贵州省遵义市2025~2026学年高二下册7月期末数学试卷【附解析】

数学（满分：150分时间：120分钟）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.2.（）A. B.C. D.3.已知函数，则（）A. B.C. D.4.已知，则（）A. B.C. D.5.在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（）A. B.C. D.6.在△ABC中，D为BC中点，M为AD中点，，则（）A. B. C.1 D.7.已知数列满足，若，则（）A. B.C. D.8.已知，分别是双曲线的左、右焦点，点，分别在的左、右支上，且，，则的离心率为（）A. B.C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.将一枚质地均匀的硬币抛掷次，记正面向上的次数为，下列说法中正确的是（）A.B.随机变量服从二项分布C.若随机变量，满足，则D.若随机变量，满足，则10.已知为圆上的动点，过点作轴的垂线段，为垂足，线段的中点的轨迹为曲线，直线：与曲线相交于两点．下列结论正确的是（）A.的方程为B.C.的面积为D.上的点到的距离的最大值为11.已知是定义在上的奇函数，且，当时，，下列说法中正确的是（）A.是的周期B.C.不等式的解集为D.当时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数，则在处的切线方程为_______．13.如图，给图中的A，B，C，D，E五个区域涂色，要求相邻区域涂不同的颜色．现有4种不同的颜色供选择，则有________种不同的涂色方案．（用数字作答）14.现有一块棱长为的正四面体金属材料，将其打磨成若干个球形弹珠用于某机器的零件（打磨过程中的磨损忽略不计）．若该金属块只打磨成一个最大弹珠，则该弹珠的半径是________；若将该金属块打磨成半径为1的弹珠，则最多可以打磨这种弹珠的个数是________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知关于的成对数据如下表：55.566.574555626880（1）求关于的回归直线方程；（2）利用（1）的回归直线方程，预测当时的值．附：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．16.已知函数．（1）若，求的极值；（2）讨论的单调性．17.如图，在三棱锥中，为中点，，，且．（1）证明：为等边三角形；（2）已知为三棱锥外接球的球心，若，求直线与平面所成角的正弦值．18.已知数列是等比数列，且，．（1）求的通项公式；（2）若数列的各项均为正数，其前项和为，且为等差数列，．（i）证明：为等差数列；（ii）若，记，证明：．19.2026年世界杯足球赛正在火热开展，掀起了大众对足球运动的热爱．与此同时，某网络平台举办了一场有关足球知识的竞猜游戏，游戏规则如下：每次竞猜时答对得3分，答错得分（竞猜中只有答对和答错两种情况），累计得分达到6分或分时游戏结束，否则游戏继续进行．当时获胜，获得精美礼品一份，时落败．已知小王参与竞猜时每题答对的概率为，且每次竞猜答对与否互不影响．（1）求小王恰好竞猜4次，获得精美礼品一份的概率；（2）记表示事件“小王竞猜次，游戏仍未结束”，已知．（i）求；（ii）求游戏结束时的数学期望．

数学（满分：150分时间：120分钟）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：由题意得，所以.2.（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：.3.已知函数，则（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：根据导数的定义求解即可.解答过程：，.4.已知，则（）A. B.C. D.答案：A解析：解答过程：因为的展开式为，令，即，则.所以.5.在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（）A. B.C. D.答案：B解析：解答过程：由正弦定理可知，即，因为，所以，所以.6.在△ABC中，D为BC中点，M为AD中点，，则（）A. B. C.1 D.答案：A解析：思路：根据图象及其性质，即可得出，，进而根据，即可求出的值，即可得出答案.解答过程：因为是的中点，所以，.又因为是的中点，所以，，又，所以，，所以．故选：A．7.已知数列满足，若，则（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：判断数列的周期性，结合周期性求解即可.解答过程：，，，，则数列是周期为4的数列，所以.8.已知，分别是双曲线的左、右焦点，点，分别在的左、右支上，且，，则的离心率为（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：由向量的数量关系得到平行，结合题意即可得到，设点坐标，由向量的关系得到点坐标，由向量垂直建立等量关系，结合点在双曲线上，整理等式.联立两点在双曲线上的方程，解得点横坐标，然后代入前面等式，通过整理化简即可得到关于离心率的方程，解得离心率.解答过程：因为，所以，又因为，所以，设，则，所以，即，所以，所以，即,因为在曲线上，所以，即，所以，又因为，所以因为在曲线上，所以，即，则，所以，代入上式得，即，所以，即，所以，即，所以，所以，因为离心率，所以，所以，所以.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.将一枚质地均匀的硬币抛掷次，记正面向上的次数为，下列说法中正确的是（）A.B.随机变量服从二项分布C.若随机变量，满足，则D.若随机变量，满足，则答案：BD解析：解答过程：由题意可知，B选项正确；，A选项错误；因为，即，所以，C选项错误；，D选项正确.10.已知为圆上的动点，过点作轴的垂线段，为垂足，线段的中点的轨迹为曲线，直线：与曲线相交于两点．下列结论正确的是（）A.的方程为B.C.的面积为D.上的点到的距离的最大值为答案：ACD解析：思路：先用相关点法设中点坐标反推圆上动点坐标，代入圆方程求得椭圆曲线；联立直线与椭圆方程，借助韦达定理和弦长公式判断弦长，再用点到直线距离结合弦长求三角形面积；利用椭圆参数方程结合辅助角公式求出曲线上点到直线距离最大值，逐一判定选项．解答过程：对于A，设，由题意，是中点，故，因为在圆上，所以，化简得，A正确；对于B，联立，整理得，，设，由韦达定理得，，所以，B错误；对于C，原点到直线：的距离，，C正确；对于D，椭圆的参数方程为，，点到直线距离公式，，其中，最大值出现在时，，D正确．11.已知是定义在上的奇函数，且，当时，，下列说法中正确的是（）A.是的周期B.C.不等式的解集为D.当时，答案：ABD解析：思路：根据函数的对称性、奇偶性、周期性及单调性逐项分析判断即可.解答过程：对于A，由，得，且关于直线对称.又为奇函数，所以，所以，则，所以，故是的周期，A正确.对于B，，B正确.对于C，当时，，则可化为，即，解得.当时，，，此时，即无解.当时，，，此时解集为.因为关于直线对称，所以当时，无解集.所以在一个周期内的解集为.故的解集为，C错误.对于D，当时，，则，所以，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数，则在处的切线方程为_______．答案：解析：解答过程：，所以.又，所以切线方程为.13.如图，给图中的A，B，C，D，E五个区域涂色，要求相邻区域涂不同的颜色．现有4种不同的颜色供选择，则有________种不同的涂色方案．（用数字作答）答案：72解析：解答过程：分步完成，首先涂区域，共有4种涂法，第二步涂区域，共有3种涂法，第三步涂区域，共有2种涂法，对于区域和区域，分类讨论，若区域与区域颜色相同，则区域有1种涂法，区域有2种涂法，若区域与区域颜色不同，则区域有1种涂法，区域有1种涂法，所以共有种涂法.14.现有一块棱长为的正四面体金属材料，将其打磨成若干个球形弹珠用于某机器的零件（打磨过程中的磨损忽略不计）．若该金属块只打磨成一个最大弹珠，则该弹珠的半径是________；若将该金属块打磨成半径为1的弹珠，则最多可以打磨这种弹珠的个数是________．答案：①.②.解析：思路：本题相当于是正四面体的内切球问题，可以从空心正四面体内部放球来处理，设该正四面体的棱长为，内切球的半径为．解答过程：（1）如图1，在正四面体中，放入1个最大球，设内切球半径为，，，因为，所以，整理得，所以放入一个球时最大球的半径；（2）要放入若干个球时，为保证球的个数最多，则等价于内部所有球与球之间外切，最外层的球与正四面体的表面相切．此外，由正四面体的对称性知，在内部放入更多球时，其排列为分层摆放，其中第一层个；第二层个，第三层个；……第n层：个；每一层均为正三角形排布，则只需考虑第n层的一条边上放入n个球（如图3所示）中的n的值，如图2，正四面体的内切球的俯视图中，该内切圆不能与正三角形的边相切（因为内切球与侧面相切，无法与棱相切），所以我们需要计算内切球切点D到棱的距离的长，其中刚好是底面内切圆的半径，因为，所以，内切球半径，所以切点D到棱的距离是内切球半径的倍，则．如图3，若最下面一层，即第n层的俯视图中，靠棱的一侧放入n个球，其中球心H到棱的距离，显然，则有，代入数据得，解得，所以，求得总个数为，所以该几何体最多可打磨成20个球．故答案为：：；20.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知关于的成对数据如下表：55.566.574555626880（1）求关于的回归直线方程；（2）利用（1）的回归直线方程，预测当时的值．附：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．答案：（1）（2）128.4解析：思路：（1）根据最小二乘法公式代入求解即可.（2）利用（1）的回归直线方程代入求解即可.（1）由题意得：，，，，所以，所以，所以关于的回归方程为．（2）由（1）知关于的回归方程为，当时，，所以预测值为128.4．16.已知函数．（1）若，求的极值；（2）讨论的单调性．答案：（1）极大值为，无极小值（2）①当时，在上单调递减；②当时，在上单调递增，在上单调递减；③当时，在上单调递增，在上单调递减．解析：（1）函数的定义域为，当时，，所以．得时，；时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的极大值为，无极小值．（2）由得．①当时，，所以在上单调递减；②当时，时，，时，，在上单调递增，在上单调递减；③当时，时，，时，，在上单调递增，在上单调递减．综上，①当时，在上单调递减；②当时，在上单调递增，在上单调递减；③当时，在上单调递增，在上单调递减．17.如图，在三棱锥中，为中点，，，且．（1）证明：为等边三角形；（2）已知为三棱锥外接球的球心，若，求直线与平面所成角的正弦值．答案：（1），为的中点，∴，且，，平面，．平面，∴．为的中点，∴．，∴为等边三角形．（2）解析：（1）略（2）因为，所以，因为，所以，在等边中，，所以，所以．则以为坐标原点，以，，为，，的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则有，，，，设球心，则有：，其中；；；；联立解得，，，即．，，．设平面的法向量，则有，取，，，，．记直线与平面所成角，，所以直线与平面所成角的正弦值．18.已知数列是等比数列，且，．（1）求的通项公式；（2）若数列的各项均为正数，其前项和为，且为等差数列，．（i）证明：为等差数列；（ii）若，记，证明：．答案：（1）（2）（i）因为，，所以，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，即，故当时，．当时，上式也成立，故，所以，故数列是以为公差的等差数列．（ii）由（i）可知，，则．方法一：因为，，当时，，所以，所以，．方法二：因为，，，又当时，，所以当时，．所以，．解析：思路：（1）根据等比数列的通项公式列方程组求解即可.（2）（i）根据为等差数列求出，根据求出，结合等差数列的定义证明即可.（ii）求出，（方法一）根据等比数列的前项和公式，结合放缩法证明即可；（方法二）结合裂项相消法证明即可.（1）设等比数列的公比为，根据题意可得，解得，所以．（2）略19.2026年世界杯足球赛正在火热开展，掀起了大众对足球运动的热爱．与此同时，某网络平台举办了一场有关足球知识的竞猜游戏，游戏规则如下：每次竞猜时答对得3分，答错得分（竞猜中只有答对和答错两种情况），累计得分达到6分或分时游戏结束，否则游戏继续进行．当时获胜，获得精美礼