核心素养导向下大单元教学-成都中考B卷填空题23与几何压轴26最值系列专题复习教案

核心素养导向下大单元教学——成都中考B卷填空题23与几何压轴26最值系列专题复习教案

初中数学九年级·北师大版·成都专用

一、教学背景与设计立意

（一）教学内容解构与大单元定位

本节内容隶属于北师大版九年级数学上册综合复习板块，具体涉及二次函数、图形的相似、圆以及直角三角形的边角关系等核心知识的交叉应用。从成都中考命题格局审视，B卷填空题23题与B卷解答题26题构成了区分度最为显著的两道选拔性试题。B卷23题通常以单一动点轨迹或双动点联动为背景，在填空题末席考查隐圆最值、单线段长度最小值或线段和差范围，其难点在于几何模型的识别与构造；B卷26题作为全卷压轴，往往以二次函数为外壳，内嵌平行四边形存在性、面积最值或线段最值问题，近年更呈现出与图形旋转变换、瓜豆原理深度融合的趋势-4。将这两个题位整合为同一专题，是基于大单元教学理念的深度设计：二者虽题型相异、载体不同，但内核共享“变化中寻不变”“化动为定”“折转直”的哲学本质，同属“动态几何中的量化分析”这一大概念。本设计打破传统复习课按知识板块线性排列的惯例，采用“模型为经、思想为纬”的统摄方式，将散见于各章节的将军饮马、垂线段最短、隐圆、瓜豆、胡不归、阿氏圆等六大最值模型统整于几何直观与代数运算双线之下，实现从“解题”到“解一类问题”再到“用数学思维看世界”的素养跃升。

（二）学情精准画像

授课对象为成都市优质初中九年级学生，已完成新课学习及第一轮基础知识梳理。学生存在三重认知断层：第一层是模型识别障碍，面对复杂几何背景无法剥离出“定直线—定点—动点”或“定点—定长—隐圆”等基本结构-1；第二层是双动点联动困难，对于主从动点关系（瓜豆）缺乏主动构造旋转相似或位似的意识，常因图形动态复杂而产生畏难情绪；第三层是几何问题代数化时计算信心不足，尤其在含参二次函数背景下处理含根号或分式的最值表达式时，配方或换元变形出错率高。同时，本阶段学生具备较强的类比学习能力和信息技术接受度，适当时机引入几何画板或GeoGebra的轨迹追踪演示，可有效突破从“静态猜想”到“动态确认”的心理壁垒-6。

（三）课标依据与素养指向

本设计严格对标《义务教育数学课程标准（2022年版）》第四学段“图形与几何”“函数”领域的学业要求，重点发展学生的几何直观、空间观念、推理能力与模型观念。具体素养指向如下：通过分离基本图形、还原经典模型，培育数学抽象与直观想象；通过几何条件代数化、构建目标函数并求最值，发展数学运算与数据分析；通过探究图形运动中的不变量与不变关系，渗透运动与变化思想，强化逻辑推理与数学建模。本课同时回应“以评促教”的成都本土教研导向-2，将中考命题的“素养立意”转化为课堂可操作的“思维台阶”，使复习过程成为学生认知结构重构与思维品质优化的过程。

二、教学目标与核心考点矩阵

（一）预期学习成果

1知识与技能维度：能准确复述将军饮马、垂线段最短、隐圆（定点定长、定弦定角）、瓜豆（主动从动线段比恒定）、胡不归（加权线段和）及阿氏圆（圆上动点与定点加权和）六类最值模型的核心特征与操作步骤；能识别二次函数背景下铅垂高、水平宽及斜线段转化为竖直线段的几何构造；能运用待定系数法、配方法、判别式法及导数思想（直观感知）求解二次函数背景下的纵坐标差、斜线段长度或周长的最小值。

2过程与方法维度：经历从具体中考真题中剥离母题模型、从母题模型回归变式题组的完整探究链，掌握“定—动—换—转”四步审题法（定：确定定点和定长；动：明确动点轨迹；换：对称或旋转实施等量转化；转：将目标线段转化为两点间距离或点到直线距离）；通过几何画板动态演示，理解瓜豆原理中“种圆得圆、种线得线”的因果逻辑，体会缩放旋转下轨迹的一致性。

3情感态度与价值观维度：破除对压轴题的畏难心理，在模型分解的成功体验中建立解题自信；通过跨板块知识的综合调用（如三角函数用于胡不归线段加权），感受数学内在结构的和谐统一，形成整体性、联系性的思维习惯。

（二）考点等级与频率标注

【B卷23填空·高频】【重要】【难点】隐圆最值类（定点定长，定弦定角）——近五年成都真题出现4次，多置于折叠、旋转或直角顶点运动背景，核心为“一箭穿心”模型。

【B卷23填空·高频】【非常重要】【热点】瓜豆原理类——2023、2025均有呈现，主从动点轨迹一致性，常与相似三角形、位似变换联考。

【B卷26压轴·必考】【绝对核心】【区分点】二次函数背景下铅垂高法求面积最值/线段最值——连续十年未缺席，第一问待定系数法（送分），第二问几何建模转化为竖直线段，第三问常升级为含参动点或平行四边形存在性讨论。

【B卷26压轴·中频】【重要】【难点】将军饮马与二次函数融合——对称轴即抛物线对称轴，多为B26第②问难度，需熟练求对称点坐标及直线解析式。

【B卷26压轴·高频】【重要】【易错】相似三角形与函数联姻——利用平行或角的等量关系建立比例式，化为二次函数求最值，需关注自变量取值范围（点在线段上而非延长线）。

三、教学实施过程

（一）课时规划与结构设计

本专题总计安排3课时，每课时40分钟。第一课时聚焦“几何定径模型”，以B卷23填空为靶向，涵盖将军饮马变式、垂线段最短、隐圆最值三大块；第二课时主攻“主从联动与加权最值”，解析瓜豆原理、胡不归、阿氏圆三类高阶模型，打通B卷23最后一公里与B卷26第三问的思维前站；第三课时立足“二次函数代数建模”，以B卷26几何压轴为阵地，系统构建铅垂高法、斜化直策略及平行四边形存在性与最值的综合探究。三课时呈递进关系：从静态最值到动态联动，从纯几何构型到数形转换，从单一模型识别到复杂情境下模型组合应用。

（二）第一课时：几何定径——从经典模型到隐圆轨迹

环节一：图式唤醒——将军饮马的变式与本质（12分钟）

课堂启动不直接呈现题目，而是以问题串驱动学生回溯经验：“有一条定直线和两个定点，当动点位于直线上何处时，线段和最小？如果两定点在异侧呢？如果求的是线段差绝对值最大呢？”师生对话中同步在黑板上勾勒出三种基本构型，并强制学生用规范术语描述操作核心——同侧化异侧、折线化直线。随即投影呈现成都2021年B卷23题改编：抛物线y=ax²+bx+c过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3），顶点D，对称轴上找点P使PA+PC最小。这不是单纯解题，而是要求学生标注此题中“定直线（对称轴）”“定点（A、C）”“对称转化（B为A的对称点）”的模型对应要素-1。教师板书时以彩色粉笔区分原线段与转化后线段，并在旁批注：【非常重要】模型本质：对称即等距转移，折化直依赖两点间线段最短。处理完坐标求解后，立刻抛出递进问题：“若改为求△PAC周长的最小值呢？”学生自然发现AC为定长，归约为相同模型。此环节不追求题量，而追求思维痕迹的深度刻画。

环节二：认知冲突——从“点在线上”到“点在圆上”（15分钟）

承上启下：“刚才动点被束缚在直线上，如果动点不受直线约束，它还能在哪里运动？最值问题还能解吗？”播放GeoGebra微视频：一个动点P到定点O的距离保持定长3cm，显示其轨迹为圆；追踪圆上一动点到圆外两个定点A、B的距离之和，引导学生观察最小值出现在OP连线穿过圆心时。这是隐圆最值的第一形态——定点定长隐圆。随即呈现成都2022年B卷23真题（回忆版）：矩形ABCD中AB=4，AD=6，E为AD中点，F为边CD上一动点，将△DEF沿EF翻折得△D‘EF，连接BD’，求BD‘的最小值。师生协同拆解：折叠的核心是D’到E的距离恒等于D到E的距离（DE=3），且E为定点，因此D‘轨迹是以E为圆心、3为半径的圆在矩形内部的一段弧。BD’的最小值即定点B到圆E上各点距离的最小值——连心线减半径。教师强调：【难点】【高频】折叠出隐圆（定点定长），轨迹定位是破局第一步。板书记录“一箭穿心：连心线（与圆的交点）即为最值点”，并示范书写规范解题过程，特别标注d=√(BE²−r²)的推导需前置勾股计算。紧接着呈现进阶变式：条件不变，求BD‘+DD’的最小值。这已是双动点问题（D‘在圆上、D在边CD上），但引导小组讨论后反觉：DD’即折痕EF对应边，利用折叠性质可等量转化为DE？此处设疑留白，为第二课时瓜豆铺垫。

环节三：模型拓展——定弦定角与辅助圆（10分钟）

如果说定点定长隐圆是“一动一定”，定弦定角则是“两动一定”或“两动不定”，对几何直观要求更高。教师以几何画板演示：线段AB长度固定，点P在AB同侧运动，保持∠APB恒为90°，P的轨迹是圆（以AB为直径）；若∠APB恒为60°呢？学生凭直径对直角的经验能猜90°，但对60°感到陌生。此时直接给出结论：定线段AB，当动点P对AB张角为定值α（0°<α<180°）时，P的轨迹是以AB为弦、所含圆周角为α的两段弧。随即呈现成都2024年青羊区一诊B卷23题：等边△ABC边长为4，D、E分别为AB、AC上的动点，且AD=CE，连接DE，以DE为边向右侧作等边△DEF，连接CF，求CF的最小值。这道题表面无圆，且学生易被双动点困扰。教学关键分步走：第一步，证明点F是“被动”的，但先固定D、E？不，这里需换元——由AD=CE，结合等边三角形性质，可证△ADE≌△CEF？实则有困难。更优路径：连接BE，可证△ABE≌△ACF，从而CF=BE。至此问题转化为在AC边上找E使BE最小——垂线段最短。这与隐圆无关？不，接着变式：若将“等边△DEF”改为“以DE为斜边向右侧作等腰直角△DEF”，则∠DFE恒为90°且DE长度变化，F轨迹还是圆吗？这里点到为止，只做思维触发，具体演绎留待课后拓展。但【重要】定角定弦隐圆是填空题23题区分点，必须让学生脑中常备“见定角，想外接圆”的意识。

环节四：当堂评价与元认知追问（3分钟）

下发半张A5纸，不写姓名，仅列出三道微模型判断题：1折叠背景下，折痕上的动点与对应点的连线中垂线性质直接提供定点定长。2坐标系中，已知A（2，0）、B（6，0），动点P在直线y=x上，则P、A、B构成的三角形外心轨迹是定弦定角隐圆。3圆外一点C到圆上动点Q的最短路径是CQ经过圆心。要求学生仅判断正误并简述理由。收齐后快速投影展示典型错误，现场点拨。

（三）第二课时：主从联动与加权最值——突破B卷23天花板

环节一：从折纸到瓜豆——双动点联动的静态解法（15分钟）

开门见山，回扣第一课时留的折纸问题：求BD‘+DD’的最小值。小组合作探究5分钟，多数学生能意识到DD‘可转化为DE（因翻折全等，DD’=2×D到EF的距离？这里极易出错）。教师不急于纠正，而是展示正确答案路径：连接ED‘，则ED’=ED=3，且DD‘+D’B=ED‘+D’B？不对，ED‘=3是定值，不是DD’。真正的转化需借助“瓜豆”——动点D‘的轨迹是圆，动点D的轨迹是线段CD，但DD’长度并不直接等于某定长。此题超出本课范围，仅作为思维冲突引信，迅速切换至典型瓜豆题：等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4，D是AB边上一动点，以CD为边作等边△CDE（C、D、E逆时针），求AE的最小值。教师边演示几何画板边讲解：C是定点，D在AB上运动（主动点），E是绕C顺时针旋转60°且缩放比为1（等边即旋转全等）得到的从动点。根据瓜豆原理，主动点轨迹是线段，从动点轨迹也是线段——只需找到起点与终点。分别取D在A处、D在B处，对应E在A’处、B’处，连接即得E的轨迹线段。于是AE的最小值转化为定点A到线段上各点距离的最小值，即垂线段长。板书核心：【非常重要】瓜豆原理本质：旋转放缩下的图形整体运动，从动点轨迹与主动点轨迹同型。处理流程：一定主动与从动；二找旋转中心、角、比；三算起点终点；四化归定点到轨迹最值。随后独立练习成都2025年B卷23真题（回忆改编）：矩形ABCO在坐标系中，B（4，3），反比例函数y=k/x过B，P为x轴正半轴上一动点，将BP绕B逆时针旋转90°得BQ，求Q点运动路径长度及OQ的最小值。学生模仿四步法：旋转中心B，旋转角90°，缩放比1，P轨迹是线段，Q轨迹也是线段，求OQ的最小值即定点O到线段端点距离的最小值，经比较取端点。此题完成后，学生普遍对瓜豆从畏难转为有章可循。

环节二：化折为直——胡不归模型的识别与构造（12分钟）

胡不归模型是加权线段和最值PA+k·PB（0<k<1）的经典载体，成都近三年未直接考，但在各区诊断考试中高频出现，作为B卷23备选题材，学生需掌握其与将军饮马的差异：将军饮马系数均为1，胡不归需将系数转化为某角的正弦值。选取经典问题：抛物线背景，A（-2，0）、B（0，-1），P是第二象限抛物线上一动点，求PA+√2/2PB的最小值。教师引导学生观察k=√2/2=sin45°，构造思路：以PB为斜边作等腰直角三角形，或利用三角函数将√2/2PB转化为P到某定直线的垂线段长。具体操作：过点B作直线l，使得l与x轴负方向夹角为45°，过P作PH⊥l于H，则PH=PB·sin45°=√2/2PB。于是PA+√2/2PB=PA+PH，当A、P、H共线且垂直于l时取最小值。这里需要极强的逆向思维——不是先有直线l，而是根据k值构造出使垂线段等于k·PB的定直线。教师将此步骤口诀化：【难点】胡不归，看系数，化为正弦找定线；垂线段，连定点，共线垂直得最值。由于此模型思维跨度大，此处不展开多题，强调“见小于1的非1系数，优先联想胡不归”，并对比阿氏圆（系数常大于1或等于1但点在圆上）进行辨析。

环节三：阿氏圆模型——蜻蜓点水与定向衔接（10分钟）

阿氏圆在成都中考正卷近五年未出现，但在竞赛选拔及部分名校期末压轴中偶有露面。此处仅做简要对比式介绍：阿氏圆同样是PA+k·PB最值，但动点P在圆上，而非直线上。核心是利用圆上点与定点比例关系构造母子型相似，将k·PB转化为某条定线段。鉴于课时紧张及成都考情，将此内容置于微专题拓展，课内仅以成都2020年某区模拟题为例板演思路：圆O半径为r，A在圆外，B在圆内，在圆上找点P使PA+2PB最小，需在OB上截取OC=r²/OB，则△POC∽△BOP，PC=PB·r/OB，将系数处理为1。此环节不做全员要求，标注【一般】【冷门】，但为学有余力者打开一扇窗。

环节四：综合辨析与结构建模（3分钟）

师生共建思维导图框架骨架：最值问题二分法——几何法与代数法。几何法内分：定点定长隐圆、定弦定角隐圆（一箭穿心）；垂线段最短；将军饮马（同侧异侧，和差最值）；瓜豆（主从轨迹一致，旋转缩放）；加权最值（胡不归：化系数为正弦；阿氏圆：构母子相似）。代数法即第三课时核心内容。将此框架以板书左侧固定形式呈现，三课时逐次填充丰满。

（四）第三课时：函数建模——二次函数背景下的几何最值

环节一：送分稳拿——第一问规范速解（5分钟）

成都B卷26题第1问固定为待定系数法求解析式，属于全体学生必得分。本环节以成都2023年B卷26真题切入：抛物线过A（-1，0）、B（4，0）、C（0，2），求解析式及顶点坐标。限时2分钟独立完成，组内交换批阅，重点纠正三种错误：交点式设错符号、顶点坐标公式记反、对称轴计算漏负号。教师强调：纵使压轴题，第一问是保分底线，不求快，但求准。随即追问：若抛物线过A、B且与y轴交于负半轴，对称轴x=1，请口述设解析式的策略。强化灵活设解析式的意识。

环节二：核心突破——铅垂高法求面积与线段最值（18分钟）

此为B卷26第2问的绝对核心，也是全课时的重中之重。以成都2024年B卷26题（改编）为例：抛物线y=-x²+3x+4交x轴于A、B，交y轴于C，P是直线BC上方抛物线上一动点，连接PB、PC，求△PBC面积最大值及此时P坐标；变式为求线段PD最大值，其中D是P在BC上的投影。教师采用“分步建模—归纳步骤—变式巩固”三层螺旋推进。

第一层：建立模型。师生共同回忆坐标系中三角形面积的一般方法——割补法或铅垂高法。这里统一采用铅垂高法：过P作PQ∥y轴交BC于Q，则S=½·PQ·(xC−xB)水平宽。水平宽为定值，面积最大即PQ最大。PQ=yP−yQ，将Q坐标用直线BC解析式表示，PQ即化为关于P横坐标m的二次函数。求顶点坐标即得最值点。教师板书完整规范步骤，每一步旁注依据：设点坐标——求直线解析式——表示竖直线段长——化为顶点式——确认自变量范围（点在线段BC上方对应的横坐标范围）——得出结论。

第二层：变式深化。保持图形不变，将“△PBC面积”改为“P到BC的距离”最大值。学生容易发现这等价于铅垂高PQ与sin∠PQD的关系，但仍需转化为二次函数。教师引导学生用等面积法：d=2S/|BC|，而S最大值已求，故d最大值立得。这是几何与代数的美妙结合，也体现最值问题的多路径特征。

第三层：再变式——斜线段最值。若求PB的最小值呢？直接两点间距离公式，得到关于m的二次函数，根号内二次函数求最值，注意定义域。引导学生比较：竖直线段、斜线段、点到直线距离，代数表征各有特点，但核心统一——化为关于动点横坐标的一元二次函数，在顶点处或区间端点处取最值。教师强调：【绝对核心】函数背景下几何最值通用范式：设动点坐标（一参）→将目标几何量用坐标差表示（弦长公式、铅垂高、点到直线距离）→化为关于参数的二次函数→定义域内求最值。

环节三：思维进阶——含参动点与平行四边形融合（12分钟）

此环节对标B卷26第3问，属于高区分度问题，体现“结构递进化”的成都命题风格-4。例题：抛物线y=x²−2x−3与x轴交A、B，与y轴交C，对称轴l上是否存在点M，抛物线对称轴上是否存在点N？纠错：条件冲突。精准呈现：点P是抛物线上一动点（第一象限），以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标；若Q在某直线运动，求Q路径长度或某线段最值。教师引导学生分类讨论：AC为边还是为对角线？利用平移坐标法或中点公式建立方程。此处最值不再直接来自二次函数，而是来自Q点轨迹被约束在某条线段上，进而转化为第一课时的几何最值模型。这是整专题的最高潮——将代数问题回归几何模型，打通三课时壁垒。由于时间所限，本环节重在思路指引与模型识别，具体计算留作课后分层作业。

环节四：思想升华——数形结合的双向通道（5分钟）

教师播放自制微视频，动态演示“代数表达式可视化”：y=|x²-2x-3|在区间[-2，4]的图像与x轴围成的面积；又如，利用几何画板追踪x²+y²=4上的点与（5，0）连线斜率的范围。虽与中考题型非直接对应，但旨在打开学生的数学视野：形可释数，数可彰形，最值问题的终极武器是等价转化。至此，三课时的教学内容浑然一体。

四、教学资源与支持工具

（一）技术融合策略

全专题教学深度整合信息技术辅助几何直观。第一课时隐圆轨迹生成、第二课时瓜豆主从联动轨迹追踪、第三课时铅垂高动态变化，均采用GeoGebra实时演示。具体实施方式：教师课前制作好ggb脚本，课中通过拖拽主动点，即时生成从动点轨迹，将学生难以凭空想象的“圆生圆”“线段生线段”直观化-6。但不喧宾夺主，动态演示仅作为假设验证与直观支撑，逻辑推演与计算操练仍需纸笔完成，防止出现“眼会手废”。

（二）分层作业与个性化补偿

课后作业分三层：A层（基础巩固）为将军饮马、隐圆、铅垂高直接套用题，题源为近三年成都各区九年级期中真题，要求全体完