第3课时 方差、标准差与离差平方和 同步练习-2026-2027学年北师大版八年级数学上册

6.1第3课时方差、标准差与离差平方和

基地巩固提优

1.（2025・贵州遵义桐梓期末改编）在方差计算公式：S2=日（勺-15）2+（必-15>+〔+（町0-15）2］中」0、15分别表示（）.

A.数据的个数和方差

B.平均数和数据的个数

C.数据的个数和平均数

D.数据的方差和平均数

2.（2025・泸州中考）某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单

位：个）及方差（单位：个2）如表所示：

甲乙丙丁

平均数205217208217

方差4.64.66.99.6

根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（）.

A.甲B.乙C.丙D.T

3.某芭蕾舞团新进一批女演员,她们的身高及其对应人数情况如表所示：

身高/cm163164165166168

人数12311

那么，这批女演员身高的方差为.

4.教材P153例3•变式计算234,5,6,8.11,13的离差平方和.

思维拓展提优

5某市举办以“古诗词大会,为主题的比赛，某中学计划在四支队伍中择优推选一支队伍,参加市级比赛，下表

是该校四支队伍参加选拔赛成绩的平均数和方差.根据表中数据，可知2号队伍的成绩最好且发挥最稳定，则m,n

的值可能是（）.

队伍1号队伍2号队伍3号队伍4号队伍

平均数95m9494

方差1.8n0.51.8

A.93,0.5B.95,0.4

C.93,1.9D.95,1.9

6.（2025•恩施州二模）已知甲、乙两人10次标枪的平均成绩相同，落点如图所示，对于方差S2P,s2z的描述正确

的是（）.

A.s2<s2B.s2=s2

甲乙甲乙

C.耳D.无法6角定

甲乙

7.假设法，（2024.大庆中考）小庆、小铁、小娜、小萌四名同学均从1,2,345,6这六个数字中选出四个数字，玩

猜视频学方法数游戏.下列选项中，能确定该同学选出的四个数字含有1的是（）.

A.小庆选出四个数字的方差等于4.25

B.小铁选出四个数字的方差等于2.5

C.小娜选出四个数字的平均数等于3.5

D.小萌选出四个数字中最大数和最小数的差等于4

8.第1组数据为0,001,1』第2组数据为其中in,n是正整数，下列结论：①当m=n时，两组数据的平均数相

等；②当m>n时，第I组数据的平均数小于第2组数据的平均数；③当m=n时，第2组数据的方差小于第1组数

据的方差.其中正确的是（）.

A.①B.①③

C.②③D.①②③

9.数据0,1,2,3,x的平均数是2,则这组数据的标准差是___.

2

10（湖北黄冈麻城福田河中学自主招生）已知一组正数Xi,X2,x3,x4,x5的方差为5=^（X]+X沁沁;+xg-20）厕

关于数据.X|+2,冷+2用+2内+2内+2的四个说法：①方差为S2；②平均数为2；③平均数为4；④方差为4s2.其中正

确的说法是_______.

1L对数据8,9,12,15如何分组使组内离差平方和最小？

12数据10,3,4,7,8.

⑴请你计算出离差平方和；

（2）请你U算它的方差.

13某篮球队员在篮球联赛中分别与甲队、乙队对阵各四场，如表是他的对阵情况统计.

对阵中队对阵乙队

场次

得分/分失误/次得分/分失误/次

第一场252273

第二场300311

第三场273202

第四场262264

(1)他在对阵甲队和乙队的各四场二匕赛中，平均每场得分分别是多少？

(2利用方差判断他在对阵哪个队时得分比较稳定

(3底艮据上表提供的信息，判断他在对阵哪个队时总体发挥较好，简要说明理由.

延伸探究提优

14.在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续的台阶，如图是其中的甲、乙段台阶路的示意图.请你用

所学过的有关统计知识(平均数、方差)回答下列问题：

⑴两段台阶路有哪些相同点和不司点？

(2)哪段台阶路走起来更舒服，为什么？

(3)为方便游客行走，需要重新整修上山的小路.对于这两段台阶路，在台阶数不变的情况下，清你提出合理的

整修建议.

提示：图中的数字表示每一级台阶的高度(单位：cm),并且数据:616/6,14,14,15的方差%=激据：11,15,1

8J7J0J9的方差=

CJ3

中考提分新题

15为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课夕咻育活动.在八年级组织的篮球

联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下.

比赛得分统计图

技术统计表

队员平均每场得分平均每场篮板平均每场失误

甲26.582

乙26103

根据以上信息，回答下列问题.

(1胜六场比赛中，得分更稳定的队员是_______(填呻”或“乙”)；甲队员得分的平均数为26.5分，乙队员得分

的方差为；

(2靖从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好；

(3觑定“综合得分”为：平均每场得分xl+平均每场篮板xl.5+平均每场失误x(-l),且综合得分越高表现越好.请

利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好.

第3课时方差、标准差与离差平方和

1©解析|8注3T5)2+&-15)2+口+(町0-15向中，10,15分别表示数据的个数和平均数故选C.

归纳总结根据方差的定义：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数叫作这组数据的方差即可

得结论.

2.B［解析］由表知，乙、丁跳绳成绩的平均数大于甲、丙，所以乙、丁两名同学的成绩好.

因为乙跳绳成绩的方差小于丁，

所以乙同学成绩好且发挥稳定.故选B.

归纳总结根据方差和平均数的意义求解即可.

163x1+164x2+165x3+166x1+168x1

3.2［解析|G=165(cm).

】+2+3+1+1

22222

?=y,'t|x［(163-165)X1+(164-165)X2+(165-165)x3+(166-i65)xI+(168-165)x1］=2.

解题关键本题考查方差，解答本题的关键是求出数据的平均数，明确方差的计算公式$2="寸+(所*+(”)2

4.首先，计算这组数据的平均值:

(2+3+44-5+6+8+11+13)+8=65

然后计算每个数据与平均值的差值的平方：

(2-6.5)2=(-4.5)2=20.25,

(3-6.5)2=(-3.5)2=12.25,

(4-6.5)2=(-2.5)2=6.25,

(5-6.5)2=(-1.5/=2.25,

(6-6.5)2=(-0.5)2=0.25,

(8-6.5)2=1.52=2.25,

(11-6.5)2=4.52=20.25,

(13-6.5)2=6.52=42.25.

最后将这些差值的平方相加，得到离差平方和：

2025+12.25+6.25+2.25+0.25+2.25+20.25+42.25-106.

综上，这组数据的离差平方和为106.

5.B［解析］成绩的平均数越大代表成绩好，方差越小说明成绩越隐定一・・m的值可能是95,n的值可能是0.4.

故选B.

6.C［解析］根据题意，得乙的成绩更集中，.故选仁

7.A［解析］假设选出的数据没有I,则选出的数据为2,3,5,6时，方差最大，此时H(2+3+S+6)+4=4,方差为

?=^X［(2-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(6-4)2］=2.5.

当数据为125,6时,4(1+2+5+6)+4=3.5,

/=3［(1-3.5)2+(2-3.5)2+(5-3.5)2+(6-3.5)2］=4.25,故A选项符合题意；

B.当选出的数据为2,3,5,6时，，=卜［(2-4)2+(3-4尸+(5-4)2+(6-4月=25故B选项不符合题意；

4

C.当该同学选出的四个数字为2,3,4,5时，M(2+3+4+5)X=35故该选项不符合题意;

D.当选出的数据为2,4,5,6或2,356或2,346时极差都是4,故该选项不符合题意.

故选A.

8.A[解析]①第1组平均数为。5;当m=n时，第2组平均数为吆土=：=0.5,・•.①正确；

②当m>n时,m+n>2n,—<0.5,.^1组数据的平均数大于第2组数据的平均数，，②错误；

③第1组数据的方差为卜卬(0-0.5)2+3x(l-().5尸]=0.25第2组数据的方差为；[〃以0-

0.5尸+户(1-0.5)2]=0.25,,・••当m=n时第2组数据的方差等于第1组数据的方差，，③错误.故选A.

9.V2[解析]数据0J23,x的平均数是2,即l+0+2+3+x=10.解得x=4.

方差.r=1x[(0-2)2+(l-2)2+(2-2)2+(3-2)2+(4-2)2]=2,则标准差是V?=V2.

10①③[解析]由方差的计算公式可得

[(，-"+(必1)2+口+(4-a]

=J+x+2

~[?2+^-2(X|+X2+：+XH)J+«X]

=:辰+痣++xr,-2njr+nx2]

=:/+.4+□+焉卜之

由一组正数Xi,x2,x3,X4As的方差S?1为g(q+x；+A-^+A^+X^-20),,可得平均数x=2.

对于数据.5+2/2+2用+21+2芯+2,设其平均数为x2,方差为s2,则有x'=2+2=4=3+2,其方差

，2222

s，=g[(M+2—M)2+(x2+2T')2+[]+(.t5+2-x)]=^(xI-x)+(x2-x)+D+(x5-x)]=vf.

一般地,设有n个数据X1，X2,,xD,若每个数据都乘a后再同加或同减去一个数，其平均数也有相对应

的变化，方差则变为原方差乘a?

故正确的说法有①③.

11.经过多种分组尝试,可确定将数据分为{8,9},{12,15}时组内离差平方和最小.

12(1)计算出K㈠)-㈠)；3-5-8=2.然后计算离差平方和=(-7-2)2+(-1-2)2+(0-(2)2+口+(8-2)2=160.

⑵由⑴知x=2,

八

Cr-^2?=-1x16/0=—160.

13.(1)对阵甲队的平均每场得分是卜(25+30+27+26)=27(分)，花阵乙队的平均每场得分是

；x(27+31+20+26)=26(分).

(2)对阵甲队的方差是]x[(25-27尸+(30-27>+(27-