2026年四川省马尔康市高考数学自主招生测试卷(达标题)附答案

2026年四川省马尔康市高考数学自主招生测试卷(达标题)附答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|，则f(x)的最小值为（）A．1B．2C．3D．4解析：函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|表示数轴上点x到点1和点－2的距离之和，当x在区间[－2，1]内时，距离之和最小，为3，故选C。2.若复数z满足z²－2z＋2＝0，则|z|的值为（）A．1B．√2C．2D．√3解析：由z²－2z＋2＝0得z＝1±i，则|z|＝√2，故选B。3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²－b²＝c²－2ab•cosA，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．钝角三角形解析：由a²－b²＝c²－2ab•cosA得cosA＝1/2，则A＝60°，故△ABC为等边三角形，故选C。4.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1＝1，a_n＋1＝2a_n＋1，则a_5的值为（）A．7B．15C．31D．63解析：由a_n＋1＝2a_n＋1得a_n＋1－1＝2(a_n－1)，则{a_n－1}是首项为0、公比为2的等比数列，即a_n－1＝2^{n－1}，故a_5＝31，故选C。5.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间[0，π]上的图像如下，则φ的值为（）（此处应有图像，假设图像显示函数在x＝π/4处取得最大值）A．π/4B．3π/4C．5π/4D．7π/4解析：由图像知函数周期T＝2π/ω＝2π，则ω＝1，函数在x＝π/4处取得最大值，即sin(π/4＋φ)＝1，则φ＝π/4，故选A。6.已知圆O的半径为1，点P在圆外，OP＝2，则过点P的直线与圆O相交所得弦长的最大值为（）A．2B．√3C．2√2D．2√3解析：当过点P的直线经过圆心O时，弦长最大，为2×√(2²－1²)＝2√3，故选D。7.已知函数f(x)＝x³－3x＋1，则f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值分别为（）A．8，－4B．8，－2C．10，－4D．10，－2解析：f'(x)＝3x²－3，令f'(x)＝0得x＝±1，f(－2)＝－1，f(－1)＝3，f(1)＝－1，f(2)＝3，故最大值为3，最小值为－4，故选C。8.已知三棱锥A－BCD的底面BCD为等边三角形，AB⊥平面BCD，且AB＝2，BC＝1，则三棱锥A－BCD的体积为（）A．√3/3B．√2/3C．1D．2解析：底面面积S_BCD＝√3/4，体积V＝1/3×S_BCD×AB＝√3/3，故选A。9.已知函数f(x)＝e^x－ax在x＝1处取得极值，则a的值为（）A．1B．eC．e²D．e³解析：f'(x)＝e^x－a，由f'(1)＝0得a＝e，故选B。10.已知直线l：x－2y＋1＝0与圆C：x²＋y²－2x＋4y－3＝0的位置关系为（）A．相离B．相切C．相交D．包含解析：圆心(1，－2)，半径√(1²＋(－2)²－(－3))＝√6，圆心到直线距离d＝|1×1－2×(－2)＋1|/√(1²＋(－2)²)＝√6，故相切，故选B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若sinα＋cosα＝√2，则sin²α＋cos²α＝________解析：由sinα＋cosα＝√2得(sinα＋cosα)²＝2，即sin²α＋cos²α＋2sinαcosα＝2，又sin²α＋cos²α＝1，故sinαcosα＝1/2，答案为1。2.已知数列{a_n}满足a_1＝1，a_n＋1＝(n＋1)/n•a_n，则a_5＝________解析：a_2＝2/1×1＝2，a_3＝3/2×2＝3，a_4＝4/3×3＝4，a_5＝5/4×4＝5，答案为5。3.已知函数f(x)＝log_a(x＋1)，若f(2)＝1，则a的值为________解析：log_a(2＋1)＝1得a³＝3，故a＝∛3，答案为∛3。4.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²－b²＝c²－2ab•cosA，则cosB的值为________解析：由a²－b²＝c²－2ab•cosA得cosA＝1/2，则A＝60°，由余弦定理cosB＝(a²＋c²－b²)/(2ac)＝1/2，答案为1/2。5.已知圆O的半径为1，圆心O到直线l的距离为d，若直线l与圆O相交所得弦长为√3，则d的值为________解析：由弦长公式2√(r²－d²)＝√3得d²＝1²－(√3/2)²＝1/4，故d＝1/2，答案为1/2。6.已知函数f(x)＝x²－4x＋3，则f(x)在区间[－1，3]上的最小值为________解析：f'(x)＝2x－4，令f'(x)＝0得x＝2，f(－1)＝8，f(2)＝－1，f(3)＝0，故最小值为－1，答案为－1。7.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n＝3n－2，则S_10的值为________解析：S_n＝3(1＋2＋…＋n)－2n＝3n(n＋1)/2－2n＝3n²/2＋n/2，S_10＝3×10²/2＋10/2＝155，答案为155。8.已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx，若f(x)的最小正周期为π，则ω的值为________解析：f(x)＝√2sin(ωx＋π/4)，周期T＝2π/ω＝π，故ω＝2，答案为2。9.已知三棱锥A－BCD的底面BCD为等边三角形，AB⊥平面BCD，且AB＝2，BC＝1，则三棱锥A－BCD的表面积为________解析：底面面积S_BCD＝√3/4，侧面面积S_ABD＝1/2×AB×BD＝√3，S_ACD＝√3，S_ABC＝√(1²＋2²)＝√5，表面积S＝√3/4＋√3＋√3＋√5＝3√3/4＋√5，答案为3√3/4＋√5。10.已知直线l：x－2y＋1＝0与圆C：x²＋y²－2x＋4y－3＝0的位置关系为________解析：圆心(1，－2)，半径√6，圆心到直线距离d＝√6，故相切，答案为相切。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若复数z满足z²＝z，则z的值为1或－1。解析：z²－z＝0得z(z－1)＝0，故z＝0或z＝1，原命题错误。2.已知函数f(x)＝x³－3x＋1，则f(x)在区间[－2，2]上的最大值为8。解析：f(－2)＝－1，f(－1)＝3，f(1)＝－1，f(2)＝3，最大值为3，原命题错误。3.已知数列{a_n}是等差数列，若a_1＝1，a_5＝5，则公差d＝1。解析：a_5＝a_1＋4d得5＝1＋4d，故d＝1，原命题正确。4.已知圆O的半径为1，圆心O到直线l的距离为1/2，则直线l与圆O相交所得弦长为√3。解析：2√(1²－(1/2)²)＝√3，原命题正确。5.已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx，若f(x)的最小正周期为2π，则ω＝1。解析：周期T＝2π/ω＝2π得ω＝1，原命题正确。6.已知三棱锥A－BCD的底面BCD为等边三角形，AB⊥平面BCD，且AB＝2，BC＝1，则三棱锥A－BCD的体积为√3/3。解析：V＝1/3×S_BCD×AB＝√3/3，原命题正确。7.已知直线l：x－2y＋1＝0与圆C：x²＋y²－2x＋4y－3＝0的位置关系为相离。解析：圆心到直线距离d＝√6，半径√6，故相切，原命题错误。8.若复数z满足z²＝z，则z的值为1或0。解析：z²－z＝0得z(z－1)＝0，故z＝0或z＝1，原命题正确。9.已知函数f(x)＝x³－3x＋1，则f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－4。解析：f(－2)＝－1，f(－1)＝3，f(1)＝－1，f(2)＝3，最小值为－1，原命题错误。10.已知数列{a_n}是等比数列，若a_1＝1，a_5＝32，则公比q＝2。解析：a_5＝a_1q⁴得32＝1×q⁴，故q＝2，原命题正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知函数f(x)＝x²－4x＋3，求f(x)在区间[－1，3]上的最大值和最小值。参考答案：f'(x)＝2x－4，令f'(x)＝0得x＝2，f(－1)＝8，f(2)＝－1，f(3)＝0，最大值为8，最小值为－1。2.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n＝3n－2，求S_10的值。参考答案：S_n＝3n(n＋1)/2－2n＝3n²/2＋n/2，S_10＝3×10²/2＋10/2＝155。3.已知圆O的半径为1，圆心O到直线l的距离为1/2，求直线l与圆O相交所得弦长的值。参考答案：2√(1²－(1/2)²)＝√3。4.已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx，若f(x)的最小正周期为π，求ω的值。参考答案：f(x)＝√2sin(ωx＋π/4)，周期T＝2π/ω＝π得ω＝2。5.已知三棱锥A－BCD的底面BCD为等边三角形，AB⊥平面BCD，且AB＝2，BC＝1，求三棱锥A－BCD的体积。参考答案：V＝1/3×S_BCD×AB＝√3/3。6.已知直线l：x－2y＋1＝0与圆C：x²＋y²－2x＋4y－3＝0的位置关系，判断是相切还是相交。参考答案：圆心(1，－2)，半径√6，圆心到直线距离d＝√6，故相切。7.已知复数z＝1＋i，求z²的值。参考答案：z²＝(1＋i)²＝1＋2i－1＝2i。8.已知数列{a_n}是等比数列，若a_1＝1，a_5＝32，求公比q的值。参考答案：a_5＝a_1q⁴得32＝1×q⁴，故q＝2。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)＝x³－3x＋1，求f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值。参考答案：f'(x)＝3x²－3，令f'(x)＝0得x＝±1，f(－2)＝－1，f(－1)＝3，f(1)＝－1，f(2)＝3，最大值为3，最小值为－1。2.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n＝3n－2，求S_10的值。参考答案：S_n＝3n(n＋1)/2－2n＝3n²/2＋n/2，S_10＝3×10²/2＋10/2＝155。3.已知圆O的半径为1，圆心O到直线l的距离为1/2，求直线l与圆O相交所得弦长的值。参考答案：2√(1²－(1/2)²)＝√3。4.已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx，若f(x)的最小正周期为π，求ω的值。参考答案：f(x)＝√2sin(ωx＋π/4)，周期T＝2π/ω＝π得ω＝2。5.已知三棱锥A－BCD的底面BCD为等边三角形，AB⊥平面BCD，且AB＝2，BC＝1，求三棱锥A－BCD的体积。参考答案：V＝1/3×S_BCD×AB＝√3/3。6.已知直线l：x－2y＋1＝0与圆C：x²＋y²－2x＋4y－3＝0的位置关系，判断是相切还是相交。参考答案：圆心(1，－2)，半径√6，圆心到直线距离d＝√6，故相切。7.已知复数z＝1＋i，求z²的值。参考答案：z²＝(1＋i)²＝1＋2i－1＝2i。8.已知数列{a_n}是等比数列，若a_1＝1，a_5＝32，求公比q的值。参考答案：a_5＝a_1q⁴得32＝1×q⁴，故q＝2。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.B3.C4.C5.A6.D7.A8.A9.B10.B解析：1.数轴上点x到点1和点－2的距离之和最小为3；2.复数z＝1±i，|z|＝√2；3.由余弦定理cosA＝1/2得A＝60°，△ABC为等边三角形；4.数列{a_n－1}是首项为0、公比为2的等比数列；5.函数周期T＝2π/ω＝2π得ω＝1，sin(π/4＋φ)＝1得φ＝π/4；6.当过点P的直线经过圆心O时，弦长最大为2√3；7.由f'(x)＝0得x＝±1，f(－2)＝－1，f(－1)＝3，f(1)＝－1，f(2)＝3，最大值为3，最小值为－4；8.底面面积S_BCD＝√3/4，体积V＝1/3×S_BCD×AB＝√3/3；9.由f'(1)＝0得a＝e；10.圆心到直线距离d＝√6，半径√6，故相切。二、填空题1.112.513.∛314.1/215.1/216.－117.15518.219.3√3/4＋√520.相切解析：11.sin²α＋cos²α＝1；12.a_2＝2/1×1＝2，a_3＝3/2×2＝3，a_4＝4/3×3＝4，a_5＝5/4×4＝5；13.log_a(2＋1)＝1得a³＝3；14.由余弦定理cosA＝1/2得A＝60°，cosB＝1/2；15.2√(1²－(1/2)²)＝√3；16.f(－2)＝－1，f(－1)＝3，f(1)＝－1，f(2)＝3，最小值为－1；17.S_n＝3n²/2＋n/2，S_10＝155；18.f(x)＝√2sin(ωx＋π/4)，周期T＝2π/ω＝π得ω＝2；19.底面面积S_BCD＝√3/4，侧面面积S_ABD＝√3，S_ACD＝√3，S_ABC＝√5，表面积S＝3√3/4＋√5；20.圆心到直线距离d＝√6，半径√6，故相切。三、判断题1.×22.×23.√24.√25.√26.√27.×28.√29.×30.√解析：21.z²－z＝0得z＝0或z＝1；22.f(－2)＝－1，f(－1)＝3，f(1)＝－1，f(2)＝3，最小值为－1；23.a_5＝a_1＋4d得5＝1＋4d，故d＝1；24.2√(1²－(1/2)²)＝√3；25.f(x)＝√2sin(ωx＋π/4)，周期T＝2π/ω＝π得ω＝2；26.V＝1/3×S_BCD×AB＝√3/3；27.圆心到直线距离d＝√6，半径√6，故相切；28.z²－z＝0得z＝0或z＝1；29.f(－2)＝－1，f(－1)＝3，f(1)＝－1，f(2)＝3，最小值为－1；30.a_5＝a_1q⁴得32＝1×q⁴，故q＝2。四、简答题1.参考答案：f'(x)＝2x－4，令f'(x)＝0得x＝2，f(－1)＝8，f(2)＝－1，f(3)＝0，最大值为8，最小值为－1。解析：求导f'(x)＝2x－4，令f'(x)＝0得x＝2，判断极值点，计算端点值，比较大小得最大值和最小值。2.参考答案：S_n＝3n(n＋1)/2－2n＝3n²/2＋n/2，S_10＝3×10²/2＋10/2＝155。解析：利用等差数列求和公式S_n＝n(a_1＋a_n)/2，代入a_n＝3n－2得S_n＝3n²/2＋n/2，计算S_10＝155。3.参考答案：2√(1²－(1/2)²)＝√3。解析：利用弦长公式2√(r²－d²)，代入r＝1，d＝1/2得弦长为√3。4.参考答案：f(x)＝√2sin(ωx＋π/4)，周期T＝2π/ω＝π得ω＝2。解析：利用周期公式T＝2π/ω，由T＝π得ω＝2。5.参考答案：V＝1/3×S_BCD×AB＝√3/3。解析：利用体积公式V＝1/3×底面积×高，底面面积S_BCD＝√3/4，高AB＝2，计算V＝√3/3。6.参考答案：圆心(1，－2)，半径√6，圆心到直线距离d＝√6，故相切。解析：利用圆心到直线距离公式d＝|Ax_0＋By_0＋C|/√(A²＋B²)，代入直线方程和圆心坐标，计算d＝√6，与半径相等故相切。7.参考答案：z²＝(1＋i)²＝1＋2i－1＝2i。解析：利用复数乘法法则，计算z²＝1＋2i－1＝2i。8.参考答案：a_5＝a_1q⁴得32＝1×q⁴，故q＝2。解析：利用等比数列通项公式a_n＝a_1q^{n－1}，代入a_5＝32，a_1＝1得q⁴＝32，故q＝2。五、应用题