问题解决的策略：反思（练习）-北师大版数学八年级上册

一、基础训练

1.如图是一个棱长为6的正方体木箱，点。在上底面的棱上，AQ=2,一只蚂蚁从P点出发沿木箱

表面爬行到点Q,则蚂蚁爬行的最短路程是（）

C.10

2.如图，圆柱的高为8cm,底面半径为|cm,一只蚂蚁从点4沿圆柱外壁爬到点8处吃食，要爬行的

最短路程是（

A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm

3.临汾是帝尧之都，有着尧都之称.尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶

口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志.如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断

的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C,B

为AC的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（）

A.20米B.25米C.30米D.15米

4.如图，一只电子蚂蚁从正方体的顶点A处沿着表面爬到顶点C处，电子蚂蚁的部分爬行路线在

平面展开图中的表示如图的虚线，其中能说明爬行路线最短的是（）

5.如图，己知一个长方体的底面边长分别为6cm和6cm,高为7cm.若一只蚂蚁从点P开始经过4

个侧面爬行一圈到达点Q,则这只蚂蚁爬行的最短路程为cm.

6.如图，无盖长方体盒子的长为15cm,宽为10cm,高为20cm,若BC=5刖，一只蚂蚁沿着盒子

的表面从力点爬到8点，需要爬行的最短路程为cm.

7.如图是一个棱长为6cm的正方体的有盖纸盒，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，其中

BC=2cm,那么蚂蚁爬行的最短行程是多少？

8.如图，圆柱的底面周长是24cm,高是5cm,一只蚂蚁在力点想吃到8点的食物，需要爬行的最短

路径是cm.

二、巩固提升

9.如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半

圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为岑m的半圆，其边缘AB=CD=20m,点E在CD上,

CE=5m,一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为（）米.（边缘部分的厚度忽略

10.如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门

的边和的长，再测量点4和点C之间的距离，由此可推断出乙。是不是直角.这样做的依据是

（）

AIf--------

A.勾股定理B.勾股定理的逆定理

C.三角形内角和定理D.直角三角形的两锐角互余

11.如图，三级台阶的每一级的长、宽、高分别为8dm、3d血、2dm.点A和B是这个台阶上两个

相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最

短路程为（）dm.

A.12B.10C.17D.25

12.如图，一个无盖长方体形盒子的长、宽、高分别为8cn8cm,i2cm,一只蚂蚁想从盒底

的点A沿盒的外表面爬到盒顶的点B,蚂蚁爬行的最短路程是cm.

13.如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm,在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，

此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为一

蚂蚁J

C（蜂蜜）

14.如图所示，长方体的高为3cm,底面是正方形，边长为2cm,现使一绳子从点A出发，沿长方

体表面到达C处，则绳子最短是cm.

15.如图，圆柱形玻璃杯高为12c7〃、底面周长为18c772,在杯内离杯底4cM的点。处有一滴蜂蜜,

此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为

an.

c(a^)

16.为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民生活品质，营造更加宜居和谐的居住环境，幸福

家园小区全面启动了绿化升级工程，以“生态、美观、实用''为原则，科学规划，精心布局，打造多

功能的绿色空间.社区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地(阴影部分).如图，己知A4=9机,

BC=\2m,CD=}lm,AD=Sni,技术人员通过测量确定了ZABC=90Q.

(I)小区内部分居民每天必须从点A经过点8再到点。位置，为了方便居民出入，技术人员打

算在绿地中开辟一条从点A直通点。的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点。将少

走多少路程？

(2)这片绿地的面积是多少？

三、能力应用

17.【问题情境】

数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、鬲分别为20

dm,3dm,2dm,A和B足■个三级台阶上两个相对的端点.

【探究实践】

老师让同学们探究：如图(1),若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃食物，则蚂蚁沿着台阶爬到B

点的最短路程是多少？

(I)同学们经过思考得到如下解题方法：如图(2)为三级台阶的平面展开图，可得到长为20dm,

宽为15dm的长方形，连接AB,经过计算得到AB的长度为,就是最短路程.

(2)【变式探究】

如图(3),已知圆柱底面的周长为6dm,圆柱高为4dm,在圆柱的侧面有一只蚂蚁，从点A爬到

点C,再从点C爬回点A,恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最短路程为.

(3)【拓展应用】

如图(4),圆柱形玻璃杯的高为9cm,底面周长为16cm,在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂

蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁离杯口1cm,且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A

处所爬行的最短路程是多少?(杯壁厚度不计)

答案解析部分

1.【答案】C

【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题

【解析】【解答】解：正方体的部分展开图如图所示，连接PQ,即PQ的长度即为蚂蚁爬行的最短路

程

■/Q

/

由题意可得：PB=AB=6,AQ=2

BQ=6+2=8

:.PQ=飞PB?+BQ?=10

故答案为：C

【分析】根据正方体展开图的特征，结合勾股定理即可求出答案.

2.【答案】C

【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题

【解析】【解答】解：底面圆周长为27r心=12cm,底面半圆弧长为6cm,

n

展开图如图所示，连接AB,

4C

*/BC=8cm,AC=6cm,

-'•AB=yjAC2+BC2=V62+82=10

故选C.

【分析】将圆柱侧面展开，再根据勾股定理即可求出答案.

3.【答案】A

【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题

【解析】【解答】解：根据题意司柱体的展开性质，可得如下图:

其中点E、F分别是AD和BC的中点，展开图四边形ABCD是矩形，AB=6米;

•・•点E是AB的中点，

AAE=iAD=lxl6=8米，

•・•四边形ABCD是矩形，

・•・乙力=90°,

・••在AA8E中，BE=〃B2+4产=7?育=]0米,

•・•点E、F是AD、BC的中点,

・・・DF=BE=10米，

・•・雕刻在石柱上的巨龙的最短距离=DF+BE=10+10=20米.

故选：A.

【分析】根据柱体的性质将其侧面展开，可得矩形ABCD；根据线段中点的性质，可得AE的长

度；根据勾股定理，可得BE的长度；根据两点之间线段最短即可直接计算.

4.【答案】A

【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题

【解析】【解答】解：一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点C,则沿线段AC爬行,

就可以使爬行路线最短，是根据两点之间，线段最短.

故答案为：A.

【分析】先将正方体展成平面图形，确定平面图形中A、C的位置，连接AC,则AC的长即为爬行

路线最短.

5.【答案】25

【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题

【解析】【解答】解：如图所示，将长方体的侧面展开在同一平面内，

由题意，得PA=6+6+6+6=24(cm),QA=7cm,

在中，由勾股定理得：PQ2=PA24-QA2=242+72=625,

解得：PQ=251负值己舍去)

故答案为：25.

【分析】根据勾股定理即可求出答案.

6.【答案】25

【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题

【解析】【解答】解:如图,

二•长方体窗干的宽为10cm,高为20cm,BC=5cm,

-'-AB=yJ202+(5+IO/=25(cm),

故答案为：25.

【分析】将长方体盒子沿过点A的高展开，连接AB,可得线段AB的长度就是蚂蚁爬行的最短距

离，然后根据勾股定理计算即可.

B

7.【答案】解：如图所示.

A

D

VBC=2cm,棱长为6cm,

/.AD=6+2=8(cm),BD=6cm

由勾股定理得,

AB=JB02+加=,82+62=10(cm),

答：蚂蚁爬行的最短行程是10cm.

【知识点】勾股定理的实际应用•最短路径问题

【解析】【分析】根据正方体侧面展开图特征，结合勾股定理即可求出答案.

8.【答案】13

【知识点】几何体的展开图；两点之间线段最短；勾股定理的实际应用-最短路径问题

【解析】【解答】解：如图，作出圆柱的侧面展开图，连接4B、BC,其中

B

C

由题意可知：AC=不x24=12cm,8c=5cm,

・••需要爬行的最短路径是/IB,

・,•由勾股定理得力8=7AC?+8c2=V1224-52=13c?n»

故答案为：13.

【分析】连接力8、BC,其中再根据勾股定理即可求出答案.

9.【答案】A

【知识点】勾股定理逆定理的实际应用

【解析】【解答】解：根据下面的展开图可得AO=4x〃x?=20m'AB=CD=20m,DE=

CZ)-CE=20-5=15(m),

A202+152=AE2,

解得AE=25(负值舍去)，

・••他滑行的最短距离约为25m.

故答案为：A

【分析】根据展开图得到力0=JXTTX以=20m,AB=CD=20m,DE=CD-CE=20-5=

ZTC

15(m),进而根据勾股定理求出AE,从而即可求解。

10.【答案】B

【知识点】勾股定理逆定理的实际应用

【解析】【解答】解：先测量门的边AB和BC的长，再测量点A和点C间的距离，用勾股定理的逆

定理判断：若满足AR2+RC2-AC?,则可判断△ABC是直角三角形，即/B为直角；若

AB2+BCVAC2,则NB不是直角.

故答案为：B.

【分析】根据勾股定理的逆定理，如果AB2+BC2=AC2,则可判断△ABC是直角三角形，由此可推断

NB是否为直角.

11.【答案】C

【知识点】两点之间线段最短；勾股定理的实际应用-最短路径问题

【解析】【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm,宽为(2+3)x3d/n,

8

则妈蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长.

可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm,

由勾股定理得：x2=82+[(2+3)x3]2=172,

解得17.

故选C.

【分析】三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm,宽为(2+3)x3dm,则蚂蚁沿台阶面爬行到B

点最短路程是此长方形的对角线长，根据勾股定理即可求出答案.

12.【答案】20

【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题

【解析】【解答】解：蚂蚁从A点爬到B点的最短路径，需将长方体的侧面展开为平面图形，利用勾

股定理计算，分两种展开方式：

①将长方体的前侧面与右侧面展开，

此时形成的直角三角形两直角边分别为：高12cm,底面长与宽的和8+8=16cm,

根据勾股定理，路径长A8=根22+162=根44+256=V400=20cm;

②将长方体的前侧面与上侧面展开，

此时形成的直角三角形两直角边分别为：宽8uin,长与高的和8+12=20cm,

根据勾股定理，路径长4B=V82+202=V64+400=V464=4内cm，

V20<4V29,

，最短行程为20cm,

故答案为：20

【分析】本题考查立体图形表面最短路径问题，核心是将立体图形展开为平面图形，利用勾股定理

求解。解题时需考虑蚂蚁爬行的不同路径对应的展开方式，长方体从A到B的最短路径主要有两种

展开情况：一是展开前侧与右侧，二是展开前侧与上侧；分别计算两种展开方式下直角三角形的斜

边长（即路径长），再比较两个斜边长的大小，较小的即为最短行程。

13.【答案】15

【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题

【解析】【解答】解：沿过4的圆柱的高剪开，得出矩形EFG，，

过。作CQ1EF于Q,作A关于E"的对称点/,连接交£77千P,连接AP,

则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，

•••AE=A'E,AP=4P，

••.AP+PC=4'P+PC=AC,

1r

vCQ=2X18cm=9cm，AQ=12cm-4cm+4cm=12cm，

在RSA,QC中，由勾股定理得：AC=V122+92=15cm»

故答案为：15.

【分析】沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH,过C作CQ1EF于Q,作A关于EH的对称点力'，连

接.4'C交E”于P，连接AP，则力P+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，根据边之间的关系可得CQ,

NQ,再根据勾股定理即可求出答案.

14.【答案】5

【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题

【解析】【解答】解：如图，将长方体右边的表面翻折90。得长方形，连接AC,则AC的长即为绳子

最短距离，

AC=7324-42=5cm,即绳子最短是5cm.

故答案为：5cm.

【分析】将长方体右边的表面展开，连接AC,根据两点之间线段最短，可知AC的长即为绳子最短

距离，利用勾股定理求出AC的长即可.

15.【答案】15

【知识点】勾股定理的实际应用•最短路径问题

【解析】【解答】解：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH,

过C作CQJ_EF十Q,作A关于EH的对称点AI连接AT交EH十P,连接AP,则AP+PC就是

蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，

VAE=A,E,A'P=AP,

AAP+PC=AT+PC=A,C,

*；CQ=1x18=9(cm),A*Q=12-4+4=12(cm),

在RsAQC中，由勾股定理得：AC=V1224-92=15(cm),

故蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm.

故答案为：15.

【分析】过C作CQ_LEF于Q,作A关于EH的对称点A：连接AC交EH于P,连接AP,根据两

点之间相等最短可得AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出AQ,CQ,根据勾股定理求出AC

即可.

16.【答案】(1〉解：如图，连接AC,

VZABC=90°,AB=9m,BC=12m,

••AC-y/AB2+BC2-\/92+122-15(m),

.,.AB+BC-AC=9+12-15=6(m),

答：居民从点A到点C将少走6m路程；

(2)解：VCD=17m,AD=8m,

AD2+AC2=DC2

・•・△ADC是直角三角形，ZDAC=90°,

♦*S&DAC=2力。•4c=2x8x15=60(m~),

SA4CB=；4B・8C=；X9X12=54(m2),

S四边拓ABCD=60+54=114(m2),

答：这片绿地的面积是114m2.

【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题；勾股定理逆定理的实际应用

【解析】【分析】(1)连接AC,由勾股定理求出AC的长，进而