解】（1）解：依题意，正确的命题：如果①，②，那么③；如果①，③，那么②，

（2）解：选择，如果①，③，那么②，（答案不唯一）

如图尸和△4CE中，/A=NB,点。，邑在同一直线上，BE\\AF,AD=BC.

求证：DE=CF.

证明如下：

4FD=4BEC,

*.*AD=BC,ZJ=NB,

ADF%BCEkAAS）,

.・・DF=CE,

：.DF-EF=CE-EF,

即Z）E=C/.

6.（1）把命题”等腰三角形两腰上的中线的交点到底边两个端点的距离相等”写成“如果……，那

么……”的形式；

（2）判断该命题是否是真命题？若是，请写出证明过程；若不是，请举出一个反例（要求：画出

符合题意的图形，并写出已知、求证.）

【答案】（1）如果一个点是等腰三角形两腰上的中线的交点，那么它到底边两个端点的距离相等;

（2）真命题，见解析

【分析】（1）命题中的条件是一个点是等腰三角形两腰上的中线的交点，放在“如果”的后面，结

论是它到底边两个端点的距离相等，应放在“那么”的后面..

（2）作出图形，然后写出己知、求证，再根据线段中点的定义求出AD=AE,然后利用“边角边”

证明"4。="底，根据全等三角形对应角相等可得//再根据等角对等为证明即可.

【详解】解：（1）题设为：一个点是等腰三角形两腰上的中线的交点，结论为：它到底边两个端

点的距离相等，

故写成“如果…那么…''的形式是：如果一个点是等腰三角形两腰上的中线的交点，那么它到底边两

个端点的距离相等；

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13.2命题与证明分层练习(解析版)

(2)该命题是真命题.

已知：如图，。中，AB=ACyBD、CE分别是边/C、上的中线，BD,CE相交于点0.

求证：OB=OC.

证明：:班)、分别是边4。、48上的中线，

AD=^ACfAE=；AB,

AB=AC,

AD=AE,

4="

.・."BD=△/CE(SAS),

，NABD=NACE,

\・AB=AC,

：.NABC=ZACB,

：.4BC-NABD=ZACB-4CE,

・•・ADBC=NECB,

:.OB=OC.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，文字叙述性命题的证明方法为

作出图形，然后写出已知、求证、证明，要熟练掌握，本题确定出全等三角形是解题的关键.

7.判断下列语句是否是命题，若是，写成“如果…那么…”的形式，并判断其是真命题还是假命题.

(1)同位角相等，两直线平行；

⑵延长"到点C；

(3)同％的补角相等；

(4)平方后等于1的数是1.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)见解析

(4)见解析

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13.2命题与证明分层练习（解析版）

【分析】（1）根据命题的定义和平行线的判定方法进行判断；

（2）根据命题的定义进行判断：

（3）根据命题的定义和补角的定义进行判断；

（4）根据命题的定义得到平方后等于1的数是1是命题，然后利用-1的平方等于1判断它为假命题.

【详解】（1）解：