2026-2027学年高二上学期数学单元检测卷 第三章 圆锥曲线与方程 含答案

2026-2027学年高二上学期数学单元检测卷圆锥曲线与方程一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知分别为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，若，则（

）A．4 B．5 C．6 D．72．抛物线的焦点为，抛物线上一点在其对称轴的上方，若，则点的坐标是（

）A． B． C． D．3．已知双曲线C：的一条渐近线的方程为，若C的焦距为，则（

）A．4 B．5 C．6 D．104．已知，，直线，相交于点，且直线与直线的斜率之积为，则点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．5．在水泥粉磨系统中，双曲线型进料装置具有节能降耗的优点.某双曲线型进料装置的进料口的轴截面如图所示，它是双曲线的一部分，该双曲线的离心率为，实轴长等于进料口的下口宽度，下口宽度为，上､下口之间的高度为，则该进料口的上口宽度为（

）A． B． C． D．6．抛物线的准线与双曲线的渐近线交于点，且有一个公共的焦点，则双曲线方程为（

）A． B．C． D．7．已知为椭圆的右焦点，为椭圆上的动点，设点，则的最小值为（

）A．2 B． C．0 D．8．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且满足.若椭圆的离心率为，则的余弦值为（

）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9．已知，分别是双曲线的上、下焦点，点P在C上，且C的实轴长等于虚轴长的2倍，则（

）A． B．顶点坐标为C．C的离心率为 D．C的渐近线方程为10．已知抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于点两点（点在第一象限），若，则以下结论正确的是（

）A． B．C． D．11．已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上异于左、右顶点的一点，则下列说法正确的是（

）A．的周长为B．的面积的最大值为C．若，则的最小值为D．的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.12．已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上一点，且，，则的离心率为.13．若椭圆的一条弦的中点为，则直线的方程为.14．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且满足，则的值是．四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）根据下列条件，求曲线方程.(1)对称轴是轴，且顶点在原点，经过，求抛物线方程；(2)以椭圆的短轴的两个顶点为焦点，且离心率为2的双曲线方程；16．（15分）已知双曲线C的方程为实轴长和离心率均为2．(1)求双曲线C的标准方程；(2)过且倾斜角为45°的直线l与双曲线C交于A，B两点，求的值．17．（15分）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，且过点，斜率为1的直线l经过该抛物线的焦点F，且与抛物线相交于C，D两点．(1)求抛物线的标准方程；(2)求线段CD的长；(3)求的值．18．（17分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，不过点的直线与椭圆相交于两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)若弦的中点的纵坐标为，求面积的最大值；(3)若，求证：直线过定点.19．（17分）已知点为圆上的动点，过点作轴的垂线，垂足为，若．(1)求动点的轨迹的方程；(2)若圆与轴的负半轴、正半轴交点分别为、，过的直线与轨迹交于、两点，求的内切圆面积的最大值．参考答案单项选择题1.B2.D3.B4.D5.C6.D7.A8.A二、多项选择题9.CD10.ABC11.ABD三、填空题12.13.14.四、解答题15.（1）可设对称轴是轴，且顶点在原点的抛物线方程为：， 3分由经过点可得，，所以抛物线方程为； 6分（2）由椭圆的短轴两个顶点为，可知双曲线的焦点为，即， 7分由离心率为2，则， 9分所以， 11分根据焦点在轴上可得双曲线方程为：. 13分16.由离心率，又，则， 2分又实轴长，所以，所以， 5分故双曲线的标准方程为； 6分（2）∵直线的倾斜角为，故其斜率为1，又过点，∴的方程为，设， 8分由，消去，得，∴， 12分∴17.（1）设抛物线的标准方程可以为，因为抛物线过点，所以，解得， 2分因此，抛物线的标准方程为； 4分（2）由抛物线的标准方程为，可得焦点，所以直线l的方程为：，即， 6分设和的坐标和.由，得，整理得，所以，； 8分； 10分（3）由（2）可知点和到焦点的距离分别为：，所以 14分. 15分

18.（1）由题意得：， 2分解得，椭圆方程为： 4分（2）因为弦的中点的纵坐标为，所以直线斜率存在. 5分设直线，代入，可得，设，，则，， 7分因为弦的中点的纵坐标为，所以，即，， 8分O到直线MN的距离，，由，，可得，当即时，取得最大值. 10分（3），，即， 11分，，代入（*）式，得，即，化简得，即

，或，当时，则直线，此时直线过点，不合题意舍去，当时，则直线，此时直线过定点， 15分当直线斜率不存在时，直线交椭圆于，，此时，显然成立.直线过定点. 17分19.（1）设点、，由题意可知点，由可得，所以，即， 2分因为点在圆上，所以，即，化简得.所以动点的轨迹的方程为. 5分（2）因为圆与轴的负半轴、正半轴交点分别为、，则、，如下图所示：在椭圆中，，，则，易知点、分别为椭圆的左、右焦点，易知直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、， 7分将直