2027年高考数学一轮复习：幂指对比较大小

第17讲塞指对比较大小

知识梳理

(1)利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定。

b,c的大小.

(2)指、对、哥大小比较的常用方法:

①底数相同,指数不同时，如小和。与，利用指数函数y的单调性;

②指数相同,底数不同，如<和4利用塞函数y=V单调性比较大小;

③底数相同,真数不同，如logax,和log,x2利用指数函数log“x单调性比较大小;

④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0,1或者其它能判断大小关系的中间量，借助

中间量进行大小关系的判定.

转化为两函数图象交点的横坐标

(4)特殊值法

(5)估算法

放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法

(7)常见函数的麦克劳林展开式:

*

(l)e*=l+x+—+H---+-------

2!nl(〃+l)!

丫3V5丫2”+1

(2)sin.r=x—+-------+(-l)w-------+o(x2n+2)

3!5!(2/7+1)!

r2/62n

③cosx=l----+--------+-+(-I)n-——+o(x2n)

2!4!6!(2〃)！

r2„3-+I

@ln(l+x)=x-—+—-+(-ir—+<?(x/,+,)

23〃+1

⑤----=l+x+x2++xn+o(xn)

1-x

(6)(14-x)H=14-7ir+"5J)/+)

2!

必考题型全归纳

题型一：直接利用单调性

【例1】（2024.湖南岳阳两三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）已知。=3°5,

Z>=log30.5,0=0.53,则。也。的大小关系是（）

A.a<b<cB.h<a<cC.a<c<bD.b<c<a

【答案】D

【解析】根据指数函数y=3”在R上递增可得，a=3°s>3°=l；

根据对数函数=log3x在（0,+8）上递增可得，b=log30.5<log3l=0,

根据指数函数y=05、在R上递减和值域可得,0<c=0.53<0.5"=1,

b<c<a.

故选：D

【对点训练1】（2024.天津滨海新•统考三模）已知函数/（x）是定义在R上的偶函数，且在

（0,+e）上单调递减，若"/（log?。？），b=/（2a2）,c=/（0.2°3）则。，b,c大小关系为

()

A.a<b<cB.c<a<b

C.a<c<bD.b<a<c

【答案】A

［解析］log,0.2=log,g=-log,5,

因为/W是定义在R上的偶函数，

所以。=/(log,0.2)=/(-log,5)=/(log25),

因为1唯5>噫4=2，I=20<2Q2<T=2,0<0.2°3<0.2°=1

且在（。，+8）上单调递减,

所以/（噫5）</（2。2）</（0.2。3）,

即"。<c.

故选：4.

【对点训练2】（2024•全国•校联考模拟预测）已知a=log。10.2,h=\^a,c=2"，则小

b,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<GD.b<a<c

【答案】D

【解析】因为y=bg。./在（0，+8）上单调递减，所以log。/<log。/0.2<log。」0.1,即

0<a<l.

因为y=lg%在（0,+«>）上单调递增,所以Igavlgl,BPb<0.

因为y=2”在R上单调递增,所以2“>2°，即c>L

综上，b<a<c.

故选：。

£

【对点训练3】（2024•天津.统考二模）设〃=]og34,〃=RT，c=3+，则的大小关系

为（）

A.a<b<cB.c<a<b

C.b<c<aD.c<b<a

【答案】C

【解析】由题意得a=lo&4>k）g33=l,

6=（罪=3£=3-，

I

由于y=3,为（-oo,+Co）上的单调增函数，故力=J=3一：<。=3T<I，

故8<c<a，

故选：C

题型二：引入媒介值

【例2】（2024.天津河北.统考一模）若〃=人=%（，c=log37,则。，。，c的

大小关系为（）

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a

【答案】B

2

【解析】依题意,«=（|p<（|）°=1,^=logi-=log25>log22=2,

2

而1=log33<log37<log33=2,Bp1<c<2,

所以。，b,c的大小关系为〃

故选：B

【对点训练4】（2024.天津南开.统考二模）已知a=2%〃=1-21g2,c=2-log310,则

。，b,c的大小关系是（）

A.b>c>aB.a>b>cC.a>c>bD.b>a>c

【答案】B

【解析】由题意可得：«=2°-2>2°=1,

b=l-2Ig2=l-lg4,且0<lg4<l,则Ovbvl,

因为Iog310>log39=2,则c=2-log310<0,

所以CV〃V4.

故选：B.

U

【对点训练5】（2024.湖南娄底.统考模拟预测）已知x=lnl.「，y=log/2,Z=2,则

三者的大小关系是（）

A.y<xvzB.z<y<x

C.x<y<zD.x<z<y

【答案】C

【解析】由x=lnl.『=-lnl.lv-lnl=O,即xvO

又由1=1久J.1<log1J.2<J.尸=2,可得1<y<2,

因为z=2">）=2，即z>2,所以xv"z.

故选：C.

【对点训练6】（2024.河南•校联考模拟预测）已知。=logs"，b=lo4枢，c=0则

a4c的大小关系为（）

A.a<c<bB.b<c<a

C.c<a<bD.a<b<c

【答案】D

【解析】由对数函数的运算性质，可得。=1。&11=1。心脑〈1。85后=|,

8

b=log2>/8=^log2=-|»c=捉〉卷=：，所以

故选：D.

题型三：含变量问题

【例3已知公（。,少,

6

ln(2cos20—1)2.ln(co$0—I)?ln(sin0—I)2

，则J。"，的大小关系为（）

(2cos2^-1)2'(cos^-1)2'(sin^-1)2

A.b<c<aB.a<c<D

C.a<b<cD.c<a<b

【答案】A

【解析】由题可设/（幻=哈患，因为/（2-x）=/（x）,所以/（幻的图象关于直线x=l对

称.

因为/'(x)=^~~—■——5■,当xe(1,2)时，0<(x-所以ln(x-1/<0,1—ln(x—I)2>0,

I人一•/

（x-l）3＞0,所以/'（x）＞0,所以f（x）在所以上单调递增,

由对称性可知/㈤在91）上单调递减.因为〜。令，所以。＜如。《考9。。，所以

c=f(sin0)>f(cosG)=b-

又2cos*>'!>1,0<sin^<-<1,由对称性可知/(Zco/仍=/Q-Zcos?。)，且

0<2-2COS2^<1,|il^2-2cos2<9-sin6>=2sin26>-sin^=siii<9(2sin<9-l)<0,所以

()<2-2cos20<sin。<一,

2

又f(x)在(0,1)上单调递减，所以c=f(sin。)</(2-2cos20=/(2cos20)=a,所以b<c<a，

故选：A.

【对点训练7］（云南省大理市辖区2024届高三毕业生区域性规模化统一检测数学试题）

己知实数。,小满足詈=*-*。，则a,b,C的大小关系为（）

A.h<a<cB.c<b<aC.a<b<cD.c<a<h

【答案】C

InaInZ?

【解析】由题意知由--<0,得

丁一丁一c

设/(x)=—(x>0),则f\x)=上华

X

当Ovxvl时，/'(x)>OJ(x)单调递增，因e，0+l,

当且仅当x=O时取等号，故，

g、iInaIna\nbIn4

又Ina<0,所以丁〉—,故二〉—

aba

••/(/>)>fW,则八",即有0<avZ?<1<c,故a<b<c.

故选：C.

【对点训练8】(江西省宜春市2024届高三模拟考试数学(文)试题)已知实数x,y,

zeR»且满足——==—r»),>1,则x,y,z大小关系为()

A.y>x>zB.x>z>yc.y>z>xD.x>y>z

【答案】A

【解析】因竽=，=—[,y>i,51ijlnx>(),-z>(),即x>l,z<0,

令/(x)=x-lnx,x>l,yil/V)=1-->(),函数/(X)在(l,x)上单调递增，有

x

/(x)>/(l)=l>0,

vInr1*t1—t

即Inxvx,从而当时，-4=-T<4*令g⑺==">1，^，(0=-r<0,g(/)

e-eeee

在(1,+co)上单调递减，

则由｛<三得)>x>i,

ee

所以y>x>z.

故选：A

【对点训练9】(山东省青岛市2024届高三下学期第一次适应性检测数学试题)已知函数

/(x)=x3-isinx,若，a=/((cose)、m"),6=/他11。广)，c=

则a,b,c的大小关系为()

A.a>b>cB.b>a>cC.a>obD.c>u>b

【答案】A

【解析】因为/(r)=(一工)3-^sin(-v)=-U3-^sinx)=-/(x),

所以/(x)在R上是奇函数.所以

对〃力=丁-gsinx求导得,

//(A)=3x2——COSX

令g(x)=3/-cosx,则=6x+，sinx

22

当g<xvl时，g'(x)>0,所以g(x)在［；，1)上单调递增，

则gvx<l时，g(x)>g(g)=(-；cosg>(-gxl>0,即/%r)>0,

所以/(x)在(；」)上单调递增.

因为0£(0,三｝所以cose>g>sin8,

因为)，=/ne(o<sine<g)在(o,”)上单调递增，

所以(cos®片》(sin6)叫

令人(X)=xlnx+In2,贝ijA(x)=In.r+l

所以当0cxe'时，"(x)<0,〃(同单调递减；当时，〃'(x)>0，Mx)单调递增.

cc

(\\I11

所以/z(x)24-=-ln-+ln2=In2,

Jeee

而2，>e,即2>/，所以】n2>LHPln2-->0.

ee

所以xlnx>—ln2,即炉>《，则(sinef">g

所以(cose)s"">(sine『n">；

所以/((cose)，叫>F((sin矿)^a>b>c.

故选：A

【对点训练10】(2024•陕西西安・统考一模)设力=1且

=,y=Iog,^z=logncab,则％y,z的大小关系是()

A.x<zvyB.z<y<x

C.y<z<xD.x<y<z

【答案】A

【解析】由〃>人>(),"+力=1,可得。

2

则z=1°4型严=log出"=煽上曲=-1

\ab)abab

因为所以log„a<log,/=l,则y=log/=Tog/>Toga=7,

因为X=_f，)<-1,所以X<zvy.

故选：A.

题型四：构造函数

【例4】（2024•山东潍坊•三模）已知2022””/=2023融3,。=20242侬，则a也c的大小关

系为（）

A.b>c>aB.b>a>c

C.a>c>bD.a>b>c

【答案】D

ln2022

【解析】••差_2024In2022_2023

-20231n2023-In2023

2024

构造函数/小方

令g(x)=(x+\)-x\nxt则g'(x)=-\nx<0,

，g（X）在Ie?,+8）上单减,

，^(x)<^(e2)=l-e2<0,

故/a）<o,所以/a）在©,+8）上单减,

♦2022

・•・f(2022)>/(2023)>0=>—=J嗯=/(2()22)>1=\na>1汕nob,

''Inb,2023/(2023)

2024

♦2023

..InZ?_2023In2023_2022

•而7—2022In2024—♦2024'

2023

构造函数力⑴二'\(x2e2),〃(%)="「)：F,

x-lx(x-l)£

令r(.r)=(x-l)-xlnx,则=-lar<0,

・•・"X）在出,+8）上单减,

・•・r(x)<z(e2)=l-e2<0,

故以X）<0,所以〃5）在12,十8）上单减,

-2023

//(2023)

・•・//(2023)>/z(2024)>0=>—==>l=>|n/?>Inc=>b>ct

Inc720240(2024)

2023

故4>Z>>C.

故选：£).

【对点训练11】(2024・广西•校联考模拟预测)已知4=金瓜，〃=21nL3,c=0.8,则a,

J

4C,的大小关系为()

A.c<b<aB.c<a<bC.b<c<GD.b<a<c

【答案】C

【解析】由指数'幕的运算公式，可得。2=仕右丫=。>0.8,所以

(3)9

构造函数/(k)=,其中人.〉0,则尸=

exe

当0<x<e时，/^x)>0：当时，/(x)<0,

所以函数/(x)=lnx-」x在(O,e)上单调递增，在(e,+8、|上单调递减，

e

故/(x)W/(e)=lne-l=0,故InxV’x,当且仅当工=3时取等号，

e

由于f>0,则InVs'd,则21nx〈Ld,所以21nl.3<』(1.3『=2x1.69<0.8,所以

eeee

b<c>所以〃<c<a.

故选：C.

【对点训练12](2024.辽宁朝阳.朝阳市第一高级中学校考模拟预测)已知a=bg93G，

3

力=九《”，c=sin2,则。，b,c的大小关系是()

4

A.c<a<bB.c<b<a

C.a<b<cD.a<c<b

【答案】4

33

2

【解析】a=logq3下)=log3j3=—,

设/(x)=sinx-x,xc0,],则f(x)=cosx-lWO在xw。仁恒成立，

所以函数/⑴=sinx-x,_xe。弓为单调递减函数，

(3\

所以,f(0)=0>/-=s3in-3--,即si3n=3<],所以

⑴4444

因为兀"=n,f—1=史£>3.16>兀，

⑴81

所以兀&，即兀4<g，

_1*4a12

所以亦4>士，即力=兀《25=冗4>士，所以Ba,

44

综上，c<a<b.

故选：A

【对点训练13】（河北省唐山市开滦第二中学2024届高三核心模拟（三）数学试题）设

=4S*n27，c=e玉-1，则。,方，c的大小关系正确的是（）

A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>a>b

【答案】C

12I

【解析】由c=et_l=e/_U则a-c=五-”至+1,

21o

令/Q）=x-e针+1且xe©5），则/⑴=1一*3.为减函数，

7-1127-32-1

所以1--而e3<（一）3=一，故0<1一一

338233

1I

故/⑶在（0二）上递增，则/3）>"0）=0,即丫>”2、］在（0二）上恒成立，

所以a-c>0,即

±31

由c-〃=e2i-1—sin—,

421

313

令g（x）=e*-1一一sinx且xe（（）,-）,则g\x）=ev一一cosx>0,

424

13I

所以g*）在（（《）上递增，贝l」g"）>g（O）=O,即e=IJsinx在（0$上恒成立，

所以。一8>0,即c>/?.

综上，a>c>b.

故选：C

【对点训练14】（湖北省武汉市2024届高三5月模拟训练数学试题）已知

4=1.0/网的_他1.0炉,z>=sin（ln（i+COsl.01））,c=eW如⑷叫则小仇c的大小关

系为（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】A

【解析】设/（x）=in（i+I）—r（^）=r--1=产（、>一小

1•人1•人

当xw(-l,O)时，>0；当xe(0,+oo)时,/,(x)<0,

所以/（A）在（-1,0）上单调递增，在（0,+8）上单调递减,

所以f(x)Wf(0)=0,所以ln(l+x)Vx,

Z>=sin(ln(l+cosl.01))<sin(cosl.01)<1,

又/?=$由(111(1+<：051.01))>5血1(111l)=sin0=0,则。e(0,l),

c=e<«(Sini.oi)+i>B所以〃<c,

对于a=1.01小叫一(In1.01厂a,令/=In(In1.01),则lnl.01=eS

此时。=1.01’-（"r"=1.01,-eL=1.01=1.。1'=0,

所以a<〃<c.

故选:A.

【对点训练15］（2024“11西大同•统考模拟预测）已知4=0.1,b=\n\A,c=（,则

b,c的大小关系是（）

A.c>b>aB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c

【答案】。

【解析】"工=丝=2

212.12-rO.I

2x

设/(x)=ln(l+x)-,函数定义域为（-1,y），

14x2

贝I」fM=>0,

l+x(2+x)2(l+x)(2+x)2

故/（外在（T+oo）上为增函数，有/（（）J）>/（0）,即lnl.1-\>0,

2

所以lnl.l>丁，故。〉c.

21

设g（x）=ln%T+l,函数定义域为（0,+力），则$（%）=1-1=上q

X.X

/(工)>0,解得ovxvl；g'(x)vO,解得x〉l，

所以函数g(“在(()/)上单调递增，在(1,田)上单调递减.

当工=1时，g(x)取最大值，所以g(x)〈g(l)=O,即InxWx-l,x=l时等号成立，

所以In1.1v1.1—1=0.1,即〃<a,

22

X<^=—<—=01=«»所以a>b>c.

故选：。.

【对点训练16】(2024•河南•模拟预测)已知a=sin0.9,力=0.9,c=e《LJ=cos0.9,

则小力，c,d的大小关系是()

A.a>b>c>dB.b>c>a>dC.c>b>a>dD.b>a>d>c

【答案】C

【解析】令函数/(幻二^7-1,1<0,求导得ra)=e、-l<0,函数fa)在(-00,0)上递

减，

当XV。时，/(x)>/(0)=0,则/(一0.1)二仁°」-0.9>0,于是e划>0.9,即c>〃，

令函数g(x)=x-sinx,x>0,求导得短(x)=l-cosx20,函数g(x)在(0,+刃)上递增，

当x>0时，g(x)>g(O)=O,则g(0.9)=0.9—sin0.9>0,于是0.9>sin0.9,即人”，

当xw(二,当时,y=sinx-cosx=\[2sin(x--),x-—€(0,—),则J5sin(x-马>0,

424444

B|Jsinx>cosx,而四<0.9<巴，于是sin0.9>cos0.9,即4>d,

42

所以mb,c,d的大小关系是c>,。正确.

故选：C

题型五：数形结合

【例5】(广东省六校20"届高三上学期第三次联考数学试题)已知〃>1.小圣,为函数

/(x)=a'-d的零点，Xj<x2<x3,若%+占=2%，则()

A—<21naB—=21na

x2•x2

C.—>21n«D.U■与2lna大小关系不确定

X2X2

【答案】C

【解析】易知x<0<.r2<七，内,£，&为函数/3=优一.*的零点,

x2

a'=x1

2x+Xi42

..「a"=x2a'=(xwj_x^-x2=(x(x3),

*=王：

/\2(、

x>~+MM=0,又K+&=2x),/♦x>~+(2x)—“q)彳3=0,「.—~2——1=0

⑺IM

解之：-=V2+1,负根舍去；

“2

又/(%)=〃-JC=0,/.=x2,.\xln«=lnx2,

即），二x】na与），=ln.F有三个交点，交点横坐标分别为不吃，E，如下图先计算过原点的切

线方程，不妨设切点为a，2hu）,y=（21nx）

切线方程为：p一21皿=:"一/）过原点，「」=。

22

此时人二一二一尸y二月^狗斜率比切线斜率小，结合图像容易分析出，

te

In6/<—2InaV—v2<V2+1.

ee

故选：C

【对点训练17】（2024.天津和平.统考三模）已知，也c满足

flJ

2-=a+2,Z7+log2^=-2,c-c-2=0,则4瓦。的大小关系为（）

A.b<a<cB.a<b<c

C.a<c<bD.c<b<a

【答案】B

【解析】由题意知：把。的值看成函数）1=2一，与力=》42图像的交点的横坐标,

囚为2（'）>—1+2，2"v0+2,易知一

把6的值看成函数必=1。员工与北=-―2图像的交点的横坐标,

log2l>-l-2,易知0<〃<1；

把c的值看成函数%=/与%=x+2图像的交点的横坐标,

所以4<〃<C.

故选：B.

【对点训练18】（2024•广东汕头♦统考三模）己知"二卜电"，力=log/,c=,oSic,则

235

a,b,c大小为（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.a<c<bD.c<b<a

【答案】D

【解析】"=logl"可以看成产工与>'印叫x图象的交点的横坐标为。，

b=logl"可以看成丁=x与''=，og!1图象的交点的横坐标为人,

33

'=1。8/可以看成），="与）"1。8'］图象的交点的横坐标为0,

55

画出函数的图象如下图所示，

由图象可知，c<b<a.

故选：D.

【对点训练19】（江苏省南通市海门市2022-2024学年高三上学期期中数学试题）已知正

实数”，b,c满足e+ed=e“+e，/^=log,3+log86,c+log2c=2,则〃，b,c的大

小关系为()

A.a<b<cB.a<c<hC.c<a<hD.c<b<a

【答案】B

r_frt2a

［解析］e，+e_2a=e“+e-'=>e-e=e-e_,

故令/(”)=廿-0,则/(c)=e-e：/(«)=ert-e\

易知）和y=e*均为（0,+oo）上的增函数，故/（力在（0,内）为增函数.

••一ve，故由题可知，eC-eY=e"-e-2">e“-e，即/©>/(〃)，则c>a>0.

易知〃=logz3+log2痣=log?3痣>2,log2c=2-c,

作出函数.yVog?］与函数y=2-x的图象，如图所示,

则两图象交点横坐标在（1,2）内，即

:.c<b,

:.a<c<b.

故选：B.

【对点训练20】（河南省洛平许济2022-2024学年高三上学期第一次质量检测文科数学试

题）已知〃=炉力=兀°,。=（正广，则这三个数的大小关系为（）

A.c<b<aB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

【答案】A

【解析】令〃力=叱,（稣0），则/'（"=上学,（.1>0）,

XX

由/qx）>。，解得0<x<e,由/'（力<（）,解得X>e,

所以/（力=叱。>。）在（0,e）上单调递增，在（e,+oo）上单调递减；

X

因为兀“，

所以〃兀卜/⑻，BP—<—,

兀e

所以eln兀<7dne,所以In兀。vine",

又y=lnx递增,

所以兀"<e",即〃<a；

在同一坐标系中作出），=（逐『与'=工的图象，如图:

又2c兀<4,所以兀>（0了，

又y=4在（0,+功上单调递增,且九>（可

所以兀［（夜）［=（&『，即〃〉c；

综上可知：c<b<a,

故选：A

【对点训练21】（2024•全国•高三专题练习）已知y=G一机）（/一〃）+2023（〃>〃?），且

a,B（«</?）是方程y=0的两个实数根，则a,夕，m,〃的大小关系是（）

A.a<m<n<pB.m<a<it<p

C.m<a<l）<nD.a<m<f<n

【答案】C

【解析】•・•〃，?为方程）=0的两个实数根，

:.a,4为函数丁=（x—m）（.x—n）+2023的图像与x轴交点的横坐标，

令yi=（x-/〃）（x-〃），

・••/〃，〃为函数yi=Cx-ni）Cx—n）的图像与x轴交点的横坐标，

易知函数,=（x-w）（J-/7）+2023的图像可由yi=（x—/〃）（x—〃）的图像向上平移

2023个单位长度得到，

:.m<a<p<n.

故选：C.

【对点训练22】(2024•安徽亳州•高三校考阶段练习)我们比较熟悉的网络新词，有

“yyds”、“内卷”、“躺平”等,定义方程〃力=/")的实数根犬叫做函数/(%)的

“躺平点”.若函数点。=e*r,/?(%)=hu-,°(x)=2023x+2023的“躺平点”分别为

a,b,c,则a,b,c的大小关系为()

A.a>h>cB.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】B

【解析】根据“躺平点”定义可得g(a)=g'(a),又g")=eT；

所以ea-a=e"-l,解得〃=1;

同理〃'(x)=LBP=

Xb

令"zCt)=lnx—,，则〃«用=_1+4.>0,即〃仆)为(0,+s)上的单调递增函数，

又m(1)=-1<0,加(e)=l-」>0,所以Mx)在(l,e)有唯一零点，即〃e(l,e)；

e

易知0'(x)=2O23,R|J(p(c)=2023c+2023=^(c)=2023,解得c=0；

因此可得〃>a>c.

故选：B

题型六：特殊值法、估算法

【例6】若都不为零的实数。*满足“〉/),则()

A.—<TB.—1-->2C.e"~h>1D.Ina>\v\b

abab

【答案】C

【解析】取a=l力=-1,满足a>〃，但A错误；

ab

当a=l1=T,满足a>d<H-+y=-2<2,8错误；

ab

因为a>〃，所以。一〃>0,所以C正确；

当a<0或匕<0时，Ina.Inb无意义，故。错误.

故选：c

【对点训练23】己知a=23b=\nx,c=x3,若x«0,l）,则d/八c的大小关系是

（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>b>aD.c>a>b

【答案】B

【解析】取X=则a=2：>l，〃=lng<0,c=（g）<1,所以a>c>力.

故选：B.

【对点训练24】（2024•全国•高三专题练习）己知〃=2；/>=3；c=log34,d=log/5，则。力，。，〃

的大小关系为（）

A.b>a>d>cB.b>c>a>dC.b>ci>c>dD.a>b>d>c

【答案】C

【解析】依题意，〃=2：=（2①/，函数），=五在【。，+8）上单调递增，而3<2&<3,于

3/-II3

是得?<（2&）2<3?,即方>。>一，

22

00

函数），=log4X在（。，+）单调递增，并且有log43>0,log45>0,

则2=logs16>log415=log43+logs5=

“1叫3-Jlog$5）+2Jlog13•"log〉5>2Jlog43•Jlog4f，

于是得logdSxlogQvl,iplog45<—!—=log34,则”d,

logqJ

又函数），=log/在（0,+8）单调递增，且4<3々，则有1呜4<嘎33后=',

3

所以〃>a>—>c>4.

2

故选：C

【对点训练25］（2024•全国•高三专题练习）已知a=G，〃=2；，。行道?©,则。，b,c

的大小关系为（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.b>c>a

【答案】B

【解析】由4=9,//=2,可知

33

又由e2<8,从而e<20=20WWc=log2e<^<t/,

因为"—（$）4=2-男<0,所以1<力<4；

56255

因为e‘一26>2.75-64>0,从而即©>2、

96

s

由对数函数单调性可知，c=log2e>log22=p

综上所述，a>c>b.

故选：B.

【对点训练26】（2024.全国•高三专题练习）三个数〃=*,〃=学，。=学的大小顺序

夕43

为（）

A.b<c<aB.b<a<c

C.c<a<bD.a<h<c

【答案】D

【解析】a=2-<l=L=］ne\由于=/,„=#=23=8,所以/<4：,所以

e63（JI）

!11in41f1V,（if,,,

—=Ine1*3<ln44=>即〃<；<），而44=2=8.33=3~=9>所以>〈忝，所以

343I）I）

1i1

In44<-In3=In33,即〃<c,所以

3

故选：。

题型七：放缩法

【例7】（百师联盟2024届高三二轮复习联考（三）数学（理）全国I卷试题）已知“=

/og4gn=log4ee,p=4，则切，〃，〃的大小关系是（其中e为自然对数的底数）

（）

A.p<n<mB.m<n<pC.n<m<pD.n<p<m

【答案】C

［解析］由题意得，〃I出片器=就器=1一前6

/z=log4r,=Jg£=^^=I—_

1g4elg4+lge1g4+1ge

Ig4>Ig兀>lge>0,则/g4+/g4>IgA+lgrt>Ig4+Ige,

Al--跃一>1——里一>1--她一，

1g4+Ig4lg4+lg乃lg4+lge

1.111

/.n<m<-,而〃=e3=孤>5,

故选：C.

【对点训练27】(四川省绵阳市2024届高三上学期第二次诊断性测试理科数学试题)设

x=e00\y=1.032,z=ln(e°-6+e0-4),贝巾，九z的大小关系为()

A.z>y>xB.y>x>z

C.x>z>yD.z>x>y

【答案】A

【解析】易得lnx=0.03,1"=21nl.03=2ln(l+0.03),

令/(x)=x—21n(l+x)(0vxvA)，

2r-1

ru)=i---=—<o

x+lx+\f

・•・/")在(0，专)上递减，

.,./(x)</(0)=0则x<21n(l+x),

••・0.03<2In(1+0.03),

故yx,

z=ln(e°'6+e04)>In2je°"°4=ln2+lnVe=In2+11.2,

2

y=1.03=1.0609<z,

故z>y>x,

故选：A.

【对点训练28】(2024年普通高等学校招生全国统•考试数学领航卷(三))已知

20"=22,22"=23,ae=b,则a,b,c的大小关系为()

A.c>a>bB.b>a>c

C.a>c>bD.a>b>c

【答案】D

【解析】分别对20"=22,22"=23,1=6两边取对数,得。=噫。22,b=log2223,

c=logrth.

人।”lg22lg23(lg22)2-lg201g23

a-b=*22-log23=--------------

221g201g221g201g22

由基本不等式，得：

电2。.但23d但吟T=(事］<(婆口里耳二(吟了,

所以(lg22)2-lg20lg23>0,

即〃一〃〉0,所以

又c=log“力<loga〃=l,所以

故选：。.

【对点训练29］(2024届新高考I卷第三次统一调研模当考试数学试题)下列大小关系正

确的为()

2

ln(e00,+e-00,)<-B.sin0.01+In0.99<0

C.cos().()I+ln1.()!<ID.3201+41">25

【答案】B

【解析】对于选项A,因为8>。2,所以2>/，则八】2>|,

又因为e001>e°=l,则有e。8+e_00'=c001+$>2,

e

所以ln(e。小+1)>In2若,故选项A错误;

对于选项B,构造函数f(x)=sinx-x,则/'(x)=cosx-140,所以函数/⑴在［0,位)上

单调递减,则/")?/(())。，所以/(0.01)<(),即sin0.01<0.01,

令g(x)=lnx-x+l(0vx<l),则/")=,—1=上三>0,所以g(x)在(0,1)上单调递增，则

XX

g(x)<g(l)=0,即InxCH—l,所以ln0.99<0.99-l=-0.01,

故sin0.01+In0.99<0.01+(-0.01)=0,故选项B正确；

对于选项C,构造函数。（1）=851+1|1（1+x）（0〈工<1），则。'（幻=一5皿工+—!—,

2x+1

由选项B可知：当x>（）时，sinxcx,所以-sinx>-x,

则有（p\x）=-sinx+—>-x+—=ml,因为函数y=-/一工+।在（°,：）上恒大

x+1x+1x+12

零，所以>（幻>0,则函数以外在（0,；）上单调递增，所以以0.01）>。（0）,即

cosO.Ol+Inl.Ol>I.故选项C错误；

对于选项D,因为T"+4L99=32+001+42001=9x300'+16x4"001<9x4a0l+16x4-0°,,

令1=4。％则令人（。=%+?（1</<1.3）,

则/（）=9—£=M^，令尸'ax。，解得：—：<，<：，

rr33

因为所以F⑺在（1,1.3）上单调递减,故法⑺〈尸⑴=9+16=25,

即9x4001+16x4­°01<25,所以320'+4199<25,

故选项D错误，

故选：B.

【对点训练30】（2024.贵州贵阳•校联考模拟预测）已知实数〃=e°g-2&，-=%4,

c=IogA5,则。也c的大小关系为()

A.a<c<bB.a<b<cC.b<a<cD.