河北NT20名校联合体2025~2026学年高一下册7月期末巩固训练数学试卷【附解析】

数学考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数满足，则的虚部为（）A.1 B. C.i D.2.已知向量，，且，则等于（）A.-2 B. C. D.23.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则4.在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则此三角形的解的情况是（）A.无解 B.一解 C.两解 D.无法确定5.某校为了解高一学生的月阅读时间（单位：小时），得到如下数据：已知阅读时间在内的频率为0.1，在内的频率为0.2，在内的频率为0.4，在内的频率为0.2，在内的频率为0.1，若月阅读时间不低于15小时的学生共有90人，则根据上述数据，该校高一学生总人数为（）A.200 B.300 C.400 D.5006.一个正四面体的四个面分别标有数字1，2，3，4，若将正四面体连续抛掷两次，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是（）A. B. C. D.7.在中，，，若点满足，则的最小值为（）A. B. C. D.8.在边长为1的正方形中，点为边的中点，点为线段上的动点，点为的中点，则线段长的最小值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，，，则下列结论正确的是（）A.为纯虚数B.C.D.若是实系数方程的一个根，则另一个根为10.某同学进行了5次掷骰子（点数1~6）试验，得到一组整数数据，关于这组数据的统计量，有四个说法：①若平均数为3，则方差可能为2.4；②若中位数为2，则众数可能为3；③若平均数为4，则极差可能为2；④若中位数为3，则方差可能为2.8．其中正确的说法是（）A.① B.② C.③ D.④11.如图，在矩形中，，，点在边上，且，将沿翻折至，使得平面平面．设点在平面内的投影为，连接，，则下列结论正确的是（）A.点在直线上B.直线与直线所成角的余弦值大于C.线段的长度为D.三棱锥的外接球的表面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在随机模拟中，用计算机生成三枚均匀硬币的抛掷结果（正面记作1，反面记作0），每次抛掷三枚硬币得到一组三位数（如101表示第一枚正面、第二枚反面、第三枚正面），连续生成以下8组随机数：110，010，101，000，111，001，100，011，统计事件“三枚硬币恰好出现一个正面”的组数，若用这8组数据估计该事件的概率，则估计值为________．（用最简分数表示）13.已知复数满足，且，则复数在复平面内对应的点的坐标为________．14.在平面直角坐标系中，已知点，，，点在内部（含边界）一点，且满足，则的最小值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知两个不共线的向量，，设，，．（1）若，求实数，的值；（2）设，且，，三点共线，其中，，，为坐标原点，求实数的值．16.某校高一年级共有学生600人，其中男生360人，女生240人，为了解学生周末体育锻炼时间（单位：小时），学校采用分层随机抽样的方法，按性别比例分配样本，抽取了一个容量为50的样本，男生样本中，体育锻炼时间的平均值为2.5小时，方差为1.2，女生样本中，体育锻炼时间的平均值为2.0小时，方差为0.8，另外，在该样本中，将体育锻炼时间达到3小时及以上定义为“运动达标”．统计发现，男生样本中有6人运动达标，女生样本中有4人运动达标．（1）求样本中男生和女生各有多少人，并计算样本中所有学生体育锻炼时间的平均值和方差；（2）用样本中男、女生的运动达标率分别估计全校男、女生的运动达标率，现从全校高一年级中随机抽取2名学生（假设每次抽取相互独立，且性别比例与全校一致），若运动达标率与性别相互独立，求这2名学生中至少有1名女生且恰有1人运动达标的概率．17.如图，四棱锥的底面是以为中心的矩形，，，侧棱底面，且，点为棱的中点，点为棱的中点．（1）求证：平面平面；（2）点是线段上的动点（不与端点重合），若二面角的大小为，若，求的值．18.一个盒子里装有3个完全相同的球，分别标有数字1、2、3，现进行两次独立试验：每次从盒中随机摸出一个球，记录数字后放回．设第一次摸出的数字为，第二次摸出的数字为．定义事件：是奇数为事件，是质数（注：1不是质数，2和3是质数）为事件，是偶数为事件．（1）求，，；（2）判断事件与是否相互独立，并说明理由；（3）求事件“与至少有一个发生，且发生”的概率．19.在凸四边形中，对角线平分，，，，．（1）证明：；（2）求；（3）求；（4）点为的中点，线段的垂直平分线交于点，求的面积．

数学考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数满足，则的虚部为（）A.1 B. C.i D.答案：B解析：解答过程：可知，则虚部为.2.已知向量，，且，则等于（）A.-2 B. C. D.2答案：D解析：解答过程：因为，，且，所以，解得.3.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则答案：B解析：解答过程：A选项，若，，则平面内存在直线，因为直线与直线不一定平行，直线与直线不一定平行，所以A选项不正确；B选项，因为垂直于同一平面的两条直线平行，故B选项正确；C选项，若，，则平面与平面也可能相交，例：正方体中，平面，平面，而平面.故C选项不正确；D选项，若，，则或，故D选项不正确，4.在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则此三角形的解的情况是（）A.无解 B.一解 C.两解 D.无法确定答案：B解析：思路：通过正弦定理确定，即可求解.解答过程：根据正弦定理，代入已知条件，，，得：

，由题意：，又​，所以，即只有一个解，因此该三角形只有一解.5.某校为了解高一学生的月阅读时间（单位：小时），得到如下数据：已知阅读时间在内的频率为0.1，在内的频率为0.2，在内的频率为0.4，在内的频率为0.2，在内的频率为0.1，若月阅读时间不低于15小时的学生共有90人，则根据上述数据，该校高一学生总人数为（）A.200 B.300 C.400 D.500答案：B解析：思路：根据已知的频率和频数，根据频率=频数/总数可计算总数．解答过程：因为月阅读时间不低于15小时的学生频率为，频数为90，故总人数为人．6.一个正四面体的四个面分别标有数字1，2，3，4，若将正四面体连续抛掷两次，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：将正四面体连续抛掷两次，则一共有个样本点；其中两次向下的面上数字之积为偶数的情况包含两次都是偶数、或者一奇一偶（包含第一次是奇数，第二次是偶数；第一次是偶数，第二次是奇数）两类，包含样本点，故概率为．7.在中，，，若点满足，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：建立平面直角坐标系，根据设出点坐标，根据向量的数量积及辅助角公式求解即可.解答过程：由题意知，为等边三角形.以点为原点，以为轴建立平面直角坐标系，则，，，因为，所以点在以点为圆心，1为半径的圆上，设，则，，所以.因为，所以的最小值为.8.在边长为1的正方形中，点为边的中点，点为线段上的动点，点为的中点，则线段长的最小值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：通过向量数乘表示动点位置，将线段长度最值转化为含参数的向量模长最值问题，利用函数单调性求解，核心考查平面向量的线性运算及模长公式的应用.解答过程：以为坐标原点，、的方向分别为轴、轴正方向建立平面直角坐标系.∵正方形边长为，∴.∵为的中点，∴.∴.∵为线段上的动点，设，，∴.∵为的中点，∴.∴.令，∵，∴.代入化简得.∵，∴随的增大而增大，∴当时，取得最小值，最小值为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，，，则下列结论正确的是（）A.为纯虚数B.C.D.若是实系数方程的一个根，则另一个根为答案：BCD解析：思路：对于A，根据复数的定义判断即可；对于B，根据复数的乘法和除法及共轭复数求解即可；对于C，根据复数的几何意义求解即可；对于D，根据实系数方程的虚根共轭成对求解即可.解答过程：对于A，，实部是1，虚部是，不是纯虚数，A错误.对于B，，，所以，B正确.对于C，由B知，，所以，C正确.对于D，实系数方程的虚根共轭成对，若是根，则另一个根是它的共轭，D正确.10.某同学进行了5次掷骰子（点数1~6）试验，得到一组整数数据，关于这组数据的统计量，有四个说法：①若平均数为3，则方差可能为2.4；②若中位数为2，则众数可能为3；③若平均数为4，则极差可能为2；④若中位数为3，则方差可能为2.8．其中正确的说法是（）A.① B.② C.③ D.④答案：ACD解析：思路：利用平均数，方差，中位数，众数的定义依次分析选项即可求解.解答过程：设数据为,，且，对于A，因为平均数，假设方差，可得，取这组数据为：，则这五个数的和为，方差，满足条件.对于B，若中位数为2，则，若众数为3，则3出现次数最多，但3最多出现2次，1或2必然也至少出现2次，3无法成为唯一众数，故②错误；对于C，若极差为2，则，取这组数据为：，满足平均数为4，极差为2，故③正确；对于D,若中位数为3，则，取这组数据为：，则平均数为，方差,满足条件，故正确11.如图，在矩形中，，，点在边上，且，将沿翻折至，使得平面平面．设点在平面内的投影为，连接，，则下列结论正确的是（）A.点在直线上B.直线与直线所成角的余弦值大于C.线段的长度为D.三棱锥的外接球的表面积为答案：AD解析：思路：翻折类立体几何问题需优先明确翻折前后不变的长度、角度关系，结合面面垂直性质确定投影点位置；求解多面体外接球时，可通过底面外接圆圆心的垂线定位球心，利用球心到各顶点距离相等列方程求解.解答过程：∵平面平面，交线为，在平面内的投影为，即平面，∴由面面垂直的性质定理得在交线上，故选项A正确.B选项：∵原矩形中，，，∴.翻折后，，为斜边上的高，由直角三角形射影定理，∴.又，且，∴.∵，∴直线与直线所成角等于直线与直线所成角.过作于，在中，，∵，∴，，∴，，∴，在中，，∴.在中，由余弦定理代入数值计算，，∴，故B错误.C选项：过作于，∵四边形为矩形，∴，，在中，，∴，故C错误.D选项：为直角三角形，其外接圆圆心为中点，，故到三点距离相等，均为.已知，平面中，∵在矩形中，，，前已得，，∴由余弦差角公式：，在中，由余弦定理，代入数值得，∴.设外接球球心在过且垂直于平面的直线上，到平面的距离为，由得，代入，，，解得，∴外接球半径，外接球表面积，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在随机模拟中，用计算机生成三枚均匀硬币的抛掷结果（正面记作1，反面记作0），每次抛掷三枚硬币得到一组三位数（如101表示第一枚正面、第二枚反面、第三枚正面），连续生成以下8组随机数：110，010，101，000，111，001，100，011，统计事件“三枚硬币恰好出现一个正面”的组数，若用这8组数据估计该事件的概率，则估计值为________．（用最简分数表示）答案：##解析：解答过程：8组随机数：110，010，101，000，111，001，100，011中，统计事件“三枚硬币恰好出现一个正面”的组是，共三组，所以若用这8组数据估计该事件的概率，则估计值为.13.已知复数满足，且，则复数在复平面内对应的点的坐标为________．答案：解析：思路：根据题意，结合复数的几何意义即可求解.解答过程：设复数，则，，，，由于复数满足，且，所以，解得，因此，所以复数在复平面内对应的点的坐标为.14.在平面直角坐标系中，已知点，，，点在内部（含边界）一点，且满足，则的最小值为________．答案：．解析：思路：根据题意化简可得点在以为圆心，半径为1的圆及其内部，同时点是内部（含边界），化简，可将问题转化为求的最小值，结合图形分析即可求解.解答过程：设，则,由，即，所以点在以为圆心，半径为1的圆及其内部，同时点在内部（含边界），的边界为，由于，且的最小值，即求的最小值，令，则，所以当与圆相切时，取得最值，则，解得：，结合点是内部（含边界），取时，取得最小值，最小值为四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知两个不共线的向量，，设，，．（1）若，求实数，的值；（2）设，且，，三点共线，其中，，，为坐标原点，求实数的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据题意整理可得，结合平面向量基本定理运算求解即可；（2）根据三点共线的推论可知存在实数使得，即可得，结合平面向量基本定理运算求解即可.（1）因为，即，又因为，不共线，由平面向量基本定理得，解得.（2）因为，，三点共线，且，，，所以存在实数使得，又因为，即，且不共线，由平面向量基本定理得，解得，故实数的值为．16.某校高一年级共有学生600人，其中男生360人，女生240人，为了解学生周末体育锻炼时间（单位：小时），学校采用分层随机抽样的方法，按性别比例分配样本，抽取了一个容量为50的样本，男生样本中，体育锻炼时间的平均值为2.5小时，方差为1.2，女生样本中，体育锻炼时间的平均值为2.0小时，方差为0.8，另外，在该样本中，将体育锻炼时间达到3小时及以上定义为“运动达标”．统计发现，男生样本中有6人运动达标，女生样本中有4人运动达标．（1）求样本中男生和女生各有多少人，并计算样本中所有学生体育锻炼时间的平均值和方差；（2）用样本中男、女生的运动达标率分别估计全校男、女生的运动达标率，现从全校高一年级中随机抽取2名学生（假设每次抽取相互独立，且性别比例与全校一致），若运动达标率与性别相互独立，求这2名学生中至少有1名女生且恰有1人运动达标的概率．答案：（1）30人，20人，平均值2.3小时，方差1.1（2）0.2048．解析：思路：(1)按分层随机抽样的性别比例分配规则，计算样本中男生、女生的人数，再求出样本所有学生体育锻炼时间的平均值和方差(2)用样本男女生运动达标率估计全校对应达标率，结合抽取独立性、达标率与性别相互独立的条件，计算从全校高一年级随机抽名学生中，至少有名女生且恰有人运动达标的概率（1）样本中男生有（人），女生有（人）样本平均值（小时）．样本方差．（2）由题意知，男生运动达标率，女生运动达标率．全校学生中，男生占比为0.6，女生占比为0.4．记事件为“抽取的2名学生中至少有1名女生”，则．记事件为“抽取的2名学生中恰有1人运动达标”，由于男女生达标率均为0.2，则．由于达标率与性别相互独立，故所求概率，故这2名学生中至少有1名女生且恰有1人运动达标的概率为0.2048．17.如图，四棱锥的底面是以为中心的矩形，，，侧棱底面，且，点为棱的中点，点为棱的中点．（1）求证：平面平面；（2）点是线段上的动点（不与端点重合），若二面角的大小为，若，求的值．答案：（1）因为点，分别为，的中点，则，且平面，平面，所以平面，在矩形中，为中心，则为的中点，因为为的中点，则，且平面，平面，所以平面，又因为，，平面，所以平面平面．（2）解析：思路：（1）可证平面，平面，结合面面平行的判定定理分析证明；（2）利用三垂线法作二面角的平面角，可知为二面角的平面角，分和两种情况，结合几何性质运算求解即可.（1）略（2）如图，连接，过点作于点．因为底面，点在线段上，所以底面．在底面内过点作于点，连接．因为，，，所以平面，由平面可得，故为二面角的平面角，即．设，，则，因为，则，在矩形中，，，则，，点到的距离，因为，，当时，点在线段上，由相似三角形可得，在中，，由得，解得；若，则点落在线段上，二面角为钝角，与矛盾；故，即的值为．18.一个盒子里装有3个完全相同的球，分别标有数字1、2、3，现进行两次独立试验：每次从盒中随机摸出一个球，记录数字后放回．设第一次摸出的数字为，第二次摸出的数字为．定义事件：是奇数为事件，是质数（注：1不是质数，2和3是质数）为事件，是偶数为事件．（