第十二章 实数（压轴题专练）-上海（五四制）七年级数学下册复习

第十二章实数（压轴题专练）

1.己知：x=i（199P-1991--）（〃是自然数）.那么（x-d町1的值是（）

A.1991TB.-199厂2C.（-l）n1991D.（一1）“1991T

2.如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：

①当输出值'为方时，输入值x为3或9；

②当输入值x为16时，输出值y为企；

③对于任意的正无理数y,都存在正整数小使得输入/后能够输出产

④存在这样的正整数x,输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值.

其中错误的是（）

输入r

取算术平方根

输出y

A.①②B.②④C.①④D.①③

3.有这样一种算法，对于输入的任意一个实数，都进行“先乘以-5再加3”的运算.现在输入

一个％=4,通过第1次运算的结果为修，再把与输入进行第2次同样的运算，得到的运算结

果为孙，…，一直这样运算下去，当运算次数不断增加时，运算结果/（）

A.越来越接近4B.越来越接近于一2

C.越来越接近2D.不会越来越接近于一个固定的数

4.我们知道，任意一个正整数〃都可以进行这样的分解：n=pxq（p,夕是正整数，且p斗）,

在〃的所有这种分解中，如果p，夕两因数之差的绝对值最小，我们就称.乂夕是〃的最佳分解,

并规定：尸（〃）寺例如：12可以分解成”12,2x6或3x4,因为12-1>6-2>4-3,所

以3x4是12的最佳分解，所以尸（12）三.如果一个两位正整数Z,r=10x+y（lSr<y<9,x,y

为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为

36,那么我们称这个数/为“吉祥数”.根据以上新定义，下列说法正确的有：（1）/（48）个

4

(2)如果一个正整数机是另外一个正整数〃的平方，我们称正整数〃，是完全平方数，则对

任意一个完全平方数加，总有F(加)=1;(3)15和26是“吉祥数”;(4)“吉祥数”中,F(/)

的最大值为*.()

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.对于任意不相等的两个实数mb,定义运算:。※/)=/-〃+],例如3X2=3?-2?+1=6,

那么(-5)派4的值为()

A.-40B.-32C.18D.10

6.如图，将1、注、VI三个数按图中方式排列，若规定(mb)表示第。排第6列的数，则

(9,3)与(2019,2019)表示的两个数的积是()

1第1排

4342第2排

43421第3排

173421第4排

第4列第3列第2列第1列

A.1B.2C.3D.V6

7.已知max{a，x2,x}表示取三个数中最大的那个数.例如：=9,max{y/x,x1,{百,

92,9}=81.当*二时，则％的值为()

1O

A・£B.高C./D

8.设记号*表示求a,b算术平均数的运算，即a*%=学，那么下列等式中对于任意实数a,b,c

都成立的是()

①a+(b*c)=(a+b)*(a+c)；②Q*(b+C)=(a+b)*C；③Q*(8+c)=(a+b)+(a*c)；④(a*

b)+c=]+(b*2c)

A.①②③B.①②④C.①③④D.②④

a+(b*c)=Q+等(a+人)*(a+c)="+。+

a*(b+c)=+b)*c="

,、，、3a+2b+c2a+b+c

(Q+b)+(Q*c)=-------------a+{b*c)=--------------

a、ab+2ca+b+2ca+b

(a*匕)+c=呼+c-+(Z)*2c)=-+

~2~2=^~

9.现定义一种新的运算：a*b=(a+b)2+(b-a),例如：1*2=(1+2产+(2-1)=3?+1=9,

请你按以上方法计算（-2）+1=（）

A.-1B.-2C.D.

33

10.有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过

程是：输入第一个整数%1,只显示不运算，接着再输入整数必，后则显示卜-司的结果，比如

依次输入1,2,则输出结果是II-21=1；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求

差后再取绝对值的运算.

①依次输入1，2,3,4,则最后输出的结果是1：

②若将2,3,6这3个整数任意的一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是4；

③若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数。，2,仇全部输入完毕后显示的最后结果

为匕若A的最大值为2021,那么k的最小值为2019.

以上说法正确的个数有（）个.

A.0B.1C.2D.3

11.我们把不超过有理数%的最大整数称为有理数%的整数部分，记为㈤，又把％-国称为工

的小数部分，记为区，则有％=[小{行.如：[2.6]=2,{2.6}=0.6,2.6=[2.6]+{2.6}；又如：[―2.6]=

—3,{-2.6}=0.4,-2.6=[-2.6]+{-2.6}；下列说法中正确的有（）个.

①[3.4]=3；

②[-6.2]=-7；

③若1V|%|<2,且{灯=0.6,则%=1.6或％=-1.6；

④方程4[x]-2={%}+3%的解是％=3.25或x=5.75

A.1B.2C.3D.4

12.关于的多项式A=一机盯+九％,B=y2-mxy-ny为常数），下列结论正确的个

数有（）

①当m=n=1Fl寸，若力=0,5lljx-y+1=0；②无论y取何实数，等式8=6y+加恒成立,则（mx+

ri）2=36：③当771=1,九=4时，若4+8=-4,J/jlJx—y=-2；

④当m=0,九=2时，若，4+1+；|力一％2一q=5,贝卜=3.

A.1个B.2个C.3个D.4个

13.对任意一个两位数〃，如果〃满足个位与十位上的数字互不相同，且都不为零，那么称

这个数为“相异数”，将一个“相异数”的十位上的数字与个位上的数字互换位置后，得到一个

新两位数，把所得的新两位数与原两位数的和与11的商记为F5）.例如几=23.互换十位与

个位上的数字得到32,所得的新两位数与原两位数的和为23I32=55,55：11=5,所以

F(23)=5.若s,f都是“相异数”,其中s=10%+3,£=50+y(1WxW9,1<y<9.x,y都

是正整数)，当F(s)+/(£)=15时，则喘的最大值为()

A.2B.1C.TD.4

24

14.下列说法正确的有()

①如果2.0192=a,则201.92=100a

②若37nmy2+⑺+2)x2y-1是四次三项式，则m=±2

③若2+2=0则处=一1

0Ati⑷固，人J|ab1

④31=3,3?=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187-,贝lj3+314-32+334-34+...4-

32。19的末位数字是9

A.1B.2C.3D.4

15.已知有依次排列的两个数6=2,%=3,将第一个数乘2的积加上第二个数得到第三个

数记为的，即的=2%+02；将第二个数乘2的积加上第三个数得到第四个数记为。4,即4=

2a2+的；将第三个数乘2的积加上第四个数得到第五个数记为。5,即。5=2。3+。4,……，以

此类推，下列说法：①。6=53：②。2025+。2024=3（02024+。2023）；③。1986+%985=5X2"85；④

（。+。2）+（。2+。3）'---H（。998+。999）+（。999+。1000）=5（2^99—1）.其中正确的个数是（）

16.在实数范围内因式分解：次—3就-炉=.

17.己知。<”1,且。+”7,则口-专+2的值为.

18.设。，b是任意两个实数，用〃zax/a,b}表示a,b两数中较大者，例如：〃以必-2,-2/=

-2,max{-lf2}=2,max{3,2}=3,参照上面的材料，如果〃7ax-2x+/,-x+2/=-x+2,那么

x的取值范围是.

19.如图，正方形/BCD的边的在数轴上，数轴上点片表示的数为-1,正方形力88的面积为

a2（a>l）.将正方形/18C。在数轴上水平移动，移动后的正方形记为月月（?力‘，点,4、B、C、

。的对应点分别为4、B'、C\D’,移动后的正方形4月。。’与原正方形4BCD重叠部分图形的面

积为S,当S=a时，数轴上点/表示的数是,（用含。的代数式表示）

CD

BO1

20.已知“2+3=10,那么卜一寸=.

21.如"={1,2,行，我们叫集合其中1,2,X叫做集合M的元素，集合中的元素具有确

定性（如x必然存在），互异性（如工工1,x工2）,无序性（即改变元素的顺序，集合不变）.若

集合N={%1,2},我们说M=4.已知集合4={1,0,a},集合8={513、}，若A=8,则b-Q的值

是.

22.如图，正方形48CO和正方形EFGH分别由两张相同的长方形纸片无缝拼接而成，现将

其摆放在桌面上，如图所示，重合部分为甲、乙、丙，其中乙为正方形，记甲、丙的面积分

别为S%S丙,若£=}且桌面被所有纸片覆盖区域的面积为276cm2,则乙的面积为

AEBF

23.对于任何实数〃，可用同表示不超过。的最大整数，如⑷=4,［百］=1.现对72进行如

下操作：下第一次［何=8第二次［弼］=2第三次［狙=1,类似地，只需进行3次操作后变

为1的所有正整数中，最大的是.

24.对于任意的正整数M,记=非IIy“表示%”|y,且产+1口7.则使得5nli

（98!+99!+100!）成立的最大整数九为.

25.观察下列等式：同=36；……，则第〃（〃为正整数）

个等式是

26.阅读下列材料：一般地，〃个相同的因数。相乘Q•“•・・，记为a”.如2x2x2=23=8,此

时，3叫做以2为底8的对数，记为log2底即1。。28=3）.一般地，若Q”=b（Q>0且a*1,Z?>0）,

则〃叫做以。为底力的对数，记为（即，。95=九如34=81,则4叫做以3为底81的对

数，记为1。*81（即109381=4）.

⑴计算以下各对数的值：1。。24=,Log216=,log264=.

（2）写出（1）助我张，。出16、！。①64之间满足的关系式.

⑶由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：幻9aM+/ogaN=（a>0且aHl,

M>0,N>0）.

(4)设a”=N,a-=M,请根据基的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性.

27.如果卜3—3Q+g）2+G+2b+32=o,求3a+2b（4反一3）的值.

28.如果正整数x能够写成两个正整数。与力的和与它们的乘积之和，即x=o+b+",那么

x叫做“和谐数”,其中a+b+时叫做x的“表达式”.例如,因为5=1+2+”2,24=4+4+

4x4,所以5与24都是“和谐数”.

(1)3与20都是“和谐数”,请分别写出它们的“表达式”:

3=_20=_

(2)如果正偶数y是两位数且y是“和谐数”，那么y的最小值是「

(3)在小于20的正整数中，“和谐数”共有一个：

(4)如果“和谐数”工=〃+6+",其中〃=/,b=(〃+1)2,〃是正整数，请说明“和谐数匕是

一个完全平方数.

29.阅读材料，完成下列问题：

材料一：若一个四位正整数(各个数位均不为0),千位和十位数字相同，百位和个位数字相

同，则称该数为成对数，，例如5353、3535都是成对数

材料二：将一位四位正整数用的百位和十位交换位置后得到四位数小/(〃7)=惘-川，

(1)F(1234)=_：F(3232)=_

(2)试证明任意成对数能被101整除；

(3)若Z为一个成对数,另一个成对数s=1000〃+100(〃+4)+10a+(Q+4).(1&W8).若

F(s)+F(/)为一个完全平方数，请求出所有满足条件的尸(Z)的值.

30.计算：V13+2V5+2V7+2V35

31.阅读下面的文字，解答问题.

对于实数我们规定：用符号固表示不大于。的最大整数；用{〃}表示。减去同所得的差.

例如：[6]=1,[2.2]=2,{后}=有-1,{2.2}=2.2-2=0.2.

(1)仿照以上方法计算：[e]={5-0}=；

(2)若R7]=l,写出所有满足题意的整数x的值：.

(3)已知刈是一个不大于2XU的非负数，且满足{60}=U.我们规定：刈=［。。］,户=［。乃］,

/=［4J…，以此类推，直到川第一次等于1时停止计算.当如是符合条件的所有数中

的最大数时，此时yo=,n=.

32.若一个三位数/=次(其中a,b,c不全相等且都不为0),重新排列各数位上的数字必

可得到一个最大数和一个最小数，此最大数和最小数的差叫作原数的差数，记为尸(力.例如，

246的差数/(246)=642-246=396,452的差数月(452)=542-245=297.

(1)已知一个三位数万(其中4Q2)的差数尸("2b)=693,则〃=.

(2)若一个三位数z=而(其中〃、h都不为0)能被4整除，将百位上的数字移到个位得

到一个新数时被4除余3,再将新数的百位数字移到个位得到另一个新数值被4除余2,

则称原数为4的“循环数”.例如：因为344=4x86,443=4x110+3,434=4x108+2.所以344

是4的一个，，循环数，，.求出所有三位数中4的“循环数”并求最大值.

33.若一个四位数，的前两位数字相同且各位数字均不为0,则称这个数为“前介数”；若把这

个数的个位数字放到前三位数字组成的数的前面组成一个新的四位数，则称这个新的四位数

为“中介数”；记一个“前介数”工与它的“中介数”的差为尸(力.例如，5536前两位数字相同,

所以5536为“前介数”；则6553就为它的“中介数”,P(5536)=5536-6553=-1017.

(1)P(2215)=,P(6655)=.

(2)求证：任意一个“前介数々，P(/)一定能被9整除.

(3)若一个千位数字为2的“前介数7能被6整除，它的“中介数”能被2整除，请求出满足

条件的尸(/)的最大值.

题中运用到的分类讨论思想是重要一种数学解题思想方法.

34.数学中有很多的可逆的推理.如果10b=n,那么利用可逆推理，己知〃可求b的运算,

记为b=f(n),如102=100,

则2=/(1OO);101=10000,则4=/(10000).

①根据定义，填空：/(10)=,/(103)=.

②若有如下运算性质：f(mn)=f(m)+f(n),/Q)=/(n)-/(m).

根据运算性质填空，填空：若f(2)=0.3010,则〃4)=；/(5)=:

③下表中与数X对应的八%)有且只有两个是错误的，请直接找出错误并改正.

X1.5356891227

3a-b2aa1-Va-b3-3a4a3-b6a

+c-b+c—c—3c-2b-2c-3b

错误的式子是，;分别改为

35.阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于-1,记为［2=-1①，这个数，叫做虚数单位，

那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为。十万(。，匕为实数)，。叫做这

个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它与整式的加法，减法，乘法运算类似.例如：解方

程/=-1,解得：3i=i,x2=-i.同样我们也可以化简V=?=J4x(-1)=72?Xi2=2i.读完

这段文字，请你解答以下问题：

(1)填空：i3=,i4=,i24-13+i4+•••+t2021=.

(2)已知(a+i)(b+0=l—3i,写出一个以a,匕的值为解的一元二次方程.

(3)在复数范围内解方程：/-4、+8=0.

36.如图1,把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面

积为2的大正方形.由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法.

（1）图2中4、B两点表示的数分别为

（2）请你参照上面的方法：

①把图3中5元的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形.在图3中画出裁剪线，并在图4的

正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长。=.（注：小正方形边长都

为1，拼接不重叠也无空隙）

图3图4

②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上分别用点"、N表示数。以及。-3.（图中标出

必要线段的长）

-4-3-2-101234

37.先阅读材料，再解答问题：

我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题:

求59319的立方根，华罗庚脱口而出，给出了答案，众人十分惊讶，忙问计算的奥妙，你知

道华罗庚怎样迅速而准确地计算出结果吗？请你按下面的步骤也试一试：

（1）我们知道VI丽=10,5/1000000=100,那么，请你猜想：59319的立方根是位

数

(2)在自然数1到9这九个数字中，/=1,33=27S=,73=,93=.

猜想：59319的个位数字是9,则59319的立方根的个位数字是.

(3)如果划去59319后面的三位“319”得到数59,而33=27,43=64,由此可确定59319的

立方根的十位数字是，因此59319的立方根是.

(4)现在换一个数103823,你能按这种方法得出它的立方根吗？

38.观察卜列各式，并用所得出的规律解决问题：

(1)V2«1.414,x/200«14.14,V20000«141.4,..

VO03«0.1732,V3«1.732,V300«17.32,....

由此可见，被开方数的小数点每向右移动位，其算术平方根的小数点向移动

______位.

(2)已知反"3.873,VL51.225,RlJVTSO«;.

(3)VT=1,Viooo=io,Vioooooo=100,....

小数点的变化规律是.

(4)已知沟、2.154,好弓-0.2154,则丫=.

39.概念学习

规定：求若干个相同的实数(均不为0)的除法运算叫做除方，如2+2+2,类比实数的乘方,

我们把2+2+2记作2③，读伦“2的圈3次方”，一般地，把九个a(a*0)相除记作a0读作“a的

圈“次方”

初步探究

计算：⑴2g

(2)(-3)③.

深入思考

我们知道,实数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运算,实数的除

方也可以按照下面的方法转化为乘方运算.

例如：2⑤=2+2+2+2+2=2x?x；x3x?=G)3=a

4ZZ4LO

参考上面的方法，完成下列各题：

(3)计算：(&)⑥=_,(_*产+23==

(4)已知：(52)6=5-―求n的值.

40.【阅读材料】

数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求

59319的立方根.华罗庚脱口而出：“39”.邻座的乘客十分惊奇，忙间其中计算的奥妙.

你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的步骤试一试：

第一步；VV1000=10,V1000000=100,1000<59319<1000000,

/.10<V59319<100.

・•・能确定59319的立方根是个两位数.

第二步：•・•59319的个位数是9,93=729

・•・能确定59319的立方根的个位数是9.

第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59,

而厉〈悌<归，贝1」3〈”而<4,可得30V至59319V40,

由此能确定59319的立方根的十位数是3,因此59319的立方根是39.

【解答问题】

根据上面材料，解答下面的问题

(1)求110592的立方根，写出步骤.

(2)填空：V21952=.

第十二章实数(压轴题专练)

1.已知：x=i(199P-1991--)(〃是自然数).那么(x-d町1的值是()

A.1991TB.-199厂2C.(-l)n1991D.(一

【答案】D

【分析】先计算再求解疗率T,再化简％-再计算(％-4TP)“即可得到答

案.

【详解】解：由题意得：X2=i(1991n-2+19914),

Ax2+1=^(1991n+2+1991Y)

=1(1991«+19914)]2,

贝h-Vx2+1=1(1991n-19914)-l(1991n+19914)

i

=-1991~

.*.(%-V1+x2)n=(-l)n1991"1,

故选。.

【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，算术平方根的含义，负整数指数幕的含义，事

的运算，熟知以上运算的运算法则是解题的关键.

2.如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：

①当输出值y为6时，输入值x为3或9；

②当输入值x为16时，输出值y为&;

③对于任意的正无理数外都存在正整数x,使得输入了后能够输出产

④存在这样的正整数x,输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出歹值.

其中错误的是()

输入^

取算术平方根

输出y

A.①②B.②④C.①④D.①③

【答案】D

【分析】根据运算规则即可求解.

【详解】解：①x的值不唯一.尸3或产9或81等，故①说法错误；

②输入值x为16时，旧=4,,V5=2,y=VL故②说法正确；

③对于任意的正无理数”都存在正整数X,使得输入x后能够输出y,如输入兀2,故③说法

错误；

④当尸1时，始终输不出y值.因为1的算术平方根是1,一定是有理数，故④原说法正确.

其中错误的是①③.

故选：D.

【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：H,27r等；开方开

不尽的数；以及像0.101001000L..,等有这样规律的数.

3.有这样一种算法，对于输入的任意一个实数，都进行“先乘以-也再加3”的运算.现在输入

一个x=4,通过第1次运算的结果为%i，再把与输入进行第2次同样的运算，得到的运算结

果为无2,…，一直这样运算下去，当运算次数不断增加时，运算结果&()

A.越来越接近4B.越来越接近于一2

C.越来越接近2D.不会越来越接近于一个固定的数

【答案】C

【分析】先根据算法得出22),再分别求出刈租巧乙的运算式子，然后归纳

类推出一般规律，最后利用有理数乘方的性质即可得.

【详解】根据算法得：/=-3一1+3(g2且为整数)

变形为%n-2=-如吁】-2)

则*-2-2)

1192

^3-2=--(X2-2)=(--)(%1-2)

^4-2=-1(%3-2)=(--2)

归纳类推得：多一2=(一:尸(小一2)

由题意得：=-1x4+3=l

则/_2=(—x(l-2)=-(-；厂1

即j=2-（4）…=2-^^

当n无限大时，&T无限趋近于0

则/«2-0=2

即当运算次数不断增加时，运算结果/越来越接近2

故选：C.

【点睛】本题考查了有理数的乘方、与实数运算相关的规律型问题，理解新算法，正确归纳

类推出i般规律是解题关键.

4.我们知道，任意一个正整数〃都可以进行这样的分解：片pxq（p,夕是正整数，且pWq）,

在〃的所有这种分解中，如果p,夕两因数之差的绝对值最小，我们就称是〃的最佳分解，

并规定：/（〃）4.例如：12可以分解成"12,2x6或3x4,因为12・1>6・2>4・3,所

以3x4是12的最佳分解，所以/（12）三.如果一个两位正整数3r=10x+y（l<x<y<9,x,y

为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为

36,那么我们称这个数，为“吉祥数根据以上新定义，下列说法正确的有：（1）/（48）3；

（2）如果一个正整数〃7是另外一个正整数〃的平方，我们称正整数机是完全平方数，则对

任意一个完全平方数〃7,总有口（〃7）=1；（3）15和26是“吉祥数”;（4）“吉祥数冲,F（/）

的最大值为右（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】根据最佳分解的定义判断（1）和（2）,根据吉祥数的定义判断（3）和（4）,即可

得出答案.

【详解】（1）48可以分解为"48,2x24,3x16,4x12,6x8

,/48-1>24-2>16-3>12-4>8-6

•••6x8是48的最佳分解，工尸（48）=1,故（1）正确；

（2）对任意一个完全平方数m设m=M（n为正整数）

V|n-n|=0

Anxn是m的最佳分解

・••对任意一个完全平方数m,总有尸故（2）正确；

（3）51-15=36,故15为吉祥数；62-26=36,故36为吉祥数，故（3）正确;

(4)设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为T=10yix

,，为吉祥数

T-t=1Oy+x-(10x+y)=9y-9x=36

y=x+4

Vl<¥<y<9,x,y为自然数

・••吉祥数有：15,26,37,48,59

・・・“15)建,尸(26)=2，/(37)=\F(48)=：,尸(59)=高

・・・最大值为［故(4)正确；

4

故答案选择D.

【点睛】本题考查的是新定义，难度适中，解题关键是掌握最佳分解和吉祥数的概念.

5.对于任意不相等的两个实数a,b,定义运算：a^b=a2-b2+\,例如3X2=32-2?+1=6,

那么(-5)派4的值为()

A.-40B.-32C.18D.10

【答案】D

【分析】直接利用题中的新定义给出的运算公式计算得出答案.

【详解】解：(-5忤4=(-5)2-42+1=10.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了实数运算，以及定义新运算，正确运用新定义给出的运算公式是解

题关键.

6.如图，将1、鱼、百三个数按图中方式排列，若规定(〃，b)表示第。排第b列的数，则

(9,3)与(2019,2019)表示的两个数的积是()

1第1排

4342第2排

43421第3排

143421第4排

第4列第3列第2列第1列

A.1B.2C.3D.V6

【答案】C

【分析】根据观察数列，可得，每三个数一循环，根据有序数对的表示方法，可得有序数对

表示的数.根据实数的运算,可得答案.

【详解】每三个数一循环，1、以5贝I」前8排共有1+2+3+4+5+6+7+8=36个数，

因此(9,3)在排列中是第36+3=39个，

39-3=13,(9,3)表示的数正好是第13轮的最后一个，

即(9,3)表示的数是

前2019排共有1+2+3...+2019=(1+2019)*201X2=2039190个数,

2039190-3=679730,

(2019,2019)表示的数正好是笫679730轮的最后一个数，

即(2019,2019)表示的数是

百*百=3,

故选：C.

【点睛】本题考查了数字的变化类，解题的关键是根据题意找到数字的变化规律.

2x

7.己知/，x}表示取三个数中最大的那个数.例如：=9,max{yjxfx,}=max{\[9f

92,91=81.当/，*}彳时，则工的值为()

A.击B.5C•*D•2

【答案】B

【分析】直接利用最大值的定义分别代入计算得出符合题意的答案.

【详解】解：当7九。%{〃，/，灯彳时，

若怖=总解得：尸短，此时工2<%<«,此时符合题意；

若/=总解得：干―，此时此时不符合题意；

若此时/<%<〃，此时不符合题意，

综上，尸^?

故答案为：B.

【点睛】本题主要考查实数大小比较，算术平方根及其最值问题，解决此题时，注意分类思

想的运用.

8.设记号*表示求a,b算术平均数的运算，即a*仁等，那么下列等式中对于任意实数a,he

都成立的是()

①a+(b*c)=(a+b)*(a+c)；②a*(b+c)=(a+b)*c；③a*(b+c)=(a+b)+(a»c)；④(a*

b)+c=2+(b*2c)

A.①②③B.①②④C.①③④D.②④

【答案】B

【分析】根据材料新定义运算的描述，把等式的两边进行变形比较即可.

【详解】①中Q+(匕*c)=a+等，(a+/?)*(〃+c)="+”"+，=a+告^,所以①成立；

②中Q*(>+<?)=竺手，(“+/>)*《="+：+',所以②成立；

③中，(a+b)+(a*c)=型产，a+(b+c)=殁二，所以③不成立；

,、a+ba、ab+2ca+b+2ca+h匚

④中(a*b)+c=—+c,-+(6*2C)=-4-=-----------=——+c,所以④成乂.

，22222

故选：B.

【点睛】考核知识点：代数式.理解材料中算术平均数的定义是关键.

9.现定义一种新的运算：Q*b=(a+b)2+(b—Q),例如：1*2=(1+2)2+(2-1)=32+1=9,

请你按以上方法计算(-2)*1=()

A.-1B.-2C.1D.

【答案】C

【分析】根据a*l=(a+b)2+(b-a),用-2、1的和的平方除以1与-2的差，求出(-2)*1

的值是多少即可.

【详解】Va*b=(a+b)2(b-a),

・•・(-2)*1

=[(-2)+1]2-[1-(-2)]

=1+3

2

3

故选：c.

【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：

先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号,

要先做括号内的运算.

10.有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过

程是：输入第一个整数%】，只显示不运算，接着再输入整数%2,后则显示卜-司的结果，比如

依次输入1,2,则输出结果是11-21=1；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求

差后再取绝对值的运算.

①依次输入1，2,3,4,则最后输出的结果是1；

②若将2,3,6这3个整数任意的一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是4；

③若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数a,2,人全部输入完毕后显示的最后结果

为k,若k的最大值为2021,那么k的最小值为2019.

以上说法正确的个数有（）个.

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】本题考查了整数的奇偶性问题以及有绝对值的函数最值问题，解题的关键是读懂题

意.①根据题意每次输入都是与前一次运算结果求差后取绝对值，将已知数据输入求出即可;

②根据运算规则可知最大值是5：③根据题意可得出只有3个数字，当最后输入最大值时结

果得到的值最大，当首先将最大值输入则结果是最小值，进而分析得出即可.

【详解】解：根据题意可得出：|1-2|=|-1|=1,

|1-3|=|-2|=2,

|2-4|=|-2|=2,

故①不符合题意；

②对于2,3,6,按如下次序输入：2,3,6,可得||2-3|-6|=5,

按如下次序输入：2,6,3,可得||2-6|-3|=1,

按如下次序输入：3,2,6,可得下-2|-6|=5,

按如下次序输入：3,6,2,可得||3-6|-2|=1,

按如下次序输入：6,2,3,可得下一2|-3|=1,

按如下次序输入：6,3,2,可得||6-3|-2|=1,

全部输入完毕后显示的结果的最大值是5,

故②不符合题意；

③对于随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数a,2,人全部输入完毕后显示的最后结

果为k,若k的最大值为2021,

由②得当最后输入最大值时结果得到的值最大，当首先将最大值输入则结果是最小值；

・••设b为较大的数字，当Q=1时，

||l-2|-b|=\l-b\=2021,

解得：b=2022,

故此时输入后得到的最小数为：

||2022-2|-1|=2019,

故③符合题意；

故选：B.

11.我们把不超过有理数”的最大整数称为有理数无的整数部分，记为旧，乂把x-卜]称为》

的小数部分，记为{灯，则有％=区+{灯.如：[2.6]=2,{2.6)=0.6,2.6=[2.6]+{2.6}；又如：[―2.6]=

—3,{-2.6}=0.4»—2.6=[—2.6]+{-2.6}；下列说法中正确的有()个.

①[3.4]=3；

②[-6.2]=-7；

③若1VIHV2,且{灯=0.6,则x=1.6或％=-1.6；

©方程4[x]-2={x}+3%的解是％=3.25或%=5.75

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本题主要考查了新定义，有理数的运算，方程解，先根据新定义判断①和②，再求

出x=1.6或工=-1.6时㈤判断③，然后将％=田+{灯代入，得到关系式，进而得出㈤和肉的

取值范围，再讨论得出答案.

【详解】因为[3.4]=3,所以①正确；

因为[-6.2]=-7,所以②正确；

当T=1.6时，{1.6}=1.6—[1.6]=0.6,

当Y=-1.6H寸，{-1.6}=-1.6-(-2)=0.4.

故③不正确；

因为x=[x]+{%},4[x]—2={x}+3x,

.,.4[x]-2={x}+3([x]4-{x}),

BP[x]=4{灯+2.

因为0<{X}<1,

所以0£4{x}<4.

当[幻=2时，4{x}=0,即{灯=0,此时x=2；

当[幻=3时,4{x}=1,即{%}=0.25,此时％=3.25；

当卜]=4时,4{灯=2,即{刈=0.5,此时x=4.5；

当㈤=5时，4{x}=3,B|J{%}=0.75,此时％=5.75.

所以x=2或x=3.25或X=4.5或%=5.75.

所以④不正确.

可知正确的有2个.

故选：B.

12.关于％y的多项式4=%2一血盯+九%,B-y2_mXy_ny(瓶,71为常数)，下列结论正确的个

数有()

①当m=A=1时，若8=0,则％-y+1=0；②无论y取何实数，等式8=6y+必恒成立，则(血”+

nF=36；③当m=l,n=4时，若4+8=-4,则x-y=-2；

④当m=0,n=2时,^y/A+1+^\A-x2-4\=5,则％=3.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】当m=〃=l时，若4=0,则x(x-y+l)=0,解得，％=0或%-、+1=0,进而可判

断①的正误;由产-mxy-.y=6y+y2可得(6+n+mx)y=0,由等式B=6y+y2恒成立，可得

6+n+mx=0,计算求解，进而可判断②的正误；由d一町,+轨+产一盯一4y=-4,整理得(％-

y+2)2=0,进而可判断③的正误；由WSTT+小一好一4|=5,可得代亍+|"2|=5,

计算求解，可判断④的正误.

【详解】解：当m=〃=l时，A=x2-xy+x,

V/l=0,

.\x2-xy+x=0,-y+1)=0,

解得，x=O或“一y+l=O,①错误，故不符合要求；

*.*y2—mxy—ny=6y+y2,

:.(64-n+mx)y=0,

•・•无论y取何实数，等式B=6y+y2恒成立，

/.6+n+mx=0,B|J(mx+n)2=36,②正确，故符合要求；

当m=1,几=4时，A=x2-xy-\-4x,B=y2-xy-4y,

V4+F=-4,

：.x2-xy+4x+y2-xy-4y=-4,整理得(x-y+2)2=0,

Ax-y=-2,③正确，故符合要求；

当m=0,九=2时，A=x2+2x,

VV^TT+1|71-X2-4|=5,

4

/.x/x2+2x+1+i|x2+2x-x2-4|=5,整理得，J(%+1)2+反一2|=5,

当xv1时，(xI1)(x2)=5,解得，x=2；

当一1WXW2时，(x+1)-(%4-2)=5,无解；

当x>2时，(x+1)4-(%-2)=5,解得，x=3；

・••④错误，故不符合要求；

故选：B.

【点睛】本题考查了整式的加减运算，完全平方公式，算术平方根的非负性，化简绝对值.熟

练掌握完全平方公式，算术平方根的非负性，化简绝对值是解题的关键.

13.对任意一个两位数小如果〃满足个位与十位上的数字互不相同，且都不为零，那么称

这个数为“相异数”，将一个“相异数''的十位上的数字与个位上的数字互换位置后，得到一个

新两位数，把所得的新两位数与原两位数的和与11的商记为FS).例如ri=23.互换十位与

个位上的数字得到32,所得的新两位数与原两位数的和为23+32=55,55+11=5,所以

F(23)=5.若s,Z都是“相异数"，其中s=10x+3,t=50+y(14x49,1<y<9.x,y都

是正整数)，当/(s)+F(£)=15时，则盟的最大值为()

A.2B.1C.TD.4

24

【答案】B

【分析】本题考查了新定义下实数的混合运算，先用含x的式子表示出歹(s),再用含y的式

子表示出FQ),然后根据x和y的取值求出错的最大值即可.

【详解】解：将s的十位上的数字与个位上的数字互换位置后的数记为，

s=10x+3,

•••s=30+x,

pz、s+s'33+llx.

•*-F(s)=—==3o+%;

将/的十位上的数字与个位上的数字互换位置后的数记为t',

V£=50+y,

:.t=10y+5,

t+t「.

•-W=—=55—+l^ly-=5+y,

•••F(s)+F(t)=15,

•••34-%4-5+y=15,

•••x+y=7,

'-y=T-x,

.尸⑸_“r_R+Y_在丫

••7(0-5+y-5+7-X-12-xf

又门，y都是正整数，

二了最大为6时，最大，

巾匕时且包=-=-,

ULJ12-662

故选：B.

14.下列说法正确的有()

①如果2.0192=a,则201.92=100a

②若3mwy2+(m+2)x2y-1是四次三项式，则血=±2

③若言+%°，*T

©31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187-,则3+31+32+33+34+...+

32。19的末位数字是9

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】①根据等式的性质求解；

②根据四次三项式的定义列方程求解；

③根据有理数的乘法得出*b的关系，再求解；

④根3的基的个位数找出规律，再计算求解.

【详解】解：①•••2.0192=%

:.2.0192x1002=ax1002

(2.019x100)2=1002a

•••201.92=1002a,

故①是错误的；

②若3x|rn|y2+(m+2)x2y-1是四次三项式，

则|m|+2=4,且?n+2H0,

解得：m=2,

②是错误的；

③若占+卷=°，则中异号，

则导T，

③是正确的;

@V31=3,32-9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187--

2019+4=504......3,

(3+9+7+1)x504+3+9+7=1080+19=1099,

...3+31+32+33+34+…+399的末位数字是9,故④是正确的，

故选：B.

【点睛】本题考查了等式的意义，四次三项式的定义，数字规律，有理数加法，掌握相关概

念以及规律是解题的关键.

15.已知有依次排列的两个数4=2,&=3,将第一