期末复习压轴题24个考点（原卷版）-2025-2026学年北师大版七年级数学上学期

期末复习压轴题（24个考点）

【考点1化简绝对值求最值】...................................................................1

【考点2数轴与绝对值的综合】.................................................................2

【考点3幻方与程序框图】.....................................................................3

【考点4整式加减与周长问题】.................................................................4

【考点5由一元一次方程的解求参数】...........................................................6

【考点6线段（含数轴）中的动态问题】........................................................6

【考点7动角问题】............................................................................7

【考点8与钟面角有关的角度计算】.............................................................8

【考点9规律探究】............................................................................9

【考点10多结论问题】........................................................................10

【考点II含字母的绝对值的化简问题】.........................................................11

【考点12有理数运算的规律探究】..............................................................12

【考点13有理数运算的实际应用】..............................................................15

【考点14整式加减中的不含某项问题】.........................................................18

【考点15由整式加减解决整除问题】...........................................................19

【考点16由整式加减解决几何图形问题】.......................................................20

【考点17解特殊的一元一次方程】.............................................................22

【考点18由一元一次方程的解求参数】.........................................................22

【考点19一元一次方程的实际应用】..........................................................23

【考点20与线段（数轴）有关的定值问题】.....................................................25

【考点21与线段（数轴）有关的动点问题】.....................................................26

【考点22角中的旋转问题】....................................................................28

【考点23实际问题中的角度计算】.............................................................30

【考点24与三角板有关的角度计算】...........................................................32

【选填压轴篇】

［考点］化简绝对值求♦值］

［例1］已知(|%+1|+|x-2|)(|y-2|+|y+l|)(|z-3|+|z+l|)=36,则2016%+2017y+2018z的最

大值是_______.最小值是_______.

1/33

【变式1・1】（25-26七年级上•全国•月考）已知.一十=5,|b-c|=8,|c-d|=10,则|。-由的最小值

为（）

A.0B.1C.2D.3

【变式1-2］若0Vp<15,则代数式设一p|+二—15|+忱—8+15）|在口工工工15的最小值是（）

A.30B.0C.15D.一个与p有关的整式

【变式1-3】设实数点氏c满足a<h<c（ar<0）,且忙|V\b\<|a|,则|x-a|+|x—b|-+c|的最

小值是（）.

A.Ia+."B.\b\C.c-aD.-c-a

«3

【考点2数轴与绝对值的综合】

【例2】（25-26七年级上•江苏无锡・月考）如图，数轴上点A、B表示的数分别是a、b,b-a=8：M为数

轴上一点，其表示的数为m,当点M在数轴上移动时，若山一可+|加一/）|的值始终保持不变，则当

|m-a|=3|m—b|时,|m—b|的值为（）

AB

——।-----------«——।------->

a0b

A.2B.2.5C.3D.4

【变式2・1】如图4B,C,D,E分别是数轴上五个连续整数所对应的点，其中有一点是原点，数a对应

的点在8与C之间，数b对应的点在。与E之间，若|Q|+网=3则原点可能是.

।a।।ab।।

ABCDE

【变式2-2］如图，数轴上4个点表示的数分别为人b、c、d.若|q-d|=10,|a-b|=6,|"d|=

2\b-c\,则|c-d|=（）

IIII

abed

A.1B.1.5C.2.5D.2

【变式2-3］如图，数轴上点48,C所对应的数分别为a,b,c且都不为0,BC=2AC.若|2a+b|=|2a-3c|

-\b-3c|,则|2Q+3b+3c|=（用含Q,b的式子表示）.

d

Q

2/33

【考点3幻方与程序格图】

【例3】（24-25七年级上•江苏宿迁•期末）幻方是中国古代传统游戏，多见于官府、学堂.如图有一个类似

于幻方的"如圆"，将一2,-4,-6,0,3,5,7,9分别填入图中的圈内，使横、竖，以及内、外圈上的4

个数字之和都相等.现已完成了部分填数，则图中％+y的值是（）

C.-10D.5或一10

【变式3-1］（24-25七年级上,重庆渝中•月考）在学习完有理数的混合运算后，小明和同学一迎编制了如下

一个运算程序：一开始输入一个非零自然数〃，当〃为偶数时，就用〃除以2,得到一个新的自然数；当〃

为奇数时，我们先把〃乘以3后，其结果再加上1,这样也能得到一个新的自然数.把第一次运算后得到的

新的自然数再次代入程序中，按上述法则继续运算，并不断重复这个运算程序机次，直到运算的结果第一

次为1时，终止此程序，我们就称〃，是自然数〃的病.例如自然数n=8时，则第一次运算8+2=4,第二

次运算4+2=2,第三次运算2+2=1,这样经过3次运算后结果第一次为1,则称8的燔m=3.若输入

自然数九=3,则自然数3的熠tn=若一个自然数〃的嫡m=10，则满足条件的所有可能的自然

数〃的取值之和为,

【变式3-2】"幻方〃最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字

之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将一4,-2,-1,2,3,4,6,7填入如国2所示的“幻

方"中，部分数据已填入，则（d—c+b）。的值为,

3/33

9

13b

图1图2

【变式3-3］如图是计算机程序的一个流程图，现定义：“x-x+2"表示用％+2的值作为x的值输入程序再

次计算.比如：当输入％=2时，依次计算作为第一次“传输〃，可得2x2=4,4-1=3,32=9,9不大

于2024,所以2+2=4,把无=4输入程序，再次计算作为第二次“传输〃，可得4X2=8,8-1=7....

若输入％=1,那么经过（）次，传输”后可以输出结果，结束程序.

/输个x/

、___

X2

-1X—+2

平方1

<^^024>—

/输1出/

（结束）

A.11B.12C.21D.23

【考点4整式加UC与周长问题】

【例4】（24-25七年级上•甘肃临夏•期末）如图,在矩形4BCD中放入正方形4EFG,正方形MHRH,正方形

CPQN,点E在AB上,点M、N在BC上，若4E==n,MN=m,CN=q,则图中右上角阴影部分的周长与

左下角阴影部分的周长的差为（）

4/33

C.m+nD.2m

【变式4-1】CS16七年级上.广东汕头.期末）把如图1的两张大小相同的长方形卡片放置在图2与图4中

的两个相同大长方形中，己知这两个大长方形的长比宽长10cm,若记图2中阴影部分的周长为Ci，图3中

【变式4-2］（24-25七年级上•安徽亳州•月考）将图1中周长为32的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4

号正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为50的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长

为（）

图1

A.18D.48

【变式4-3】（25-26七年级上•浙江杭州•期末）将（1）和（2）两张正方形纸片按图示两种方式放置在同一

个长方形中.图（1）中阴影部分的周长和为血，图（2）中阴影部分的周长和为n，且力M=/VD.若

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【考点5由TE-次方程的解求参数］

【例5】（25-26七年级上•重庆・期末）已知k为整数，旦关于如t方程h+1=3%+6的解为正整数，则整数

k的值为_____.

【变式5-1】己知关于x的一元一次方程就7+。=2023%的解是为=2022,关于y的一元一次方程^

+2023C=一。的解是y=-2021（其中b和c是含有y的代数式），则下列结论符合条件的是（）

A.b=—y—l,c=y+1B.b=1—y,c=y—1

C.b=y+l,c=—y—1D.b=y—l,c=l—y

【变式5-2】已知关于%的方程“—警=争一2有非负整数解，贝!整数。的所有可能的取值的和为（）

A.-23B.23C.-34D.34

【变式5-3］（24-25七年级下•重庆万州•月考）若不论A取什么数，关于x的方程驾巴一士#=1（m、〃

是常数）的解总是则m+n的值是（）

A.-0.5B.-1.5C.0.5D.15

【考点6线段（含数轴）中的动态何愿】

【例6】如图，已知数轴上的点C表示的数为6,点力表示的数为一4,点4是4C的中点，动点。从点力出

发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，运动时间为，秒（£>0）,另一动点。，从3出发,

以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，旦P，。同时出发，当/为______秒时，点。与点。之

间的距离为2个单位长度.

ABC

—1----*-----1—►

【变式6-1］如图，已知力，8两点在数轴上，点/表示的数为一10,。8=2。4点〃以每秒1个单位长

度的速度从点/向右运动，点N以每秒3个单位长度的速度从点3向左运动（点M、点N同时出发），经

过儿秒，点用、点N分别到原点。的距离相等（）

AOB

-------1---------------->---------------------<------>

-100

A.5秒B.5秒或4秒C.5秒或当秒D.•^秒

【变式6・2】如图1,点C在线段AB上，图中共有三条线段48、4c和BC,若其中有〜条线段的长度是另外

一条线段长度的2倍，则称点。是线段<8的“好点J如图2,已知4B=16cm.动点P从点4出发，以2cm

/s的速度沿48向点8匀速运动；点。从点8出发，以1cms的速度沿BA向点力匀速运动，点P,0同时出

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发，当其中点〃到达终点时，运动停止；设运动的时间为t（s），当《=_____5时，。为线段48的“好点〃.

【变式6-3］（24-25七年级上•陕西西安•月考）如图，M是定长线段A8上一定点，点。在线段AM上，点。

在线段BM上，点。、点。分别从点M、点8出发以lcm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如

箭头所示.若点C、。运动时，总有=N是直线48上一点，且8N—8N=MN,则等=一.

/iD

,<，|1,

4cMBAMB

图1图2

【考点7动角问摩】

【例7】（24-25七年级下•黑龙江大庆•期末）如图1,射线0C在乙4。8的内部，图中共有3个角：4力。8,^AOC

和280C,若其中有一个角的度数是另一个角度数的三倍，则称射线0C是乙4。8的“启仔等分线如图2,

△MPN=80°,若射线PE绕点P从PN位置开始，以每秒8°的速度顺时针旋转，当/EPN首次等于180°时停止

旋转，设旋转的时间为£（秒）.当1=___时，射线PN是NEPM的“启仔等分线

【变式7-1］如图，点O在直线48上，过。作射线OC,480c=120。，一直角三角板的直角顶点与点。

重合，边OM与。8重合，边ON在直线的下方.若三角板毙点。按每秒10。的速度沿逆时针方向旋转

一周，在旋转的过程中，第，秒时，直线ON恰好平分锐角乙4",则/的值为（）

A.5B.6C.5或23D.6或24

【变式7-2］（24-25七年级下•湖南永州•期末）如图1,。为直线45_L一点，作射线0C,使

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^A0C:AB0C=2A,将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点。处，一条直角边。P在射线0A上.将图1

中的三角尺绕点。以每秒10。的速度按逆时针方向旋转（如图2所示），在旋转一周的过程中，第t秒时，OQ

所在直线恰好平分乙4。。，贝亚的值为.

图1

【变式7・3】（24-25七年级上•江苏无锡•期末）如图，是平角，射线。M从04开始，先顺时针绕点。

向射线。8旋转，到达。8后再绕点O逆时针向射线。/1旋转，速度为6度/秒.射线0N从OB开始，以4度/秒

的速度绕点。向04旋转，到当ON到达。力时，射线0M与。N都停止运动.当MON=24MON时，则t=.

【考点8与钟面角有关的角度计算】

【例8】我们知道在9点整时，时钟的分针与时针恰好互相垂直，那么从9点开始，到10点之前，经过

分钟后，时钟的时针与分针的夹角为105。.

【变式8-1］从时针与分针第一次成90。的角，到时针与分针第二次成90。的角，共经过（）分钟（结果四

舍五入到整数）.

A.30B.31C.33D.39

【变式8・2】（24-25七年级上•福建福州•期末）在日常生活中，时钟是我们常见的计时工具，其时针和分针

按照固定的规律不停地转动着.如图是一个正常运行的时钟表盘，时针和分针有条不紊地围绕着表盘中心

按各自的速度运转.现在是3点钟整，从这个时刻开始，当时针与分针第一次成90。角时，则所经过的时长

（答案四舍五入到整数）是（）

8/33

A.30分钟B.31分钟C.32分钟D.33分钟

【变式8-3］在2点到4点之间，时针和分针的夹角会有成90。的情形，请问这个时间点分别是

【考点9规陋究】

【例9】（25-26七年级上•陕西咸阳•期末）如图，数轴上。,4两点的距离为24,一动点P从点4出发,按以

下规律跳动：第1次跳动到力。的中点41处，第2次从4点跳动到小。的中点儿处，第3次从42点跳动到力2。的

中点心处.按照这样的规律继续跳动到点4/5/6…Az（n>3,九是整数）处，问经过这样2025次跳动后

的点<2025与力遇2的中点的距离是（）

C.124-3x^7D.12-3X短

【变式9-1］（2526九年级上•福建南平期末）在“点燃我的梦想，数学皆有可能〃数学创新设计活动中，小

强设计了一个数学探究活动，他对依次排列的两个整式一小和一九按如下规律进行操作：第1次操作后得到3

个整式一tn，-n,-n4-TH；第2次操作后得到4个整式一m,-n,-n+?n,m...其操作规则为：每次操作

所增加的整式，都是用上一次操作得到的最后一个整式减去其前一整式的差，小强将这个活动命名为“回头

差”游戏.则该“【可头差”游戏的第2023次操作后得到的各整式之和是.

【变式9-2］（24-25七年级上•黑龙江哈尔滨•期末）用黑白两种颜色的正六边形地砖按如下所示的规律，拼

【变式9-3］（24-25六年级下•山东东营・期末）如图，在综合实践课上，老师让同学们动手操作.在乙力。8

内画1条射线，观察发现图中共有3个角：在乙4OB内画2条射线时，则图中共有6个角：在乙403内画3

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条射线时，则图中共有10个角：按照此规律，在乙4。8内画几条射线时，图中共有个角.

【考点10多结论问愿】

【例10】（25-26七年级上•重庆・期末）有理数b,c,d在数轴上的对应点的位置如图所示.则在下列选

项中，正确个数是（）

III」»

abcd

①若ac=0,贝＜0；

②若|c|=2,|d|=3,则d-c=1或d-c=5；

0

③若a+b+c=0且abcH0，则晋+"；）+=

④若赤而为一个五位自然数，则|a—川+|匕一c|+|c—可+|d—外的最大值是17

A.1B.2C.3D.4

【变式10-1］（25-26六年级上•山东淄博・期末）现定义一种运算”：对于若干个数，先将每两个数作差,

再将这些差的绝对值进行求和.

例如：对一3,1,6这三个数进行运算"，得，|-3-1|+|-3-6|+|1-6|=4+9+5=18.

则，对一3,1,6这三个数进行运算”的结果为18.

若关于运算”有下列说法：

①对a,7这两个数进行运算〃的结果是2,则。的值是9；

②对6,—8,10这三个数进行"M运算”的结果是36,则/，的值最大为10,最小为一8；

③对°,-2,5,11这四个数进夕亍运算"，则当c=5时，该运算的结果取得最小值为39.

则以上关干运算〃的说法中，正确的是.（只填写所选择的序号）

【变式10-2］（25-26七年级上•河北衡水・期末）如图，OP是一条拉直的8cm长的细线，把这条细线沿某点

向右折叠，然后在重叠部分的某处剪断得到三条细线，发现这三条细线的长度之比为1：1：2,求折痕处与点P

的距离.甲、乙、丙三位同学讨论后，给出了如下结论：甲：折痕处与点P的距离是5cm：乙：折痕处与点

P的距离是4cm：丙：折痕处与点P的距离是3cm.下列说法正确的是（）

・1

OF

10/33

A.只有甲正确B.甲、乙都正确

C.乙、丙都正确D.甲、乙、丙都正确

【变式10-3](24-25七年级上•吉林长春・月考)如图，点。在直线用?上，0c平分M。。，0E平分

乙A0D.给出下面四个结论：①/AOE与480C互余：②乙BOE与4E。。互补；(3)

^AOD+LBOE=Z.BOD+180°；@LAOC-LBOC=2Z.EOD.上述结论中，正确结论的序号有.

(mis»N]

【考点11含字用的绝对值的化筒间同

【例11】(25-26七年级上•陕西西安•期末)有理数a,b,c在数轴上对应的点的位置如图所示，解答下列问

题：

II1I>

bc0a

⑴化简：|a—b|-|b+c|+|-a+c|；

⑵娉+埼+》+黑的值.

【变式11・1】(25-26七年级上•湖南衡阳・期末)如图点4,8在数轴上分别表示有理数a,b,A,8两点之

间的距离表示为48,在数轴上48两点之间的距离｛8=加一切.

---------1-----1---------1->

a0b

回答下列问题:

(1)1与一3两点之间的距离是,工和一3两点之间的距离是.

(2)若x表示一个有理数，请你化简氏一1|+|无+3|,并结合数轴求|乃一1|+|%+3|的最小值.(写解答过

程)

(3)|x-l|-|x+3|的最大值是.

(4)|x-l|+|x-2|+—3|的最小值是.

(5)|x-l|+|x-2|+|x-3|+仅一4|的最小值是・

(6)|x-l|+|x-2|+|x-3|+……\x-2025|的最小值是.

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【变式11-2]（25-26七年级上湘建福州•期末）定义：将三个不等于0的有理数a,b,c两两相除（其中对

于％b可得去?两种商），得到的商是6个互不相等的数（相等的商看作是一个数），称这机个数为这三个

有理数的“互商组〃，m为该“互商总”的基数.

例如，对于三个有理数1,2,3,得至上互商组Jy1,2,p13,71Iq-其基数为6.

⑴求2,2,—6的“互商组”；

⑵请举例探究对于任意三个不等于0的有理数a，b,c的“互商组〃的基数m的所有可能取值；

⑶已知三个不等于。的有理数a,b,c的“互商组〃是d,e,f,它们在数轴上所表示的点分别是D,E,F（如

下图）.若|x—d|+|x—e|+的最小值为4,且a+b+c=5,求abc的值.

DEOX

【变式11-3]（25-26七年级上书建泉州•期末）对于非零的有理数a,当a>0时，|a|=a；当aVO时，

|a|=-a.读以上材料，完成下列问题：

（1）若。二-2,求呼的值；

⑵若ab>0,求手+早的值：

⑶已知几个非零的有理数%,...»Qn-l，«n（n>4）,记入1=2，X2=臂，.“，％1=者，若+%2工3

+xn-iXn4-xnXi=0,试说明：几一定能被4整除.

【考点12有理数运算的规律探究】

【例12】（25-26七年级上•浙江嘉兴・期末）我校七年级数学兴趣小组成员们自主开展数学微项FI研究.结

合本阶段学习内容的特点，他们决定研究数的一些"神秘"性质.

探索数的神秘性质

尼科马库斯是古希腊

数学家，他的著作《算举例论证：

术入门》中记载了各种13=1：23=3+5；

素材数分门别类的整理成33=7+9+11；

果，其中任何一个整数请你按规律写出：43

m的立方都可以写成

m个连续奇数之和.

规律总结当m是奇数7时，则等当m为偶数10时，则

12/33

号右边式子中的中间等号右边式子中的中

数（即第4个数）为间两个数（即第5和第

;6个数）为.

利用上面结论计算:炉+23+33+…+93+

综合应用0°

103+113.

我们还发现以下规律：已知mN2,nN2,且

m,九均为正整数，如果将nf1进行如图所示的“分

解"；

若m”（且m,n均为不大于7的正整数）的分解

中有奇数17,则m”的值为

拓展延伸-1-]

<3吗

）7/25

3427

、9、29…

【变式12-1]（25-26七年级上四川泸州•期末）数学活动课上,李老师列举了以下等式:

第1个等式：焉=1一号

第2个等式:泰=冷；

第3个等式：盘

根据等式规律，解决下列问题：

⑴写出第4个等式为_______,第九个等式为______；

（2）利用等式规律计算：++3x4+4x5+…+2022x2023,

⑶拓展计算,1x3+3x5+5x7+…+2023x2025,

⑷计算：/专+/+2+*+*+击+++7^

【变式12-2]（24-25七年级上•浙江绍兴•期末）阅读下歹U材料:

第一个等式：Ix2=g（lx2x3-Oxlx2）

第二个等式：2x3=1(2x3x4-lx2x3)

13/33

第三个等式：3x4=1(3x4x5-2x3x4)

第四个等式：4x5=......

以上前三个等式相加可得：

111

1x24-2x3+3x4=-(1x2x3—0x1x2)+-(2x3x4—1x2x3)+-(3x4x5-2x3x4)

OOO

1

=-(1x2x3-0x1x2+2x3x4-1x2x34-3x4x5-2x3x4)

1

="(3x4x5-0x1x2)=20

⑴根据规律写出第四个等式：4x5=」

(2)根据规律写出第〃个等式：nx(n+l)=_：

⑶根据规律计算：1X2+2X3+3X4+-+18X19+19X20

【变式12-3](25-26七年级上•四川•期末)同学们利用正方形面积通过数形结合完成了"击+卷+•••+£

的求值，除了数形结合的方法以外，这类式子也有另一种代数求法，解法如下：

设S=t+*+3+…+5①

将①x;(注意：施前面式子中后一个除以前一个数的值)

$=£+*+…+*+提②

将①一②得S—3="*+*+…+*_©+点+…+£+,

所以25=2-2^*S=1-表.

⑴完成下列计算：3X313=；12x312—11x312=；(用箱表示结果)

⑵利用上述方法,求出3+32+33+方+...+312的值;

(3)【新情景】小聪同学用乐高积木块搭建了一个神奇的“知识塔”，塔的第1级用了lx3块积木，第2级用

了2x32块,第3级用了3x33块按照此规律，直到第12级用了12x312块.已知每级塔的积木

块数都符合层级数x3层线数的规律，若Q=313,求出建造这座“知识塔〃总共需要的积木块数(用含。的

式子表示).

【考点13有理数运苒的实际应S】

【例13】(25-26七年级匕湖北恩施•期末)某工厂根据安排原计划每天生产300个零件，但实际日产量与

原计划相比有出入，下表是一周内的实际日产量.(增产记为正，减产记为负)

14/33

星期一二三四五六日

产量/个+15—6—12—9—8+10+18

⑴日实际产量最多为个，最少为个；

(2)该厂实行计件工资制：若当天完成计划，计划内生产出的零件每个按10元发工资，超额完成的部分每个

按15元发工资；若当天未完成计划，己完成的部分每个按10元的六折发工资，求该厂这一底发放的工资

总额；

⑶若将题干中的“增产记为正，减产记为负"改为"比前一天产量增加记为正，比前一天产量减少记为负”，题

干中表格的数据依次转化为下表数据.直接写出下表中"？”处的数据.

星期一二三四五六日

产量/个…一21.........?...

【变式13-1】(2526七年级上•广东潮州•期末)数学活动：进位制的认识和探究

【阅读材料】如图，第十四届国际数学教育大会(简称/CME-14)于2021年在上海举办.会徽以中国文化

中的“洛书〃与“河图”为原本，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦〃是用我国古代的计数符号写

出的八进制数3745,记为(3745尢.八进制数是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字.八

进制数3745换算成十进制数是3x83+7x82+4x81+5x8°=2021.(规定当aH0时，a°=1).

【任务探究】在现实生活中，我们用得最多的是十进制记数法，满十进一.但在计算机领域中，用到的更

多的是二进制记数法.一个二进制数的各数位上的数字为。和1,满二进一.在计算机中输入一个十进制数

89,经过计算机处理将其转换成一个二进制数：

654321

89=644-16+8+1=1x2+0x2+1x24-1x2+0x2+0x2+1x2°=(1011001)2.

(1)任务1：将十进制数45转换成二进制数是.将二进制数(101001)2转换成十进制数是

(2)任务2：二进制数的数位有两个数字。和1,满二进一.二进制数的加法法则如卜.：

0+0=0,04-1=1,1+0=1,1+1=10(读作”壹零〃，意思是结果为0,并向高位进1).这四条规

则是二进制所有计算的基础.

根据二进制数加法法则，计算(10010)2+(111)2=.

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【拓展应用】任务3：如图1,是小明的准考证号的二维码的简易编码（黑色代表1,白色代表0）,每一

行都代表一个二进制的数字，将每一行的二进制数字转换成十正制数，依次组合到一起就是小明的十进制

图1图2

图2是小辉的准考证号的二维码的简易编码，请通过计算求出小辉的十进制的十位准考证号.

【变式13-2]（25-26七年级上•福建福州•期末）根据以下素材，探索完成任务.

福州市地铁实行里程分段计价票制，具体票价标准如下：

起步价：5公里（含5公里）以内为2元.

里程价：5~15公里（含15公里），每5公里加收1元（不足5公里按5公里计

价）.

15~29公里（含29公里），每7公里加收1元（不足7公里按7公里计价）.

素材29公里以上，每9公里加收1元（不足9公里按9公里计价）.

1备注：

①乘车途中若出站则需重新购票；

②两个地铁站之间里程为两站之间沿地铁的最短线路长度，且往返票价相同.

例如，若某两站之间有两种乘坐线路，长度分别为6公里和16公里，乘车途中没

有出站，按票价标准的计费分别为3元和5元，则此两站之间的里程应为6公里，

票价定为3元.

福州市地铁通过多条线路形成高效便捷的交通环线，如图所示，从凤岗里站到城

门站就有两条不同的线路形成一条环线.（图中各站点间距离均为近似值，帝封

江站，城门站，南门兜站和金山站是不同线路的换乘站，整条环线共有26个站点，

素材其余站点暂不标出）

素材中学生持学生卡享5折优惠，其中空卡工本费为28元（卡内金额0元，需充值后

3使用）：通过“e福州〃APP乘车码，可享9折优惠.

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问题解决

任务小莉乘坐地铁从力站到8站，票价为3元，则力，8两站之间的最长里程是多少

1公里？

小莉从凤岗里站出发，沿路线1（乘坐5号线再换乘4号线）前往城门站游玩，

游玩后再从城门站出发沿路线2（依次乘坐1号线，2号线，5号线）返回凤岗里

任务

站，小莉在往返两地的途中没有出站.请你根据素材2中的地铁线路长度，分别

2

计算路线1和路线2按票吩标准的计费，并通过大小比较思考小莉往返全程的实

际地铁票价.

若小莉沿路线1在风岗里站和城门站之间往返，设其往返来回为一次里程，总里

任务

程数为a次，请你根据素材3的优惠方式分别用含a的代数式表示办学生卡出行

3

和通过，福州”出行的总花费，并思考当总里程数为8次时，哪种方式出行更合算.

【变式13-3]（2S-26七年坡上•北京・期末）国庆期间，某超市各个区域都有促销活动，小明一家去逛该超

市，准备购买纸巾，请你根据以卜.素材帮助小明探索在实际购买过程中哪种活动更优惠.

【素材1】超市的纸巾区域推出两种活动：

活动一：购物满100元减10元，满200元减30元，满300元减60元，…，上不封顶.

活动二：所有商品打8.5折.

【素材2】小明家用的两种纸巾信息如下：1袋清风牌纸巾共12包，超市标价40元/袋；1箱4D溶纸巾共

12包，超市标价60元/箱.

【素材3】小明家平均3天用1包清风牌纸巾，平均5天用1包4D溶纸巾.

【解决问题】

按需要存半年（按180天计算）的量计算，

40元/袋60元/箱

⑴小明家半年需要消耗清风牌纸巾袋，消耗4D溶纸巾箱；

（2）小明家清风牌纸巾还有1袋存货，4D溶纸巾存货不清楚.

①小明需要购买2种纸巾,其中需要购买4D溶纸巾x箱.在不参与促销活动的前提下,所需的总裁用为

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元（用含X的代数式表示）：

②当X=1时，若小明选择活动一，则所需的总费用为元；

③若小明家4D溶纸巾没有存货，选择哪种活动更优惠？请说明理由.

【考点14M中的不含版问题】

【例14］（25-26七年级上•福建厦门•期末）定义：若x—y=m,则称x是y关于胆的相关数.

⑴若6是。关于2的相关数，则a=；

⑵若/是5关于/〃的相关数，A=2mn—3m+n+5,8的值与〃?无关，求8的值.

【变式14-1】（1）一天数学老师布置了一道数学题：已知x=2C17,求整式（炉一6炉一7%+8）—

（一炉一3x+2炉-3）+（炉+5d+4万-1）的值，小明观察后提出：“已知x=2017是多余的”，你认为小明

的说法有道理吗？请解释.

（2）已知整式M=必+5以一3x—1,整式M与整式N之差是3/+4ax—%.

①求出整式N.

②若a是常数，且2M+N的值与x无关，求a的值.

【变式14-2】一个多项式的次数为m,项数为几，我们称这个多项式为m次多项式或者m次n项式，例如：5/

y2-2x2y+3孙为五次三项式，2/-2y2+3xy+2%为二次四项式.

（1）-3xy+2x2y2-4x3y3+3为次项式.

（2）若关于x、y的多项式力=ad—3xy+2x,B=bxy-4x2+2y,已知24—38中不含二次项，求a+b

的值.

（3）已知关于力的二次多项式，。（%3一%2+3%）+/?（2%2+无）+%3—5在X=2时，值是一17,求当％二—2时，

该多项式的值.

【变式14-3］（24-25七年级上•河北秦皇岛•期末）定义新运算”△〃和"口〃：

①定义新运算“△〃：给定有理数a、b,对于整式力、B,规定力△B=Q/l-b8,等式右边是通常的减法、

乘法运算：

②定义新运算“□":给定正整数〃（nN2）,对于整式规定几口时=时2\用4...4"（按从左到右的顺

n个M

序依次做“△”运算）例如：当Q=l、b=2,n=2时，对于4=x,B=y,则有工△B=4-28=x—2y,

2D4=A£^A=X—2X=—x.

⑴当Q=2,b=2时，若A=x+2y,B=2x-3y,求AAB和3口儿

⑵直接写出一组a,力的值，使得对任意一个正整数〃（nN2）和任意一个整式都有"dM=M成立.

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⑶当Q=l,b=2时,若A=4N+3盯+5y2,B=—7孙+6y2+8,若(pM)△(qciB)(p、g为正整

数，Kp>2,q>2)中不含好项，直接写出满足条件的一组p、夕的值.

[考点15由整式加充解决期余问题]

[ft15](25-26七年级上•山东德州•期末)若一个两位数的十位和个位上的数字分别为工和y,我们可将这

个两位数记为方.同