江苏省扬州市仪征市2025-2026学年八年级下学期期末数学试卷（试卷+解析）

2025〜2026学年第二学期期末试卷

八年级数学

（总分：150分时间：120分钟）

友情提醒：所有学生解答应填写到本学科考试所提供的网络阅卷答题纸上，否则一律无效，

答题纸保证卷面整洁，无涂损，不得折叠.

一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，恰

有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1.下列四边形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）

A.等腰梯形B.矩形C.菱形D.正方形

2.下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（）

A.水落石出B.水涨船高C.水滴石穿D.水中捞月

3.下列式子中，为最简二次根式的是（）

A.屁B.6C.瓜D.囱

4.某班级组织活动，为了解同学们喜爱的体育运动项目，设计了如下尚不完整的调杳问卷：

调杳问卷年月________日

你平时最喜欢的一种体育运动项目是（）（单选）

A.B.C.D.其他运动项目

准备在“①室外体育运动，②篮球，③足球，④游泳，⑤球类运动”中选取三个作为该调查问卷问题的备

选项目，选取合理的是（）

A.①②③B.①©⑤C.②③④D.②©©

5.若分式"一中的x和V都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（）

2x+y

A.3x+2yB.3x4-3C.2xyD.3

6.顺次连接矩形的各边中点，所得的四边形一定是（）

A.正方形B.菱形C.矩形D.梯形

7.在学校科技节活动中，聪聪用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具.他先活动学具成为图1

所示菱形，并测得N8=120。，接着活动学具成为图2所示正方形，并测得对角线AC=206cm,则图1

中对角线AC的长为（)

图I图2

A.20cmB.2（）及cmC.2076cmD.20/cm

8.如图，E是cABC。的边AB上的动点，F,G,”分别是BC,DE，E/的中点，连接GT/.若

A.6B.1.5C.y/3D.2

二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）

E—3

9.要使分式一有意义，则x的取值范围是.

10.计算JK+正的结果是____.

11.要了解某班学生的身高情况，适合的调查方式是（填“普杳”或“抽样调杳”）.

12.某校为了有效落实“双减”政策，切实减轻学生过重的作业负担，针对八年级580名学生每天做课后

作业的总时间情况进行调杳，从中随机抽取了60名学生进行每天做课后作业的总时间情况的调杳，该调

查中的样本容量是_________.

13.一只袋内装有3只红球和2只白球，这5只球除颜色外均相同，5人依次从袋中取一只球后并放回，则

第四人摸到白球的概率是.

14.如图，在矩形A5CQ中，A8=3,点E在边BC上，且6石=1，若EA平分NBED，则A。的长是

2Vm

15.若关于工的分式方程一L-3二——的解为非负数,则〃?的取值范围是

x-11一工

16.如图，在矩形ABC。中，AB<BC.分别以A、C为圆心，A3长为半径画弧，交A。、BC于点、

P、Q.连接QQ,BD,若PQ工BD,则合的值等于

17.若。一人=3,ab=2,则———《2叫的值等于________

〃_23〃

18.由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹

为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）.则

图中A8的长应是.

三,解答题（本大题共有10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要

的文字说明、解题过程或演算步骤）

19.因式分解:

⑴X3-4X；

(2)4y3-8y2+4y.

20.计算:

(1)V45-V25+V5;

(2)V48-V3-

21.如图，老师在屏幕上展示了一个等式.按要求解答下列问题:

x2-1

M=](M是一个代数式)

X+X

（1）求代数式M；

（2）从一2，-1,0中选一个合适的数作为1的值，代入求M的值.

22.为了解某景区外地自驾游客的分布情况，某日小桐随机调查了该景区附近部分宾馆停车场的车辆数，根

据车牌号归属地的不同，绘制了如下统计图（不完整）：

不同归属地的车辆数条形统计图不同归属地的车辆数分布扇形统计图

（1）小桐共调查了_______辆车，“豫”对应扇形的圆心角为_______°；

（2）补全条形统计图；

（3）若该景区附近宾馆停车场当日共有450辆外地自驾游客的车辆，估计其中车牌号归属地为“皖”的

车辆有多少？

23.列方程或方程组解应用题：

为峋应低碳号召，肖老师上班的交通方式由自驾车改为骑自行车，肖老师家距学校15千米，因为自驾车的

速度是骑自行车速度的4倍，所以肖老师每天比原来早出发43分钟，才能按原时间到校，求肖老师骑自行

车每小时走多少千米.

24.如图，在。A8CZ）中，点E,F分别在A。，BC上,AE=CF,连接BE，DF.

（1）求证：四边形£»尸。是平行四边形：

（2）已知AB=4,AZ）=8,ZBAD=nO0,当AE的长为时，四边形E8PD是菱形.

25.请判断以下两个命题是真命题还是假命题.如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请用尺规作

图，作出反例，不写作法，保留作图痕迹.

（1）两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数；

（2）一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形.

26.谁的购买方式更划算：刘奶奶和张奶奶喜欢结伴去社区超市购买同一品种的大米，每次购买的价格有

波动，她们各自的购物习惯也有不同.

刘奶奶：我每次买20元的大米：

张奶奶：我每次买2kg的大米.

（1）刘奶奶和张奶奶两次购买大米：第一次大米的价格为6元，kg,第二次大米的价格为5元/kg.两次

购买大米总体看谁更划算？

（2）如果第一次购买大米的价格为m元/kg,第二次购买大米的价格为〃元/kg,且则两次购买

大米总体算下来谁更划算呢？

27.观察下列各式：

V42524520

请你根据上面四个等式提供的信息，解答下列问题：

⑴邑=卜*、=------------=-----------:

（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用机（”为正整数）表示的等式：

（3）利用上述规律计算：J竺+」；

V6481

（4）求:S[+$2+S3+…+$2026♦

28.如图1,矩形A3CO中，A5=6,AO=8,点P在边8C上，且不与点8、C重合，直线AP与OC

的延长线交于点E.

（1）当点P是8C的中点时，求证：

（2）将必心沿直线AP折直得到点8'落在矩形ABCO的内部，延长尸夕交直线AO于点

F.

①证明耳4=0,并求出在（I）条件下A/7的值；

②连接9C,求△PC9周长的最小值：

③如图2,BB'交AE丁点、H,点,G是AE的中点,当/必笈’=2NAE8'时，请判断A8与"G的数量

关系，并说明理由.

2025〜2026学年第二学期期末试卷

八年级数学

（总分：150分时间：120分钟）

友情提醒：所有学生解答应填写到本学科考试所提供的网络阅卷答题纸上，否则一律无效，

答题纸保证卷面整洁，无涂损，不得折叠.

一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，恰

有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1.下列四边形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）

A.等腰梯形B.矩形C.菱形D.正方形

【答案】A

【解析】

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义判断选项即可.

【详解】解：选项A,等腰梯形沿上下底中点所在直线折叠可重合，是轴对称图形；

但旋转180。后无法与原图形重合，不是中心对称图形，符合题意；

选项B,矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；

选项C,菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；

选项D,正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意.

2.下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（）

A.水落石出B.水涨船高C.水滴石穿D.水中捞月

【答案】D

【解析】

【分析】根据不可能事件的定义：在一定条件下一定不会发生的事件是不可能事件，进行逐一判断即可

【详解】解：A、水落石出是必然事件，不符合题意；

B、水涨船高是必然事件，不符合题意；

C、水滴石穿是必然事件，不符合题意；

D、水中捞月是不可能事件，符合题意；

故选D

本题主要考查了不可能事件，熟知不可能事件的定义是解题的关键.

3.下列式子中，为最简二次根式的是（）

A.75^2B.75C.&D.囱

【答案】B

【解析】

【分析】最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式.

【详解】解:A、被开方数含分母，不是最简二次根式;

B、及满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式；

C、我=反，=2、泛，被开方数含能开得尽方的因数4,不是最简一次根式；

D、如=3,被开方数含能开得尽方的因数9,不是最简二次根式.

4.某班级组织活动，为了解同学们喜爱的体育运动项目，设计了如下尚不完整的调查问卷：

调查问卷年月日

你平时最喜欢的一种体育运动项目是（）（单选）

A.B.C.D.其他运动项目

准备在“①室外体育运动，②篮球，③足球，④游泳，⑤球类运动”中选取三个作为该调查同卷问题的备

选项目，选取合理的是（）

A.①②③B.®@@C.②③④D.②®®

【答案】C

【解析】

【分析】在“①室外体育运动，②篮球，③足球，④游泳，⑤球类运动”中找到三个互不包含，互不交叉

的项目即可.

【详解】解：•・•①室外体育运动，包含了②篮球和③足球，

⑤球类运动，包含了②篮球和③足球，

・•・只有选择②®④，调查问卷的选项之间才没有交叉重合，

故选：C.

本题考查收集调查数据的过程与方法，理解题意，准确掌握收集数据的方法是解题的关键.

A

5.若分式:;一中的X和y都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（）

2x+y

A.3x+2yB.3x4-3C.2xyD.3

【答案】A

【解析】

【分析】根据分式的性质即可求解.

A

【详解】解：X和y都扩大为原来的3倍得到；3（八+v）

因为分式的值不变

所以A是同时含有工和的一次二项式

故选：A

本题考查分式的性质.掌握相关性质是解题的关键.

6.顺次连接矩形的各边中点，所得的四边形一定是（）

A.正方形B,菱形C.矩形D.梯形

【答案】B

【解析】

【分析［本题考查了菱形的判定.因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对

角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形.

【详解】解：如图：四边形A3CD是矩形，

在,,ABZ)中，

AH=HD,AE=EB

：.EH=-BD,

2

同理/GHG=-AC,EF=-AC,

222

又在矩形ABC。中，AC=BD,

:.EH=HG=GF=FE,

•••四边形EFG”为菱形.

故选：B.

7.在学校科技节活动中，聪聪用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具.他先活动学具成为图1

所示菱形，并测得N3=120。，接着活动学具成为图2所示正方形，并测得对角线AC=20Gcm,则图1

中对角线AC的长为（)

图1图2

A.20cmB.2()及cmC.2076cmD.20/cm

【答案】D

【解析】

【分析】如图1中连接3。,AC,如图2中，连接4C.在图2中，利用勾股定理求出3C,在图1中,

只要证明二BCD是等边三角形得到B。的长，再根据菱形的性质与勾股定理即可求解.

【详解】解：如图1中连接4D,AC,如图2中，连接AC.

图I图2

在图2中，

•・•四边形ABCO是正方形,

AB=BC,ZB=90°,

-AC=20>/2cm，AB2+BC2=AC2，

AB=BC=20cm,

在图1中，•・•四边形ABC。是菱形，Z4BC=120°,

/.AB//DC.CD=BC,AC±BD,AO=CO,BO=DO,

/BCD=180°-NABC=60°，

.・.&gCD是等边三角形，

BD=BC=20cm»

/.BO=DO=—BD=10cm,

2

CO=dBC?-BO?=V202-102=10x/3(cm),

AC=2AO=20x/3cm.

8.如图，E是c/WCD的边A6上的动点，F,G,〃分别是〃C,DE，石厂的中点，连接G〃.若

A3=2，4)=4，ZA=I2O°,则GH的长为()

A.V2B.1.5C.GD.2

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了平行四边形的性质，中位线定理，勾股定理，解题的关键是正确画出辅助线，掌握三角

形的中位线等于第三边的一半.连接。尸，过C作CK_L。尸，根据G,”分别是。E,E尸的中点得到

GH=-DF,由平行四边形性质可得/C=/A=120。，BC=AD=4,CD=AB=2,可得

2

CD=CF=\BC=2,得到NCFK=30°,即可得到CK=?C/=1,则根据勾股定理可得FK的长度,

进而可得。b，即可解答GH.

【详解】解：连接。尸，过。作CK_L。/，

；G,〃分别是。石，£方的中点，

・•・GH=-DF,

2

•・•在中，AB=2,4)=4,ZA=120°,

/.ZC=ZA=120°,BC=AD=4,CD=AB=2,

•・•「是3C的中点，CK上DF,

：.CD=CF=-BC=2,

2

：./C既=30°,

：.CK=-CF=\,

2

在RtZXCFK中，FK=>JCF2-CK2=V3»

:'DF=2FK=25/3,

・•・GH=-DF=y/3,

2

故选：C.

二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）

9.要使分式土口有意义，则x的取值范围是______.

x+1

【答案】工工一1

【解析】

r—3

【分析】由分式一有意义，可得1+1=0,再解不等式即可得到答案.

X+1

r—3

【详解】解：.••分式一二有意义,

X+1

\R+1?0,

解得：XW—1,

故答案为：XW—1.

本题考查的是分式有意义的条件，掌握“分式的分母不为0”是解本题的关键.

10.计算如十④的结果是.

【答案】4年

【解析】

【分析】先利用二次根式的性质亿简，再加法运算即可.

【详解】解：718+5/2

=3叵+0

=45/2»

故答案为：4G.

木题考查二次根式的加法，正确求解是解答的关键.

11.要了解某班学生的身高情况，适合的调查方式是（填“普查”或“抽样调查”）.

【答案】普查

【解析】

【分析】本题主要考查学生对普查和抽样调查适用场景的理解.普查适用于总体数量较小、需要精确数据的

情况：抽样调查适用于总体数量庞大、有破坏性或难以全面调查的情况.题目中“某班学生”属于有限且小

规模的群体，调查身高不会涉及破坏性操作或隐私问题，因此适合采用普查方式获取全体数捱.

【详解】解：要了解某班学生的身高情况，适合的调杳方式是普查.

故答案为：普查.

12.某校为了有效落实“双减”政策，切实减轻学生过重的作业负担，针对八年级580名学生每天做课后

作业的总时间情况进行调查，从中随机抽取了60名学生进行每天做课后作业的总时间情况的调查，该调

查中的样本容量是.

【答案】60

【解析】

【分析】根据样本容量的定义，一个样本包含的个体数量叫做样本容量，据此即可求解.

【详解】解：本次调查中随机抽取了60名学生进行调查，因此样本容量是60.

13•一只袋内装有3只红球和2只白球，这5只球除颜色外均相同，5人依次从袋中取一只球后并放回，则

第四人摸到白球的概率是.

2

【答案】-##0.4

5

【解析】

【分析】第四人摸到球的情况共有5种，而第四人摸到白球的有2种情况，用概率公式进行计算即可得到

答案.

【详解】解：根据题意得：

第四人摸到球的情况共有5种，而第四人摸到白球的有2种情况，

・..第四人摸到白球的概率是：2,

5

故答案为：—.

本题主要考查了简单的概率计算，熟练掌握计算公式：概率=所求情况数与总情况数之比，是解题的关

键.

14.如图，在矩形A3CD中，48=3,点E在边上，且跳：=1，若EA平分NRED,则4D的长是

【能案】5

【解析】

【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，根据矩形的性质，角平分线的性质，得到=设

AD=x,在中，利用勾股定理进行求解即可.

【详解】解：•・•矩形ABC力中，AB=3,

：.AD||BC,CO=A3=3,AD=BC,NC=90。，

:.^AEB=NDAE,

•••E4平分N8E£＞，

：・ZAEB=/DEA，

:.ADEA=ZDAEf

:・AD=DE，

设AD=JV,则：DE=13C=x,CE=BC-BE=x-lt

在RtAOCE中，由勾股定理，得：X2=(X-1)2+32,

解得：x=5,

AD=5：

故答案为：5.

2xHl

15.若关于x的分式方程-----3=—的解为非负数，则加的取值范围是__________.

x-l1-X

【答案】

m之一3且m工-2

【蟀析】

【分析】解出分式方程后，根据解为非负数求出〃?的范围，再根据分式方程分母不为零排除增根对应的机

值，即可得到答案.

【详解】去分母，方程两边同乘/一1,得2元一3(1-1)=一机，

去括号得2x-3x+3=-m,

整理得x=m+3,

分式方程的解为非负数，

.,.W7+3NO,

解得/〃之一3,

又二分式分母不能为0,即XH1,

即加+-2,

，的取值范围是rn之一3且m工-2.

16.如图，在矩形48co中，AB<BC.分别以A、C为圆心，AN长为半径画弧，交A。、BC于点

BC

P、Q，连接PQ,BD，若PQLBD,则2的值等于.

【答案】及+1##1+及

【解析】

【分析】连接族，DQ.根据矩形性质和作图可得AP=CQ=A3,进而证明四边形尸8。。是平行四

边形，结合A2~L3。判定其为菱形，利用菱形性质和勾股定理建立AO与A8的数量关系.

【详解】解：连接8P,DQ.

•・•西边形A8CO是矩形,

AAD//BC,AD=BC,/A=90°,

由作图可知：AP=CQ=ABt

AAD-AP=BC-CQ,gpPD=BQf

•・•PD//BQ,

・•・四边形FBQD是平行四边形，

•・•PQ±BD,

・•・四边形是菱形，

BP=PD,

•・,在Rt,A8?中，4P=AB,/A=90°,

：•BP=JAB?+A尸=CAB，

・•・PD=>/2AB，

AAD=AP+PD=AB+y/2AB={\+y/2]AB,

(1+&)4B_

•・•AD_----L—=V2+1-

AB~AB

T7.若a-b=3,ab=2,则二——“一二的值等于_________.

a2-23b

【答案】

2

【解析】

【分析】先利用已知条件。一〃=3,ab=2,推导得到片=3,7+2,再通过整体代入化简所求分式即可.

【详解】解：・・・。-6=3,

/./?=«-3>

*/(ib=2,

/.“(a-3)=2,

-3a=2，

••(T=3a+2，

._J___/-10

•・#-2一_3b~

134/4-2-10

―3〃+2-2--3(^-3)

13〃一8

~3a~3(a-3)

_a-3tz(3tz-8)

3a(a-3)3a(a-3)

_-3a2+9〃-3

3a2-9a

-3(3a+2)+9a-3

3(3a+2)-9a

=-9

~~6

3

=----

2,

18.由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹

为了平分一块边长为I的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）.则

图中A8的长应是_____.

【答案】V2-1

【解析】

【分析】根据裁剪和拼接的线段关系可知CO=G，BD=CE=\,在用-ACO中应用勾股定理即可求

解.

【详解】解：•・•地毯平均分成了3份,

・•・每一份的边长为，］=立，

V33

：•c。=G,

在Rt&ACD中，根据勾股定理可得A。={CD2-AC?=叵，

根据裁剪可知8O=CE=1,

AB=AD-BD=42-］，

故答案为：V2-1.

本题考查勾股定理，根据裁剪找出对应面积和线段的关系是解题的关键.

三,解答题(本大题共有10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要

的文字说明、解题过程或演算步骤)

19.因式分解：

(1)x3-4.r；

(2)4)户-8)2+4y.

【答案】(1)x(x+2)(x-2)

【解析】

【小问1详解】

解：x3-4x=x^x2-4)=x(x+2)(x-2).

【小问2详解】

解：4y3-8y2+4y=4y(y2-2y+1)=4y()，一11.

20.计算：

(I)>/45->/25+>/5;

（2），48+y/3—

【答案】(1)4石一5

⑵2-V6

【解析】

【小问1详解】

解：x/45->/25+>/5

=3亚-5+亚

=4百—5.

【小问2详解】

解:x/48-V3-^xV12-7（-2）2

=716-76-2

=4-遥-2

=2-J•

21.如图，老师在屏幕上展示了一个等式.按要求解答下列问题:

2-1

M•x:一二1（M是一个代数式）

x~+X

（1）求代数式M；

（2）从一2，-1，0中选一个合适的数作为1的值，代入求M的值.

X

【答案】（1）—

X-1

⑵2

3

【解析】

【分析】本题主要考查了分式的意义、分式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.

（I）根据运算法则进行化简即可：

（2）由题意，得xwO,xw±l,只能选x=-2,代数求值即可.

【小问1详解】

解：由题意，得士匚

X+X

x（x+l）

=（x+l）（x-l）

X

=-----

x-1'

【小问2详解】

解：由题意，得xwO,XW±1,

只能选x=-2,

»-22

M=-----=—.

22.为了解某景区外地自驾游客的分布情况，某日小桐随机调查了该景区附近部分宾馆停车场的车辆数，根

据车牌号归属地的不同，绘制了如下统计图（不完整）：

不同归属地的车辆数条形统计图不同归属地的车辆数分布扇形统计图

（1）小桐共调查了_______辆车，“豫”对应扇形的圆心角为_______°；

（2）补全条形统计图；

（3）若该景区附近宾馆停车场当口共有450辆外地自驾游客的车辆，估“其中车牌号归属地为“皖”的

车辆有多少？

【答案】（1）150,36

补全统计图如下;

不同归属地的车辆数条形统计图

【分析】此题考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体等知识.

（1）用车牌号归属地为“苏”的车辆数除以对应的百分比即可求出调查的车辆数，再由360。乘以“豫”的

车辆数对应的百分比即可求出圆心角度数：

（2）求出车牌号归属地为“鲁”的车辆数,再补全统计图即可:

（3）用所有车辆数乘以车牌号归属地为“皖”的车辆的百分比即可求出答案.

【小问1详解】

解：75+50%=150（辆），

即小桐共调杳了150辆车，

—xl00%x360°=36°,

150

即“豫”对应扇形的圆心角为36。，

故答案为：150,36

【小问2详解】

车牌号归属地为“鲁”的车辆数为：

150x18%=27（辆）,

【小问3详解】

21

450x——x100%=63（辆）

150

答：其中车牌号归属地为“皖”的车辆有63辆.

23.列方程或方程组解应用题：

为峋应低碳号召，肖老师上班的交通方式由自驾车改为骑自行车，肖老师家距学校15千米，因为自驾车的

速度是骑自行车速度的4倍，所以肖老师每天比原来早出发45分钟，才能按原时间到校，求肖老师骑自行

车每小时走多少千米.

【答案】15千米

【蟀析】

【分析】根据题意，骑自行车的时间=开汽车的时间+45分钟，分别表示两个时间列方程求解.

【详解】解：设肖老师骑自行车每小时走x千米.

根据题意得："一二=学，

x4.r60

解得x=15,

经检验x=15是原方程的解，并符合实际意义，

答：肖老师骑自行车每小时走15千米.

本题考查列分式方程解应用题，寻找题中相等关系是关键.

24.如图，在aA5C£＞中，点E,尸分别在4。，3C上，AE=CF,连接应:，DF.

(1)求证：四边形E种D是平行四边形；

(2)已知45=4,4。=8,ZBAD=\20°,当AE的长为时，四边形班是菱形.

【答案】(1)

证明：四边形ABC力是平行四边形，

AD//BC,AD=BC,

..ED||BF.

又AE=CF,

:.ED=BF，

••・四边形£WT＞是平行四边形.

12

(2)——

5

【解析】

【分析】本题考查平行四边形和菱形的判定，难度适中，解题关键是熟练掌握它们的判定方法并灵活运用.

(1)根据一组对边平行且相等判断四边形项/7)是平行四边形即可；

(2)根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可求出AE的值.

【小问1详解】

略

【小问2详解】

解：作AG_L8C于点G,作于点儿

v/W||BC,

；四边形AG//E是矩形，

AG=HE,AE=GH,

•.ZBAD=120°,

ZABC=180°-ZfiA£)=60°,

,\ZBAG=30°,

・.A8=4,

BG=-AB=2

2>

・•・在Rt_48G中，AG7AB2-BG?=代-*=2尽

设AE=G”=x,

,/AD=8,则OE=8£1=8-x,

在RtaBE”中，BH?+EH?=BE?，

（X+2）2+（2X/3）2=（8-X）\

解得：AE=x=—f

5

・••当=£时，四边形是菱形.

25.请判断以下两个命题是真命题还是假命题.如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请用尺规作

图，作出反例，不写作法，保留作图痕迹.

（1）两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数；

（2）一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形.

【答案】（1）它是真命题，证明如下：

设两个连续的正奇数分别为2%-1,2Z+1,其中k为正整数，

・・・（24+1）2_（2女_1）2=［（24+1）+（2左―1）］［（24+1）_（2攵_1）］=4左><2=84,

・・・）为正整数,

・•・肽是8的倍数,

・・・（2左+1）2—（22一1）2是8的倍数，

即两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数.

（2）它是假命题，反例为等腰梯形.

如图，在四边形A8EO中，DE"AB,AD=BE,满足了一组对边平行，另一组对边相等，但它不是

平行四边形.

【解析】

【分析】（1）用字母表示两个连续正奇数，利用平方差公式化简计算，结果为8与正整数的乘枳，可判断命

题为真；

(2)等腰梯形满足一组对边平行，另一组对边相等，但不是平吁四边形，可以作为反例说明命题为假.作

任意线段4B,以大于长为半径，分别以点4,B为圆心画弧，交于点C,则AC=3C,_A5c是

2

等腰三角形，ZA=ZB=^(180°-ZC).以点C为圆心，以小于AC的长为半径画弧，分别交AC,BC

于点D,E,则CD=CE,即/\CDE是等腰三角形，NCDE=4CED=^(180°-ZC),因此Z.CDE=ZA,

可得到。E〃A8,又由线段的和差得到A0=8£，从而得出四边形A8EO是等腰梯形，据此可作为该命

题的反例.

【小问1详解】

略

【小问2详解】

略

26.谁的购买方式更划算：刘奶奶和张奶奶喜欢结伴去社区超市购买同一品种的大米，每次购买的价格有

波动，她们各自的购物习惯也有不同.

刘奶奶：我每次买20元的大米；

张奶奶:我每次买2kg的大米.

(1)刘奶奶和张奶奶两次购买大米：第一次大米的价格为6元，kg,第二次大米的价格为5元/kg.两次

购买大米总体看谁更划算？

(2)如果第一次购买大米的价格为，〃元/kg,第二次购买大米的价格为〃元/kg,且加则两次购买

大米总体算下来谁更划算呢？

【答案】(1)

两次购买大米总体看刘奶奶更划算

(2)

两次购买大米总体看刘奶奶更划算

【解析】

【分析】(I)已知两次大米的具体单价，根据两人的购买规则分别计算总花费、总质量，求出平均单价后

比较大小即可得出结论；

(2)用含机、〃的代数式分别表示出两人的平均单价，再通过作差法比较两个代数式的大小，即可得出

结论.

【小问1详解】

解：已知刘奶奶每次购买20元大米，张奶奶每次购买2依大大，第一次单价为6元第二次单价为

5元/依，

刘奶奶两次购买的总花费为：20+20=40（元）

2（）2022

刘奶奶两次购买的总质量为：—+—=—（^）

653

刘奶奶购买大米的平均单价为：40-y=—（元/总）

张奶奶两次购买的总花费为：2x6+2x5=22（元）

张奶奶两次购买的总质量为：2+2=4（依）

张奶奶购买大米的平均单价为：22+4=5.5（元/依）

60uu

—<5.5

11

•••两次购买大米总体看刘奶奶更划算：

【小问2详解】

解：己知第一次单价为/〃元/依，第二次单价为〃元/必，且加¥〃,加>0,/?>0

刘奶奶两次购买的总花费为：20+20=40（元）

刘奶奶两次购买的总质量为：型+竺=20（加+〃）（依

mnmn

刘奶奶购买大米的平均单价为：40・迎竺型=2”（元/总）

nuim+n

张奶奶两次购买的总花费为：2切+2〃（元）

张奶奶两次购买的总质量为：2+2=4（/）

o，力+2〃m+H

张奶奶购买大米的平均单价为：F—=—^~（元&g）

"?+n2mn_(nt+n)~-4mn_Qn-n)

计算两者的差:

2in+n2(机+〃)2(m+n)

•・m>0,〃>0

(m-n)2>0,2(m+n)>0

2(〃?+n)

m+n2mn

n即n----->------

2m+n

•••两次购买大米总体看刘奶奶更划算.

27.观察下列各式：

请你根据上面四个等式提供的信息，解答下列问题:

⑴a=卜*----

（2）请你按照卜.面每个等式反映的规律，写出用，〃（机为正整数）表示的等式:

（3）利用上述规律计算：，悭」；

V6481

(4)求：S]+S2+S3T----(SjQ26.

【答案】(1)1+:-1;

5630

L11।11।1

Sc=I4----y+----------=1H--------------=1H-----;--------

vm~(〃7+1)=tnm+\/??(/??+1)

(4)

2嚼

【解析】

【分析】（1）根据已知等式的规律可得结论;

（2）根据已知等式的规律可得结论:

先将,再根据己知等式的规律可得答案;

L11,11

(4)运用5c〃=〃+[+;------TF=1+---------进行计算即可•

V〃？(772+1)m〃2+1

【小问1详解】

解：55=J1+4+4=!+---=•—

5V52625630

【小问2详解】

解：1=

,11.11,1

Sc=J1+—+—=1+-------=1—

2V2232236

,11,11,1

5c4=J1+F+F=1+-------=1——.

V42524520

1+1+1]

s,“-T=l+小

m〃？十ITm"2+1

【小问3详解】

l4±

+82+92

=i+—L

8x9

=1±.

72

【小问4详解】

解：$+S2+S3+…+S:6

11

=1+1」+1+-++14

12233420262027

11111

=1+1+…+1+1—+（-译）++

20273~320262026

2026