广东省深圳市某中学2025-2026学年上学期九年级期中考试数学试卷（含答案）

广东省深圳市深圳中学2025-2026学年上学期九年级期中考试数学试卷

一、选择题（共8小题）

1.如图是一个水平放置的由圆柱体和正方体组成的几何体，它的主视图是（）

2.如图，点P是力8的黄金分割点，即P点满足第二步，若48=2,则AP的长为（）

I11

APB

A.四一1B.通+1C.V5+2D.0.618

3.两人相似三角形，其面积之比为9:4,则其周长之比为（）

A.81:16B.3:2C.9:4D.不能确定

4.某远光广场有一块正方形的空地正中间修建一个圆形喷泉，在四个角修建四个四分之一圆形的水池，其

余部分种植花草.若喷泉和水池的。径都相同，喷泉边缘到空地边界的距离为3m,种植花草的区域的面积为

B.(x4-6)2—nx2=150

C.（2x4-3）2-2x2=150D.(2x+6)2-2nx2=150

5.已知反比例函数y=-g下列结论正确的是（)

A.当0时，y随着x的增大而减小B.图象在第一、三象限

C.当％>一1时，y>2D.图象经过点(一1,2)

6.如图，点D、点F在△4BC的边48上，点E在边4c上，DE||BC,且需=$要使得EF||CD,还需添

加一个条件，这个条件可以是（）

第1页

A

AE_4「EF4DcBD=3

AC=7CCD=7-AD4

7.如图，反比例函数y=K（〃*0）图象经过/点，71CJ.%轴，CO=BO,

若SMCB=8，贝瞌的值为（）

8C.4D.-4

8.如图，在△4BC中，44=72。，点。为BC的中点，过点。作BC的垂线，交力B于点E,连接CE,CF平分

^ACE,交DE的延长线于点F,则乙F的度数为（）

A.31°B.54°C.41°D.36°

二、填空题（共5小题）

9.若欠=1是一元二次方程必一3%+k=0的一个根，则k的值为.

10.如图，某风景区在建设规划过程中，需要测量两岸码头4、B之间的距离.设计人员在。点设桩，取。小

08的三等分点C、D,测得CD=30m,则48=.

11.国学经典《声律启蒙》中有这样一段话：“斜对正，假对真，韩卢对苏雁，陆橘对庄椿”，现有四张卡片

依次写有“斜”、“正”、“假”、“真”，四个字（4张卡片除了书写汉字不同外其他完全相同），现从四张卡片中

随机抽取两张，则抽到的汉字恰为相反意义的概率是.

12.如图，点。为正方形4BCD的两条对角线AC,BD的交点.若正方形ABC。的周长为8cm,贝J阴影部分的面

第2页

13.如图，点E在正方形ABC。的边BC上，连接0E、80,延长CB到点儿使BF=CE,过点E作EG18。于

点G,连接FG.若DE=4,则FG的长为.

三、解答题(共7小题)

14.用适当的方法解下列方程：

(1)(久+2)2=16;

(2)X2-6X-7=0：

(3)2(x—3)2=x2—9.

15.如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，且罂=器,

(1)求NACB的大小；

(2)求证BC2=BDAB

16.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为4(1,-2)、5(4,-1),。(3,-3).

第3页

(1)画出将△48C向上平移3个单位，再向左平移5个单位后的△4当Ci；

(2)以原点。为位似中心，在位似中心的同侧画出81cl的一个位似△A282c2，使它与的相

似比为2:1；

(3)若△为/6内部任意一点Pi的坐标为(m,九)，直接写出经过(2)的变化后点Pi的对应点P2的坐标

(用含瓶、几的代数式表示).

17.如图，在平面直角坐标系中，直线y=2%+2与y轴交于点4与反比例函数y=/(%>0)的图象相交于

JX

点8(6,m),点C在4轴上,且4c1BC,AC<BC.

(1)求m的值及反比例函数的表达式；

(2)求直线AC的表达式.

18.为贯彻落实党的二十大关于深亿全民阅读活动的重要部署，教育部印发了《全国青少年学生读书行动实

施方案》，于是远光中学开展了以“书香润校园，好书伴成长''为主题的系列读书活动.学校为了解学生周末的

阅读情况，采用随机抽样的方式获取了若干名学生的周末阅读时间数据，整理后得到下列不完整的图表：

类别A类B至。类D类

阅读时长t(小

0<t<11<t<22<t<3t>3

时)

频数12mn6

请根据图表中提供的信息解答卜.面的问题:

第4页

A类

20%.

(1)此次调查共抽取了名学生，m=,n=；

(2)扇形统计图中，8类所对应的扇形的圆心角是度；

(3)已知在。类的学生有4名初三学生，其中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人参加阅读分

享活动，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一名男生和一名女生的概率.

19.某远光商场一种商品的进价为每件60元，售价为每件80元，每天可以箱售48件，为尽快减少库存，

商场决定降价促销.

(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件648元，求两次下降的百分率；

(2)经调查，若该商品每降价2元，每天可多销售8件，那么每天要想获得1020元的利润，每件应降价

多少元？

20.如图，在等腰直角三角形A8C中，乙4=90。，BC=4,AO=Q8N,点M是A8的中点，点D和点N分

别是线段4c和8c上的动点.

(I)当点D和点N分别是4C和BC的中点时，求a的值;

(2)当Q=A时，以点C,D,N为顶点的三角形与相似，求8N的值;

(3)当Q=A时，求MN+NZ)的最小值.

第5页

答案解析部分

1.【答案】A

【解析】【解答】解：根据主视图的定义得：

的主视图是上方是一个小矩形，下方是一个大矩形，故A正确.

故答案为：A.

【分析】根据产0的主视图是上方是一个小矩形，下方是一个大矩形，即可得答案.

2.【答案】A

【解析】【解答】解：•・•点P是48的黄金分割点，即P点满足黑二需，・・"P为较长线段，

由及=底z1'4B=2得AP=底z1x2=遥一1，

故答案为：A.

【分析】题目要求根据黄金分割比例的定义进行计算。黄金分割比的数学表达式为：

空=亚二，这个比值约为0.618。解题时只需直接应用这个已知的黄金分割比值即可得出答案。

AB2

3.【答案】B

【解析】【解答】解：•・•两个相似三角形，其面积之比为9:4,

.♦・周长之比=停=最

\42

故答案为:B.

【分析】根据周长比都等于相似比，面积比等于相似比的平方，结合面积之比为9:4,即可得周长比等于相

似比3:2.

4.【答案】D

【解析】【解答】解：设水池半径为xm,正方形的边长为(2%+6)7”根据题意得：(2x+6尸-27rx2=

150.

故答案为：D.

【分析】设水池半径为xm,正方形的边长为(2x+6)m,根据“正方形面积-两个圆的面积=种植花草区域的面

积”即可列出方程(2%+6产-2g2=150即得答案.

5.【答案】D

【解析】【解答】解：二•反比例函数y=-2,Zc=-2<0,

・•・图象在第二、四象限，故B错误.

当为<0时，y随x的增大而增大，故A错误.

第6页

当%>-1时，y的值可能大于2或小于2,故C错误.

当％=-1时，旷=三|=2，图象经过点(-1,2),故D止确.

故答案为：D.

【分析】根据一2<0,图象在第二、四象限，且当xv0时y随x增大而增大，当%>-1时，y的值可能大

于2或小于2,当％=-1时，y=2,即可得答案.

6.【答案】A

【解析】【解答】解：如图，

二当差=差=凯寸，EFIICD,

此时需=吗"=宁=/故A正确.

B,C,D选项均不能得出EFIICO,故B,C,D选项均错误.

故答案为：A.

【分析】根据DEIIBC,辐=全结合平行线分线段成比例可得器=器=；,进一步得需=余=!于是

有给=9时，EFIICD.

7.【答案】A

【解析】【解答】解：如图，

设点4由题意得：0C=—a,AC=

VCO=BO,

'.BO=-a,BC=-2a,

第7页

・・•△AC8的面积为8,

・・・SMCB=\BCAC=\x(-2a)x：=8,

:・k=-8.

故答案为：A.

【分析】设点A(a[),求出OC=-Q,4C=3进一步得80=-Q,然后根据△4C8的面积可列式子;x

(—2Q)X[=8,求解即可.

3.【答案】D

【解析】【解答】解：如图，

•・•在△4BC中，44=72°,

・••乙B+乙ACB=108°,

•・•点D为BC的中点，BC1DF,

・・・OE垂直平分8C,

:.BE=CE,Z.FDC=90°,

乙B=乙BCE»

••,。/平分乙力。？，

：-Z-ACF=乙ECF=

'：^ACB=4力CE+4BCE,

：./.B+4ACB=+^ACE+乙BCE=2(乙BCE+Z.ECF)=108°,

：./-BCE+Z-ECF=54°,

:•乙DCF=54°,

・•.乙尸二90。-54。=36°.

故答案为：D.

【分析】根据三角形内角和定理结合心力=72。得28+=108。，再根据垂直平分线性质，结合点D为

BC的中点，BC1DF,得8E=CE,^FDC=90°,进一步得/B=々BCE,根据角平分线定义得到n4。尸=

乙ECF,进而得到乙。CF=54。，再根据三角形内角和求出乙F的度数即可.

9.【答案】2

第8页

【解析】【解答】解：・・“=1是一元二次方程/-3%+々=0的一个根，

-3x1+/c=0»解得：k—2.

故答案为：2.

【分析】根据x=1是一元二次方程/一3%+k=0的一个根，把x=1代入为2一3%+k=0,得

l2-3xl+k=0,解出即可.

10.【答案】90m

【解析】【解答】解：如图，

•.•点C、。是。4、。8的三等分点,

OC_OD_1

：'OA=OB=T

又•••/.COD=AAOB,

COD〜&AOB,

CD_OC_1

，,AB~OA~3,

,:CD=30771,

AB=3CD=90771,

故答案为：90m.

【分析】根据点。、。是04、OB的三等分点，得器=器=寺，结合"。。=乙4OB可证明

△COD〜AAOB,进一步得招=将［可得4B=3CD=9(hn即可.

11.【答案】|

【解析】【解答】解：依据题意，画树状图如下：

开始

正科，3亶

/N/1\Z\/N

斜嵌真正假真正制真正科例

由树状图知，共有12种等可能结果，其中抽到的汉字恰为相反意义的有4种结果，

所以“抽到的汉字恰为相反意义”的概率为P=,故答案为：1.

【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数,再找出抽取的两张卡片上的汉字恰为相反意义的的结果

数，然后根据概率公式求解.

第9页

12.【答案】1

【解析】【解答】解：如图,

••N8CD为正方形，

AO=0C,乙FAO=LOCE,Z-AOF=LCOE,

△AOF=△COE,

,•S△力0尸一S4C0E，

••，阴影一°ADOC，

,**,正方形HBCD=8cm,

；・正方形ABC。的边长为：8+4=2cm,

••・5皿=2'2+4=1（皿2）,

故答案为：1.

【分析】根据正方形的性质得，AO=OC,Z.FAO=WCE,乙AOF=UOE,再根据全等三角形的判定可证

明AAO尸三△COE,可得S阴影=Sa00c，再根据正方形的面积可得SA00C=1即可.

13.【答案】2&

【解析】【解答】解：如图，

连接?IF,AG,CG,

•.•四边形A8CD为正方开普

二乙DCE=乙ABC=4ABF=90°,DC=AB,乙ABD=乙CBD=45°,

•:BF=CE,BG=BG,

DCE=△ABF(SAS),△ABG=△CBG(SAS),

第10页

AF=DE=4,AG=CG,乙BAG=£BCG,

vEG1BD,

:.乙BGE=90°,

乙BEG=乙EBG=45°,

...乙CEG=乙FBG=135°,EG=BG,

*：BF=CE,

CEG三△/BG(SAS),

CG=FG,乙ECG=乙BFG,

J.AG=FG,/.BAG=乙BFG,

设力8与FG交于点O,

Z.AOG=乙FOB,

:.Z-AGO=乙ABF=90°,

•・.△4GF为等腰直角三角形，

FG=AG=辱AF=?x4=2vL

故答案为：2&.

【分析】连接AF,AG,CG,根据正方形的性质得乙OCE=乙ABC=LABF=90。，DC=AB,乙ABD=

Z.CBD=45°,根据8/=CE,BG=BG,证明△OCE三/kABF(S4S),△48Gm△C8G(SAS),根据全等性质

得乙CEG=乙FBG=135°,EG=BG,进一步得^CEGWAFBG(SAS),得力G=FG,乙BAG=乙BFG,进一

步证明△力FG为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质求解即可.

14.【答案】(1)解：(x+2)2=16,

x+2=±4,

=2,x2=—6.

(2)解：%2—6%-7=0,

。+1)(%-7)=0

%+1=。或x—7=0,

Xi=7,x2=-1

(3)解：2(x-3)2=x2-9,

2(x-3)2=(x-3)(x4-3),

2(%—3)2—(x-3)(x+3)=0,

(x-3)[2(x-3)-(%+3)]=0,

(x—3](x—9)=0,

%—3=0或x—9=0,

第11页

Xi=3,X2=9.

【解析】【分析】(1)把a+2)2-16利用直接开平方法得工十2=±4,解出即可.

(2)把刀2一6%-7=0用因式分解法分解得。+1)(无一7)=0,求解即可.

(3)把2(%-3)2=/-9移项后后因式分解得。-3)。-9)=0,解出即可.

(1)(x+2)2=16,

x+2=±4,

解得=2,%2=-6:

(2)x2-6x-7=0,

(%+1)(%-7)=0,

x+1=。或x—7=0,

解得％1=7,0=-1；

(3)2(%—3)2=X2—9,

2(%—3)2=(%—3)(%+3),

2(%—3)2-(%—3)(%+3)=0,

(x—3)[2(x—3)—(x+3)]-0,

(%—3)(%-9)=0,

%-3=0或x-9=0,

解得=3,切=9・

15.【答案】解：(1)是边AB上的高

•••Z.CDA=乙BDC=90°

又..竺一丝

人.丽一而

AADC〜ACDB(两边对应成比例且其夹角相等的三角形相似)

•••Z-A=乙BCD

又•・•Z/+LACD=180°-90°=90°

.•・乙BCD+Z.ACD=90°

即44cB=90°

(2)由题(1)可知，在zL48c和4C80中，―理="空=90。

(Z.B=Z-B

/.AABC-ACBD(两角对应相等的三角形相似)

：BD=~BC

即M=BDAB.

【解析】【分析】(1)根据题目条件，可以证明三角形ADC与三角形CDB相似，即ZL4DC〜』CDB。根据相

第12页

似三角形的性质可知，对应角相等，因此有乙4=乙8。0。又因为乙4+4AC0=90。，所以将"A替换为/BCO

后得至1bse。十乙4c。=90。，即乙4cs=90。，从而证明结论成立。(2)由(1)的结论可知，二角形A13C

与三角形CBD相似，即ZL48c〜4C80。根据相似三角形的比例关系，可得照=禁，由此完成证明。

16.【答案】(1)解：根据题意得△48C向上平移3个单位，再向左平移5个单位后的△4B1C］如图：

【解析】【解答】(3)解：由题意可知zMz&C2s△&B1G，且相似比为2:1,

・•・当点Pi的坐标为(m,n)时,对应点P2的坐标为:(2m,2n).

【分析】(1)将4(1,一2),5(4,-1),。(3,-3)向上平移3个单位，再向左平移5个单位后的得到力1(一4,1),

%(-1,2),G(—2,0),依次连接4,4，G即可.

(2)连接。&并延长至4，使。/二204］，连接0当并延长至&，使OB?=2。/，连接OQ并延长至C2,使

OC2=2OClt依次连接42,。2,Cz即可得△/B2c2.

(3)A4B2C2s△4B1G，且相似比为2:1,可得点P1的坐标为(m,n)时,对应点P2的坐标为:(2m,2几).

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(1)解：将4(1,一2),8(4,-1),C(3,-3)向上平移3个单位,再向左平移5个单位后的得到为(-4,1),

。1(一1,2),(一2,0),依次连接月1，Z?1，G，则为所求二角形，如图：

(2)解：连接。4并延长至上，使。&=2。4,连接。为并延长至治，使0%=20当，连接0C］并延长至

的，使。。2=2。6，依次连接从，B2,金，则2c2为所求角形，如图：

(3)解：由题意可知△&B2C2s△AiBiG，且相似比为2:1,

当点Pi的坐标为(m,九)时，对应点P2的坐标为：(2m,2n).

17.【答案】(1)解：•・•点B(6,m)在直线y=£%+2上，

/•7n=ix6+2=4,

:.B(6,4),

♦••8(6,4)在反比例函数y=«(x>0)h,

X

，4=名，解得/c=24,

6

・••反比例函数的表达式为y=

(2)解：如图，

第14页

过点8作BO1x轴，

'：AC1BC,

"ABC=90°,

工乙ACO+乙BCD=90°,

*：Z.AOC=乙BDC=90。，

・・・乙。4。+△力CO=90°,

：.Z.CAO=乙BCD,

△AOCCDB,

.AO_OC

•W丽’

，六二=空，解得：。。=2或。。=4,

O—L/C4

'：AC<BC,

：.0C=2,

，点C的坐标为(2,0),

「直线y=+2与y轴交于点A,

・•・点力的坐标为(0,2),

设直线AC的表达式为y=ax+b,

根据题意，得LQ"]；。，解得

；・直线AC的表达式为y=-x+2.

【解析】【分析】(1)根据点8(6,m)在直线y=义工+2上，得m=^x6+2=4,解出得8(6,4),把点8代

入y=[,求得匕即可.

(2)过点B作轴，根据己知条件得44。(？=/9DC=90。，乙CAO=々CD,进一步证明

△4。。~4。08得到铝=器，代入数据求得0C,即可得C(2,0),设直线4c的表达式为y=Q》+b,列方程

组，解出即可得直线AC的表达式.

(1)解：.••点B(6,m)在直线y=^r+2上，

.*.m=1x6+2=4，

・・・B(6,4),

把B点的坐标代入y=[(%>0)得，

4=§，

・・・k=24,

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・♦・反比例函数的表达式为^=”.

X

(2)解：如图，过点8作中OJL%轴,

*：AC1BC,

:•乙ACO+乙BCD=90°,

：./.CAO+^ACO=90°,

：.Z-CAO=(BCD,

••△AOCCDB，

.AO_OC

♦♦而一殖

.2_OC

••6^OC=-4-，

解得：0c=2或0C=4,

*：AC<BC,

：.OC=2,

・••点C的坐标为(2,0),

;直线y=lx+2与y轴交于点A,

，点4的坐标为(0,2),

设直线AC的表达式为y=ax+h,

根据题意，得b禽黄。，

解得仁，

六直线4c的表达式为y=-%+2.

18.【答案】(1)60；27；15.

(2)162

(3)解：根据题意画树状图如下:

第16页

开始

男男女女

/IX/Tx/tx/Tx

男女女男女女男男女男男女

共有12种等可能的结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果有8种，

・・・P（恰好抽到一名男生和一名女生）=卷=多

・•・恰好抽到一名男生和一名女生的概率为卷

【解析】【解答］解：（1）根据题意得：此次调查共抽取的学生人数为：12+20%=60（名）.

/.n=60x25%=15»

.,.m=60-12-15-6=27,

故答案为：60：27；15.

（2）扇形统计图中，8类所对应的扇形的圆心角是36（Tx会=162。.

OU

故答案为：162.

【分析】（1）根据“抽样总人数=A类学生的人数+A类学生占比”即可求得此次调查共抽取的学生人数，再

用总人数乘以8类、C类的百分数即可得m、n的值.

（2）根据类所对应的扇形的圆心角=360。xB类人数的占比”即可求解.

（3）先画树状图，根据图形统计共12种等可能的结果，找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率

公式求解即可.

（1）此次调查共抽取的学生人数为：12+20%=60（名）

.*.n=60x25%=15,

Am=60-12-15-6=27,

故答案为：60,27,15：

（2）扇形统计图中，B类所对应的扇形的圆心角是360。乂条=162。

故答案为：162；

（3）画树状图如下：

开始

男男女女

XT\/Tx/Tx/Tx

男女女男女女男男女男男女

共有12种等可能的结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果有8种，

・•・恰好抽到一名男生和一名女生的概率为毯=1

19.【答案】（1）解：设每次降价的百分率为，根据题意，得：

第17页

2

80（1-%）=64.8,解得％i=0.1=10%,x2=1.9=190%（舍）,

・•・该商品连续两次下降的百分率为10%.

（2）解：设每件商品应降价m元，根据题意，得：

（80-60-m）（48+等）=1020,解得m=5或m=3,

•・•为尽快减少库存，

/.m=5,

・••每件商品应降价5元.

【解析】【分析】（1）设每次降价的百分率为X,根据“售价=（1-增长率）2=两次降价后的售价”即可列方

程，解出方程即可.

（2）设每件商品应降价m元，根据每天要想获得1020元的利润，列一元二次方程（80-60-皿）（48+袈）=

1020,解出方程即可.

（1）设每次降价的百分率为心

根据题意,得据（1—*）2=64.8,

解得％1=0.1=10%,x2=1.9=190%（不合题意，舍去），

答：该商品连续两次下降的百分率为10%;

⑵设每件商品应降价m元，根据题意，得（80-60-m）（48+竽）=1020,

解得m=5或m=3,

二•为尽快减少库存，

m=5,

答：每件商品应降价5元.

20.【答案】（1）解：如图，

•••A4BC是等腰直角三角形，〃=90。,

=AC,

：.AB2+AC2=2AB2=8c2,

•:BC=4,

:.AB=AC=§BC=2或，

•・•点D和点N分别是AC和8c的中点，

第18页

••AD=-^AC=V2»BN=3BC=2,

*：AD=QBN,

・AD42

••”丽=了

(2)解：如图,

/x

BNC

'»a=\[2>AD—aBN,

-'-AD=立BN,

设BN=x,贝lj：AD=缶，CN=BC-BN=4—x,

•・•等腰直角三角形ABC中,/-A=90°,BC=4,

-,-AB=AC=2伍

ACD=AC-AD=2V2-V2x»

•「M是AB的中点，

-'­AM=BM=凡

=ZC=45°,

当点C,D,N为顶点的三角形与aBM/V相似时，分两种情况：

①当ACON〜aBM/V时，则：黑=幕，

...2/俨=写,此方程无解，不符合题意.

V2%

②当ACND〜ABMN时,则：需=需，

...需=2々严,解得：》=3+遍(不符合题意，舍去)或工=3-通.

:.BN=3-后

综上所述，BN=3—V5.

(3)解：如图，

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将/IB绕点8旋转90度得到BF,连接NF,MF,贝U：BF=AB=2&，乙ABF=90。，作OEIIBC.AE1DE于

点、E,连接BE,则：/-ADE=ZC=45°,

,:a=\fi，AD=aBN,:.AD=&BN,

•••△4ED为等腰直角三角形，

•-AD=y/2DE=&AE，^DAE=45。，

：.AE=DE=BN,/.BAE=45°,

*：DE||BN,

・•・四边形EDNB为平行四边形，

：.BE=DN,

*：LABC=45°,

••・/N8F=45o=4BAE,

又〈AB=BF,AE=BN，

：.AAEBBNF,

：.BE=NF,

：.DN=NF,

：・MN+ND=MN+NF2MF,

・•・当点N在线段上时，MN+NO的值最小为的长，

在RtaMBF中，BM=』AB=&,BF=272,

；・MF=>JBM2+BF2="U，

:・MN+ND的最小值为715.

【解析】【分析】(1)根据2U8C是等腰直角三角形，得力⑶=人口根据勾股定理得力^^+人^^二吕。？，进一

步求出的长，再根据中点性质求出4。的长，再根据力D=aBN,即可求出a