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2025–2026考研数学一线代【特征值与特征向量】综合测试卷2025–2026考研数学一线代【特征值与特征向量】综合测试卷适用：数学一；满分50分；考试时长60分钟

考点：特征值/特征向量定义、性质；A∗一、选择题（每题4分，共16分）设A是3阶方阵，λ=2是A的一个特征值，则A2+A+E必有特征值（）

A.4B.6C.7设A,B为n阶方阵，若A∼B，则下列不一定成立的是（）

A.|A|=|B|

B.r(A)=r(B)

C.A,B有相同特征多项式

D.A,B有相同特征向量设三阶矩阵A的特征值为λ1=1,λ2=2,λ3=0，则矩阵A∗的特征值为（）

A.0,0,2设A为n阶实对称矩阵，则错误的是（）

A.A不同特征值对应的特征向量相互正交

B.A一定可以相似对角化

C.A的特征值全为实数

D.A的特征向量一定两两正交二、填空题（每题4分，共16分）已知ξ=(1,−1,1)T是A=3阶方阵A满足|A|=6，迹tr(A)=7，已知一个特征值λ1=2，λ设二阶矩阵A满足A2−3A+2E=O，则A的可能特征值为\\\\\\\已知三阶矩阵A的特征值为1,−1,2，B=A3−2A三、解答题（共18分）9.（8分）设矩阵

A=322232223

(1)求A的全部特征值与对应的特征向量；

10.（10分）设三阶方阵A的特征值λ1=λ2=2,λ3=6，对应的特征向量：ξ1=(−1,1,0)T,参考答案与详细解析一、选择题C若Aξ=λξ，则f(A)ξ=f(λ)ξ。DA∼B：特征值、行列式、秩、特征多项式相同，但特征向量一般不同。A|A|=λ1λ2λ3=0；伴随矩阵性质：若Aξ=λξ,λ≠0，则A∗ξ=|A|λξ。D实对称矩阵不同特征值特征向量正交；同一特征值的多个特征向量不一定正交，需要施密特正交化。二、填空题a=−3,;b=0

Aξ=λξ

2−12λ3=2

迹：λ1+λ1或2

设Aξ=λξ，代入方程：(−6

B=A3−2A，B特征值：

λ=1:13−2×1=−1；λ=−1:(−1)更正第8题：特征值依次为−1,1,4，行列式|B|=−4。三、解答题9.解：A=3222322①λ1=1，解(E−A)x=0

E−A=−2−2−2\-2②λ2=λ3=5，解(5E−A)x=0

A是实对称矩阵，一定可相似对角化。

取P=(ξ1,10.解(1)证明线性无关：

(ξ1(2)AP=PΛ，P=(ξ1,(

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