第九章 机械振动

大学物理

主讲老师：XX绪论第2章

质点动力学第1章

质点运动学第3章

刚体力学基础第4章

静电场第5章

恒定磁场第6章

电磁感应第7章

气体动理论第8章

热力学基础第9章

机械振动第10章

机械波第11章

几何光学器件与波动光学

第12章

相对论、天体物理与宇宙学第13章

量子物理基础9.1简谐振动的运动学9.2简谐振动的动力学方程与能量9.3简谐振动的合成9.4阻尼振动、受迫振动与共振第9章机械振动学习目标掌握简谐振动的基本特征掌握用旋转矢量法表示简谐振动的方法掌握简谐振动的动力学方程掌握与简谐振动能量有关的计算掌握简谐振动的合成了解阻尼振动、受迫振动和共振的基本知识我宁愿要无法回答的问题，也不要不能质疑的答案。 ——费曼课程引入：无处不在的“节奏”——欢迎来到机械振动的世界生活中的“共振魔法”荡秋千想要荡得高，关键在于“踩”准秋千的节奏，每一次发力都精准地叠加在秋千的振动上，这就是利用共振实现能量累积的智慧。振动的“双面人生”它既是现代科技的基石，如核磁共振利用原子核共振；但如果控制不当，也会带来毁灭性灾难，如著名的塔科马海峡大桥因共振而坍塌。从宏观到微观的尺度之旅从大象用次声波远距离交流，到科学家探测到宇宙时空本身的涟漪——引力波，这些都是发生在不同尺度上的振动现象。9.1简谐振动的运动学9.1.1简谐振动的基本特征>1.简谐振动的运动学方程物体相对平衡位置的位移振幅角频率初相位你可以运用数学知识对t求一阶导数和二阶导数吗？9.1简谐振动的运动学9.1.1简谐振动的基本特征>1.简谐振动的运动学方程（1）

振幅9.1简谐振动的运动学9.1.1简谐振动的基本特征>2.简谐振动的特征物理量周期(s)、频率(Hz)和角频率(rad/s)都是描述物体振动快慢的物理量。对于给定的简谐振动系统，其周期和频率由振动系统自身的性质决定，与初始条件和振动状态无关，故称为振动系统的固有周期和固有频率。（2）

周期与频率9.1简谐振动的运动学9.1.1简谐振动的基本特征>2.简谐振动的特征物理量（3）

相位与初相9.1简谐振动的运动学9.1.1简谐振动的基本特征>2.简谐振动的特征物理量两个同方向同频率的简谐振动，在任意时刻的相位差都等于它们的初相差，是一个恒量。（4）

相位差9.1简谐振动的运动学9.1.1简谐振动的基本特征>2.简谐振动的特征物理量情况19.1简谐振动的运动学9.1.1简谐振动的基本特征>2.简谐振动的特征物理量情况29.1简谐振动的运动学9.1.1简谐振动的基本特征>2.简谐振动的特征物理量情况39.1简谐振动的运动学9.1.1简谐振动的基本特征>2.简谐振动的特征物理量9.1.2简谐振动的旋转矢量法9.1简谐振动的运动学简谐振动除了用简谐振动运动学方程和简谐振动曲线表示外，还有一种更简便、直观的几何描述方法，即用旋转矢量的投影来表示简谐振动，该方法称为旋转矢量法。例题解：9.1.2简谐振动的旋转矢量法9.1简谐振动的运动学例题解：9.1.2简谐振动的旋转矢量法9.1简谐振动的运动学9.2.1简谐振动的动力学方程9.2简谐振动的动力学方程与能量如图所示，一轻弹簧（质量可忽略不计）放置在光滑水平面上，一端固定，另一端连一质量为m的物体。这样的系统称为弹簧振子，它是物理学中的又一理想模型。如图（a）所示，弹簧处于自然长度时，物体沿水平方向所受的合力为零，此时物体所在的位置点O称为平衡位置。以点O为坐标原点，以弹簧的伸长方向为x轴正向建立坐标系。如图（b）所示，在弹簧的弹性限度内，将物体从平衡位置向右拉至点P，然后放手。物体在向左的弹力作用下，向左加速运动。当到达点O时，物体所受的弹力为零，加速度也为零。但此时物体的速度不为零，由于惯性作用，物体将继续向左运动，致使弹簧被压缩，从而产生向右的弹力阻碍物体运动，使物体向左做减速运动，直到速度为零，此时，物体到达左边最远处点P。9.2.1简谐振动的动力学方程9.2简谐振动的动力学方程与能量如图所示。然后，物体又在向右的弹力作用下，从点返回P’，向右加速运动。这样，物体在弹力和惯性的作用下，在平衡位置附近的点P和点P’之间做往复运动。弹簧的劲度系数，单位为N/m。它由弹簧本身的性质决定因此，此力又称为线性回复力。表示弹力的方向与位移的方向相反，始终指向平衡位置9.2.1简谐振动的动力学方程9.2简谐振动的动力学方程与能量9.2.2简谐振动的能量9.2简谐振动的动力学方程与能量简谐振动的能量包括动能和势能两部分。下面以弹簧振子为例讨论简谐振动的能量。9.2.2简谐振动的能量9.2简谐振动的动力学方程与能量关于简谐振动的能量需要说明以下几点：简谐振动的动能和势能都随时间呈周期性变化，其周期为物体做简谐振动周期的一半在振动过程中，动能和势能相互转化，但两者的总和保持不变，即振动系统的总机械能守恒。

从图中可以看出：当物体位移最大时，势能最大，动能为零当物体位移为零时，势能为零，动能最大而其总能量为一常数，等于最大动能或最大势能9.2.2简谐振动的能量9.2简谐振动的动力学方程与能量简谐振动的总能量与角频率的平方、振幅的平方成正比。

虽然这一结论是从弹簧振子系统中推导出的，但是它是一切简谐振动的共同性质，也适用于其他形式的简谐振动弹簧振子做简谐振动时，如果振幅增加为原来的两倍而频率减小为原来的一半，那么它的周期、最大速度、最大加速度和能量怎样变化呢？9.2.2简谐振动的能量9.2简谐振动的动力学方程与能量例题解：9.2.2简谐振动的能量9.2简谐振动的动力学方程与能量例题解：9.2.2简谐振动的能量9.2简谐振动的动力学方程与能量9.3.1两个同方向同频率简谐振动的合成9.3简谐振动的动力学方程与能量在实际问题中，经常会遇到一个质点同时参与两个或两个以上振动的情况。例如，当两列声波同时传播到空间某一点时，该点空气介质就同时参与两个振动，其实际振动是这两个振动的合成。振动合成问题一般比较复杂，你知道有哪些简单的振动合成情况吗？两个同方向同频率简谐振动的合成两个同方向不同频率简谐振动的合成两个互相垂直、同频率简谐振动的合成两个互相垂直、不同频率简谐振动的合成9.3.1两个同方向同频率简谐振动的合成9.3简谐振动的动力学方程与能量9.3.1两个同方向同频率简谐振动的合成9.3简谐振动的动力学方程与能量9.3.1两个同方向同频率简谐振动的合成9.3简谐振动的动力学方程与能量9.3.1两个同方向同频率简谐振动的合成9.3简谐振动的动力学方程与能量9.3.2两个同方向不同频率简谐振动的合成9.3简谐振动的动力学方程与能量可以看出，对于两个同方向不同频率简谐振动的合振动，其方向虽然仍与分振动的方向相同，但不再是简谐振动。9.3.2两个同方向不同频率简谐振动的合成9.3简谐振动的动力学方程与能量拍现象在无线电技术中有着广泛应用。例如，在雷达测速中，系统向运动目标发射电磁波并接收其反射回波。由于多普勒效应，回波频率会相对于发射频率产生一个微小的偏移（即多普勒频移）。接收机将回波信号与发射信号（或其样本）进行混频，两者频率的差异便会产生一个低频的拍频信号。通过精确测量该拍频信号的频率，即可计算出目标的径向运动速度。这一精巧的物理原理及其工程应用，生动展现了人类如何通过洞察自然规律、运用科学方法，将看似微弱的频率差异转化为精确感知世界的技术手段。物理与生活9.3.2两个同方向不同频率简谐振动的合成9.3简谐振动的动力学方程与能量9.3.3两个互相垂直、同频率简谐振动的合成9.3简谐振动的动力学方程与能量9.3.3两个互相垂直、同频率简谐振动的合成9.3简谐振动的动力学方程与能量（a）（b）9.3.3两个互相垂直、同频率简谐振动的合成9.3简谐振动的动力学方程与能量（a）（c）（d）9.3.3两个互相垂直、同频率简谐振动的合成9.3简谐振动的动力学方程与能量（e）（f）（g）（h）9.3.4两个互相垂直、不同频率简谐振动的合成9.3简谐振动的动力学方程与能量当质点参与两个互相垂直、频率不同的简谐振动时，其合振动一般较为复杂，轨迹也不稳定。但当两个分振动频率有简单的整数比值的关系时，合振动轨迹将是一条具有周期性、稳定性和封闭性的曲线，称为李萨如图形，如图所示。李萨如图形既可以通过旋转矢量法进行理论绘制，也可以通过在示波器上输入两个正交信号来直观观察。这类图形具有重要的应用价值：当已知一个振动频率时，可根据李萨如图形确定另一个振动频率当已知两个振动频率比时，可根据李萨如图形确定它们的相位关系9.4.1阻尼振动>1.阻尼振动的概念9.4阻尼振动、受迫振动与共振前面所介绍的简谐振动是在没有阻力作用下进行的振动，但实际中，振动系统总要受到阻力作用，因此，本节将主要介绍存在阻力作用的振动形式。简谐振动中，振动系统除受线性回复力外，不受任何阻力影响，振动过程中能量守恒，其振幅也不随时间变化，这种振动称为无阻尼振动实际振动系统总要受到阻力的影响，由于需要克服阻力做功，因此振动系统的能量会不断损耗，振幅也会随时间逐渐减小，这种振动称为阻尼振动阻力系数，其大小由物体的形状、表面状况和介质的性质决定振动系统的固有角频率，它由振动系统本身的性质决定阻尼系数，对于给定的振动系统，它由阻力系数决定9.4.1阻尼振动>1.阻尼振动的概念9.4阻尼振动、受迫振动与共振9.4.1阻尼振动>2.阻尼振动的分类9.4阻尼振动、受迫振动与共振根据阻尼系数与振动系统固有角频率的相对大小，阻尼振动可分为弱阻尼振动、过阻尼振动和临界阻尼振动。（1）

弱阻尼振动（a）（b）9.4.1阻尼振动>2.阻尼振动的分类9.4阻尼振动、受迫振动与共振（1）

弱阻尼振动该式表明，由于阻尼的存在，弱阻尼振动的周期比无阻尼振动的周期长，即振动变慢了。阻尼系数越大，弱阻尼振动的周期就越长。9.4.1阻尼振动>2.阻尼振动的分类9.4阻尼振动、受迫振动与共振（2）

过阻尼振动9.4.1阻尼振动>2.阻尼振动的分类9.4阻尼振动、受迫振动与共振（3）

临界阻尼振动从该图可以看出：在弱阻尼振动和过阻尼振动状态下，振动系统从偏离平衡位置回到平衡位置所需时间较长在临界阻尼振动状态下，这一时间最短因此，当需要振动系统以最短的时间回到平衡位置时，应设法使其工作在临界阻尼振动状态。提

示9.4.2受迫振动9.4阻尼振动、受迫振动与共振在实际振动系统中，由于阻尼总是存在的，因此为了获得稳定持续的振动，通常需要对振动系统施加一个周期性外力。振动系统在这种周期性外力的持续作用下发生的振动称为受迫振动，这个周期性外力称为驱动力。许多实际振动都属于受迫振动，如扬声器纸盘的振动、机器运转所引起的基座振动等。9.4.2受迫振动9.4阻尼振动、受迫振动与共振9.4.2受迫振动9.4阻尼振动、受迫振动与共振9.4.2受迫振动9.4阻尼振动、受迫振动与共振虽然稳态受迫振动是简谐振动，但是它与无阻尼振动有着本质的区别：它的角频率不是振动系统的固有角频率，而是驱动力的角频率它的振幅和初相不取决于振动系统的初始条件，而取决于振动系统本身的性质、阻尼的大小及驱动力的角频率和幅值提

示9.4.3共振9.4阻尼振动、受迫振动与共振9.4阻尼振动、受迫振动与共振9.4.3共振共振在科学研究和工程技术中有着极为广泛的应用，其效应具有鲜明的两面性。例如，在物理实验中，我们可以利用共振来测量振动系统的固有角频率；然而，在工程上，当机床或精密仪器工作时，外部干扰力的频率若接近其固有角频率，则会引发共振，轻则影响加工精度，重则导致设备损坏甚至酿成事故。随着AI技术的发展，特别是机器学习与数据驱动建模方