大连理工大学《高等数学》期末考试复习试题

大连理工大学《高等数学》期末考试复习试题考试时间：______分钟总分：______分姓名：______1.选择题（共10题，每题2分）（1）函数$f(x)=x^3-3x+1$的导数为________。（2）若$f(x)=\sinx$，则$f'(\frac{\pi}{2})$的值为________。（3）函数$g(x)=e^{-x^2}$在$x=0$处的二阶导数为________。（4）若$\lim_{x\to0}\frac{\sin3x-3x}{x}=A$，则$A=$________。（5）下列级数中收敛的是________。A.$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}$B.$\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n}$C.$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$D.$\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{n^2+1}$（6）曲线$y=x^3-x^2$在$x=1$处的切线方程为________。（7）设函数$f(x)$在$x=0$处连续，则$\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}$等于________。（8）若$f'(x)=e^x$，则$f(x)=$________。（9）下列函数中，可导的是________。A.$f(x)=|x|$B.$f(x)=\sqrt{x}$C.$f(x)=\frac{1}{x}$D.$f(x)=x^2\sin\frac{1}{x}$（10）已知$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则$\int_a^bf(x)\,dx=$________。2.填空题（共10题，每题2分）（1）$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=$________。（2）$f'(x)$的导数为________。（3）函数$f(x)=e^{-x^2}$的导数为________。（4）$\intx^3\,dx=$________。（5）若$\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^2}$，则该极限的值是________。（6）若$\int_a^bf(x)\,dx=0$，则$f(x)$在区间$[a,b]$上的图像______。（7）函数$y=2x^3+3x^2+4x+1$的导数为________。（8）$\int\frac{1}{x}\,dx=$________。（9）函数$y=x^2$的积分区间为________。（10）函数$f(x)=x^3$的积分区间为________。3.计算题（共15题，每题2分）（1）计算$\lim_{x\to0}\frac{\tan5x-5x}{x^3}$。（2）求函数$f(x)=x^3-3x^2+2x$的导数。（3）求函数$f(x)=\sqrt{x^2-1}$在$x=2$处的切线方程。（4）计算$\int(3x^2+2x-1)\,dx$。（5）求函数$f(x)=\frac{x}{x^2+1}$的导数。（6）计算$\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}$。（7）求函数$f(x)=e^x\sinx$的导数。（8）计算$\int\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$。（9）求函数$f(x)=x^2\lnx$的导数。（10）计算$\lim_{x\to0}\frac{\sin2x-2x}{x^3}$。（11）求函数$f(x)=\ln(1+x)$在$x=0$处的切线方程。（12）计算$\intx\cosx\,dx$。（13）求函数$f(x)=e^x\cosx$的导数。（14）计算$\int(2x^3+3x^2-4x+1)\,dx$。（15）求函数$f(x)=\ln(\sqrt{x})$的导数。4.证明题（共5题，每题4分）（1）证明：若$f(x)$在区间$[a,b]$上可导，则$\int_a^bf'(x)\,dx=f(b)-f(a)$。（2）证明：若$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则存在$\xi\in(a,b)$，使得$\int_a^bf(x)\,dx=f(\xi)(b-a)$。（3）证明：若$f(x)$在区间$[a,b]$上可导，且$f'(x)\geq0$，则$f(x)$在区间$[a,b]$上单调递增。（4）证明：若$f(x)$在区间$[a,b]$上可导，且$f'(x)\leq0$，则$f(x)$在区间$[a,b]$上单调递减。（5）证明：若$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则存在至少一点$\xi\in(a,b)$，使得$\int_a^bf(x)\,dx=\frac{f(a)+f(b)}{2}(b-a)$。5.综合题（共5题，每题4分）（1）设函数$f(x)=x^3-3x^2+2x$，求$f(x)$在区间$[0,2]$上的最大值和最小值。（2）已知$f(x)=e^x\sinx$，求$\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(x)\,dx$。（3）求曲线$y=2x^3+3x^2+4x+1$与$x$轴的交点。（4）求函数$f(x)=\frac{x}{x^2+1}$的反函数。（5）已知$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且$f(a)=1$，$f(b)=2$，求$\int_a^bf(x)\,dx$。试卷答案1.选择题（1）$3x^2-3$（2）$\cosx$（3）$-2xe^{-x^2}$（4）3（5）A（6）$y=3x-2$（7）$f'(x)$（8）$e^x$（9）D（10）$\int_a^bf(x)\,dx$2.填空题（1）1（2）$f''(x)$（3）$-2xe^{-x^2}$（4）$\frac{x^4}{4}+C$（5）0（6）无（7）$6x^2+6x+4$（8）$\ln|x|+C$（9）$[0,+\infty)$（10）$[0,+\infty)$3.计算题（1）$\lim_{x\to0}\frac{\tan5x-5x}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{5\sin5x-5x}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{25\cos5x-5}{3x^2}=\frac{25-5}{0}=\infty$（2）$f'(x)=3x^2-6x+2$（3）$y=3x-2$（4）$\int(3x^2+2x-1)\,dx=\frac{3x^3}{3}+\frac{2x^2}{2}-x+C=x^3+x^2-x+C$（5）$f'(x)=\frac{1}{(x^2+1)^2}$（6）$\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}=0$（7）$f'(x)=e^x\cosx+e^x\sinx=e^x(\sinx+\cosx)$（8）$\int\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=2\sqrt{x}+C$（9）$f'(x)=2x\lnx+x$（10）$\lim_{x\to0}\frac{\sin2x-2x}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{2\cos2x-2}{3x^2}=\lim_{x\to0}\frac{-4\sin2x}{6x}=\lim_{x\to0}\frac{-8\cos2x}{6}=-\frac{4}{3}$（11）$y=x$（12）$\intx\cosx\,dx=x\sinx-\int\sinx\,dx=x\sinx+\cosx+C$（13）$f'(x)=e^x\cosx-e^x\sinx=e^x(\cosx-\sinx)$（14）$\int(2x^3+3x^2-4x+1)\,dx=\frac{2x^4}{4}+\frac{3x^3}{3}-2x^2+x+C=\frac{x^4}{2}+x^3-2x^2+x+C$（15）$f'(x)=\frac{1}{x\sqrt{x}}=\frac{1}{x^{3/2}}$4.证明题（1）由微积分基本定理，$\int_a^bf'(x)\,dx=f(b)-f(a)$。（2）由微积分基本定理，存在$\xi\in(a,b)$，使得$\int_a^bf(x)\,dx=f(\xi)(b-a)$。（3）由拉格朗日中值定理，存在$\xi\in(a,b)$，使得$f'(x)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\geq0$，因此$f(x)$单调递增。（4）由拉格朗日中值定理，存在$\xi\in(a,b)$，使得$f'(x)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\leq0$，因此$f(x)$单调递减。（5）由积分中值定理，存在$\xi\in(a,b)$，使得$\int_a^bf(x)\,dx=f(\xi)(b-a)=\frac{f(a)+f(b)}{2}(b-a)$。5.综合题（1）$f'(x)=3x^2-6x+2$，在$x=1$时取得最大值$f(1)=0$，在$x=2$时取得最小值$f(2)=0$。（2）$\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(x)\,dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^x\sinx\,dx=[e^x\sinx-e^x\cosx]_0^{\frac{\pi}{2}}=(e^{\frac{\pi}{2}}\sin\frac{\pi}{2}-e^{\frac{\pi}{2}}\cos\frac{\pi}{2})-(e^0\sin0-e^0\cos0)=e^{\frac{\pi}{2}}-1$（3）令$2x^3+3x^2