16.3.1　平方差公式教案

数学八年级上册(RJ)16.3乘法公式16．3.1平方差公式教师备课素材示例●置疑导入想一想：(1)计算下列各组算式，并观察它们的共同特征．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5×7＝？,6×6＝？))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9×11＝？,10×10＝？))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(49×51＝？,50×50＝？))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(99×101＝？,100×100＝？))(2)从以上的过程中，你能寻找出什么规律？(3)请你用字母表示你所发现的规律，并得出结论．【教学与建议】教学：通过列举算式的简便运算，引起学生的学习兴趣．建议：引导学生体会特例、进行归纳、建立猜想，用符号表示并给出证明探索过程．●归纳导入自主探究：计算下列多项式的积：(1)(x＋1)(x－1)＝x2－x＋x－1＝x2－1；(2)(m＋2)(m－2)＝m2－2m＋2m－4＝m2－4；(3)(1＋5a)(1－5a)＝1－5a＋5a－25a2＝1－25a2.观察上述算式，你发现什么规律？计算出结果后，你又发现了什么规律？上面三个算式每个因式都是二项式；等式的左边是两数的和与两数的差的积，等式的右边是这两个数和的平方差.【教学与建议】教学：以探索、归纳公式这一系列活动，加深学生的体验．建议：与小组同伴合作、讨论、交流，然后归纳证明结论．·命题角度1直接应用平方差公式计算运用(a＋b)(a－b)＝a2－b2直接计算．【例1】计算(3x＋1)(1－3x)的结果正确的是(B)A．9x2－1B．1－9x2C．－9x2＋9x－1 D．9x2－9x＋1【例2】计算：（－eq\f(1,2)m＋n）（－eq\f(1,2)m－n）＝eq\f(1,4)m2－n2.·命题角度2利用平方差公式进行简便计算将其改写成两数和与两数差的积的形式，构成平方差公式结构．【例3】计算：(1)99×101；(2)100eq\f(1,5)×99eq\f(4,5).解：(1)原式＝(100－1)×(100＋1)＝1002－12＝9999；(2)原式＝（100＋eq\f(1,5)）×（100－eq\f(1,5)）＝1002－（eq\f(1,5)）2＝10000－eq\f(1,25)＝9999eq\f(24,25).·命题角度3添项后运用平方差公式在不改变原式的值的前提下，将原式添上一个因式构成平方差公式使计算简便．【例4】计算：(1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)；解：原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＝216－1；(2)(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)－1.解：原式＝eq\f((3－1)(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)－2,2)＝eq\f((32－1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)－2,2)＝eq\f(316－3,2).高效课堂教学设计1．理解平方差公式，并能灵活运用公式进行计算．2．通过了解平方差公式的几何背景，体会数形结合的思想方法．▲重点平方差公式及其特征．▲难点平方差公式的运用．◆活动1新课导入1．你能说一说多项式与多项式相乘的运算法则吗？答：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．2．计算：(1)(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3；(2)(x＋3)(x－3)＝x2－9；(3)(m＋n)(m－n)＝m2－n2.◆活动2探究新知1．教材P112探究．提出问题：(1)观察探究中的算式，它们有什么共同特征？(2)计算算式，根据结果，你有什么发现？(3)改变探究中的数字，你的发现还成立吗？(4)用简洁的方式表示你的发现．学生完成并交流展示．2．观察图①和图②.提出问题：(1)你能说出图①中这个长方形的长和宽吗？你能表示出这个图形的面积吗？(2)你能表示图②中这个多边形的面积吗？(3)观察图①和图②，你能发现它们的面积有什么关系吗？(4)通过上面的探索你能得出什么结论？学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳1．两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，用字母表示为(a＋b)(a－b)＝a2－b2.2．能用平方差公式进行运算的式子的特征：(1)二项式与二项式的积；(2)有一项相同，另一项互为相反数.◆活动4例题与练习例1教材P112例1.例2教材P113例2.例3计算：(1)10.1×9.9；(2)2024×2026－20252.解：(1)原式＝(10＋0.1)(10－0.1)＝102－0.12＝99.99；(2)原式＝(2025－1)×(2025＋1)－20252＝20252－1－20252＝－1.例4如图①，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②的等腰梯形．(1)设图①中阴影部分的面积为S1，图②中阴影部分的面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1，S2；(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式．解：(1)S1＝a2－b2，S2＝eq\f(1,2)(2b＋2a)(a－b)＝(a＋b)(a－b)；(2)(a＋b)(a－b)＝a2－b2.练习1．教材P113～114练习第1，2，3题．2．在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是(D)A．(2a＋3b)(3a－2b)B．(a＋b)(－a－b)C．(－m＋n)(m－n)D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)m＋\f(1,6)n))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)m＋\f(1,6)n))3．在下列多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是(C)A．(2a＋b)(2a－b)B．(2a＋b)(b－2a)C．(2a＋b)(－2a－b)D．(2a－b)(－2a－b)4．计算0.1253×83＋202×198的结果为(C)A．39996B．39999C．39997D．400045．先化简，再求值：(1)(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2；解：原式＝5x2－5y2.当x＝1，y＝2时，原式＝－15；(2)－4x(x2－2x－1)＋x(2x＋5)(2x－5)，其中x＝－1.解：原式＝8x2－21x.当x＝－1时，原式＝29.◆活动5课堂小结1．平方差公式及其特征．2．平方差公式的运用．1．作业布置(1)教材P117习题16.3第1题；(2)对应课时练习．2．教学反思综合训练一、选择题1.下列计算正确的是()A.(a3)2=a5 B.(-ab3)3=-ab6C.(a+2)2=a2+4 D.2x12÷x6=2x62.下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是()A.a(x-y)=ax-ayB.x2+2x+1=x(x+2)+1C.(x+1)(x+3)=x2+4x+3D.x3-x=x(x+1)(x-1)3.把多项式x2+ax+b分解因式,得(x+1)·(x-3),则a,b的值分别是()A.a=2,b=3 B.a=-2,b=-3C.a=-2,b=3 D.a=2,b=-34.(xn+1)2(x2)n-1=()A.x4n B.x4n+3 C.x4n+1 D.x4n-15.把多项式x3-2x2+x分解因式正确的是()A.x(x2-2x) B.x2(x-2)C.x(x+1)(x-1) D.x(x-1)26.计算(72x3y4-36x2y3+9xy2)÷(-9xy2)的结果为()A.-8x2y2+4xy-1 B.-8x2y2-4xy-1C.-8x2y2+4xy+1 D.-8x2y2+4xy7.如图①,一个长方形的长为2m,宽为2n(m>n),用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图②那样拼成一个正方形,则中间空白部分的面积是()A.2mn B.(m+n)2C.(m-n)2 D.m2-n28.如图,正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张,如果要拼一个长为(a+3b),宽为(2a+b)的大长方形,则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为()A.2,3,7 B.3,7,2 C.2,5,3 D.2,5,7二、填空题9.若多项式x2+kx+16是一个完全平方式,则k的值是.10.设a=192×918,b=8882-302,c=10532-7472,则a,b,c按从小到大的顺序排列,结果是.

11.若a+3b-2=0,则3a·27b的值是.

12.将4个数a,b,c,d排成2行、2列,两边各加一条竖直线记成abcd,定义abcd=ad-bc.若-三、解答题13.计算:(1)2a5·(-a)2-(-a2)3·(-7a);(2)(x-4y)·(2x+3y)-(x+2y)·(x-y).14.先化简再求值:(1)2x-23y-((2)(3x-y)2-(2x+y)2-5x(x-y),其中x=2,y=1.15.(14分)观察下列三个算式的特点:52-32=8×2,92-72=8×4,152-32=8×27.(1)请你再写两个具有同样规律的算式;(2)用文字写出反映上述算式的规律;(3)验证这个规律的正确性.综合训练一、选择题1.D2.D3.B∵(x+1)(x-3)=x2-2x-3,∴x2+ax+b=x2-2x-3.∴a=-2,b=-3.4.A5.D6.A7.C拼成的正方形的边长为(m+n),它的面积为(m+n)2=m2+2mn+n2.原长方形的面积为4mn,故中间空白部分的面积为m2+2mn+n2-4mn=m2-2mn+n2=(m-n)2.8.A长为(a+3b),宽为(2a+b)的大长方形的面积为(a+3b)·(2a+b)=2a2+7ab+3b2.因为一张A类卡片的面积为a2,一张B类卡片的面积为b2,一张C类卡片的面积为ab,所以需要A类卡片2张,B类卡片3张,C类卡片7张.故选A.二、填空题9.±810.a<c<b因为a=192×918=361×918,b=8882-302=(888-30)(888+30)=858×918,c=10532-7472=(1053+747)(1053-747)=1800×306=600×918,所以a<c<b.11.912.-6由新定义知,-53x2+52x2-3=-5(x2-3)-2(3x2+5)=-5x2+15-因为-5所以-11x2+5=6.故11x2-5=-(-11x2+5)=-6.三、解答题13.解(1)原式=2a5·a2-7a6·a=2a7-7a7=-5a7.(2)原式=(2x2+3xy-8xy-12y2)-(x2-xy+2xy-2y2)=2x2-5xy-12y2-x2-xy+2y2=x2-6xy-10y2.14.解(1)原式=2x=x+=x2+19y2+23xy-=x2+19y2当x=1,y=9时,原式=12+19×92=1+9=10(2)原式=(3x-y+2x+y)(3x-y-2x-y)-5x2+5xy=5x·(x-2y)-5x2+5xy=5x2-10xy-5x2+