河北省唐山市玉田县2025~2026学年高一下册质量调研数学试卷【附解析】

数学本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时长120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.2.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.某公司生产的一批零件有、、三种不同型号，产量分别为，300，200件，现用分层抽样的方法从这批零件中抽取45件进行检验，若种零件被抽取20件，则（）A.400 B.300 C.250 D.2004.某校春季运动会男子100米项目有8名同学进入决赛，其成绩（单位：秒）分别为：12.1，12.3，12.7，12.7，12.9，13.1，13.5，14.4．则这8名同学百米成绩的第60百分位数是（）A.12.7 B.12.9 C.12.8 D.13.15.在正四棱台中，，高为，则该四棱台的体积为（）A. B. C. D.6.将一枚质地均匀的硬币在光滑平面上连续抛掷3次，设事件“至少出现一次正面向上”，则（）A. B. C. D.7.已知，，是空间中三条不同的直线，，为空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若，，，则B.若，，，，则C.若，，，，，则D.若，是异面直线，，，，，则8.如图，水平放置的圆台上底半径为1，下底半径为2，高为，一只蚂蚁从底部点沿侧面爬到中点，则它爬行路线的最短长度为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知是关于的方程（，）的一个根，另一个根记作，则（）A.， B.C. D.10.设为两个互斥事件，且，，则下列结论一定正确的有（）A. B.C. D.11.已知正方体的棱长为2，点在该正方体表面上移动．下列说法正确的有（）A.若点在线段上，则B.若点在线段上，则的最小值为C.若与所成角为，则点的轨迹长度为D.若点是线段的中点，则三棱锥外接球的表面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知5个数为：1，2，3，4，5，则这5个数的方差为________．13.已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为________．14.在中，的平分线交于点，若，，则________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知平面向量与的夹角为，且，．（1）求；（2）求；（3）若与垂直，求的值．16.我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在该市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准（单位：），月用水量不超过的部分按平价收费，每吨收费5元；超出的部分按议价收费，每吨6.75元．为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100户居民某年的月均用水量（单位：），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图估计这组数据的众数（最高矩形底边中点的横坐标）并求的值；（2）已知该市有80万户居民，估计全市居民中月均用水量不低于的户数；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准，估计的值；若该市某户居民某月用水量为，求该户居民本月应缴水费多少元？17.在中，角，，对应的边分别为，，，，．（1）若，求；（2）当为何值时，的面积最大？并求出的最大值．18.如图，平行四边形中，且，将沿翻折至，使得，是的中点，是的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）线段上是否存在点，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．19.三角形各边中线交点为重心，各边高线交点为垂心，各边垂直平分线交点为外心．（1）在中，若满足：，证明：点为的重心；（2）在中，若满足：，证明：点为的垂心；（3）在中，为外心，为重心，为垂心，证明：，，共线．

数学本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时长120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：因为，，且，所以，解得2.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：B解析：解答过程：因为

，在复平面内，复数对应点的坐标为，该点位于第二象限.3.某公司生产的一批零件有、、三种不同型号，产量分别为，300，200件，现用分层抽样的方法从这批零件中抽取45件进行检验，若种零件被抽取20件，则（）A.400 B.300 C.250 D.200答案：A解析：解答过程：由题意得，解得.4.某校春季运动会男子100米项目有8名同学进入决赛，其成绩（单位：秒）分别为：12.1，12.3，12.7，12.7，12.9，13.1，13.5，14.4．则这8名同学百米成绩的第60百分位数是（）A.12.7 B.12.9 C.12.8 D.13.1答案：B解析：解答过程：题目给出的8个成绩已按从小到大顺序排列：12.1，12.3，12.7，12.7，12.9，13.1，13.5，14.4，数据总个数为，且，所以第60百分位数为排序后第5个数据12.9．5.在正四棱台中，，高为，则该四棱台的体积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据棱台的体积公式求解即可.解答过程：下底面边长，面积，上底面边长，面积.所以.6.将一枚质地均匀的硬币在光滑平面上连续抛掷3次，设事件“至少出现一次正面向上”，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先求“出现连续3次反面向上”事件的概率，再根据对立事件的关系求解.解答过程：设事件“出现连续3次反面向上”，则事件与事件是互为对立事件7.已知，，是空间中三条不同的直线，，为空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若，，，则B.若，，，，则C.若，，，，，则D.若，是异面直线，，，，，则答案：D解析：思路：应用线面位置关系判断A，B，应用面面平行及面面垂直判断C，D.解答过程：已知，，是空间中三条不同的直线，，为空间中两个不同的平面，若，，，则，或，A错误；若，，，，当时，则可以成立，B错误；若，，，，，所成角不是直角时，则不成立，C错误；若，是异面直线，，，，存在是相交直线，所以，则，D正确.8.如图，水平放置的圆台上底半径为1，下底半径为2，高为，一只蚂蚁从底部点沿侧面爬到中点，则它爬行路线的最短长度为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：通过补全圆台进行侧面展开来求得最短路径.解答过程：因为上底半径，下底半径，高，所以母线.将圆台补为大圆锥，顶点为，因为，所以，解得.即大圆锥母线长.故展开扇形圆心角，图形如下所示：故为最短路径，.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知是关于的方程（，）的一个根，另一个根记作，则（）A.， B.C. D.答案：ABD解析：解答过程：选项A，，，，解得，，正确.选项B，因为，所以，故，正确.选项C，，错误.选项D，，正确.10.设为两个互斥事件，且，，则下列结论一定正确的有（）A. B.C. D.答案：BC解析：解答过程：因为为互斥事件，所以不能同时发生，即，故B正确；又因为，，所以，即，故A错误；根据概率加法公式，因为，所以，故C正确；因为为互斥事件，不一定是对立事件，所以不一定成立，故D错误.11.已知正方体的棱长为2，点在该正方体表面上移动．下列说法正确的有（）A.若点在线段上，则B.若点在线段上，则的最小值为C.若与所成角为，则点的轨迹长度为D.若点是线段的中点，则三棱锥外接球的表面积为答案：ACD解析：思路：利用线线垂直可证明平面，可判断A；将三角形沿转动到与在同一平面内，可求得最短距离，可判断B；与所成角为，可得点的轨迹为四分之一个圆锥，计算求得轨迹长，可判断C；三棱锥外接球的即为四棱锥的外接球，计算可求得外接球的表面积，可判断D.解答过程：对于A：由正方形，可得，由正方体，可得平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，故A正确；对于B：将三角形没转动到与在同一平面内，如图所示：当在同一直线上时，最小，最小值为.又三角形为等腰直角三角形，为边长为的等边三角形，所以为的中点时，三点共线，此时可得，，所以的最小值为，故B错误；对于C：因为，且与所成角为，所以与所成角为，所以点的轨迹为四分之一个圆锥，点在平面内的轨迹为四分之一个圆，在平面和平面内的轨迹均为线段，记轨迹与的交点为，由，可得四分之一圆弧的半径为，故圆弧的长为，两条线段长为，故点的轨迹长度为，故C正确；对于D：当点是线段的中点，则三棱锥外接球即为四棱锥的外接球，又因为，可得是四棱锥的外接球的直径，又，所以三棱锥外接球的半径为，所以三棱锥外接球的表面积为，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知5个数为：1，2，3，4，5，则这5个数的方差为________．答案：2解析：思路：利用方差公式计算即可.解答过程：设这5个数的平均数为，方差为，则.13.已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为________．答案：解析：解答过程：因为向量，，则，，所以向量在向量上的投影向量为.14.在中，的平分线交于点，若，，则________．答案：解析：思路：利用角平分线定理设出、，利用余弦定理求两边长度，进而可求求，结合求.解答过程：因为是的平分线，所以设，，.在中，由余弦定理得所以化简得在中，由余弦定理得所以即解得因此，即，在中，由余弦定理得因为，所以，从而四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知平面向量与的夹角为，且，．（1）求；（2）求；（3）若与垂直，求的值．答案：（1）（2）（3）．解析：思路：（1）根据平面向量数量积的定义进行求解即可；（2）利用平面向量数量积的运算性质，结合平方法进行求解即可；（3）根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.（1）已知平面向量与的夹角为，且，，则．（2），所以．（3）由题意可知，，，解得：．16.我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在该市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准（单位：），月用水量不超过的部分按平价收费，每吨收费5元；超出的部分按议价收费，每吨6.75元．为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100户居民某年的月均用水量（单位：），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图估计这组数据的众数（最高矩形底边中点的横坐标）并求的值；（2）已知该市有80万户居民，估计全市居民中月均用水量不低于的户数；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准，估计的值；若该市某户居民某月用水量为，求该户居民本月应缴水费多少元？答案：（1）9，（2）48000户（3），（元）解析：思路：（1）根据频率分布直方图，利用频率和为1即可求解.（2）求出月均用水量不低于14t的频率，进而可估计人数.（3）利用频率分布直方图及第百分位数的定义列式求解，根据用户用水量计算水费.（1）根据频率分布直方图可知众数为，根据频率分布直方图可得，解得．（2）由频率分布直方图可知，每户居民月用水量不低于14t的频率为．由此可估计全市80万户居民中月用水量不低于14t的户数约为（户）．（3）因为前6组的频率之和为，前5组的频率之和为，所以．由，解得．因此，估计月用水量标准为11.6t时，的居民每月的用水量不超过标准．该户居民某月用水量为14t时，应缴水费为（元）．17.在中，角，，对应的边分别为，，，，．（1）若，求；（2）当为何值时，的面积最大？并求出的最大值．答案：（1）（2）当为时，取得最大值．解析：思路：（1）根据正弦定理及三角形内角和求解即可.（2）根据余弦定理及三角形面积公式，结合基本不等式求解即可.（1）由正弦定理，得，因为，所以．故．（2）由（1）可得，由余弦定理得，即．又，则，所以，当且仅当时，等号成立．则．因此，当为时，取得最大值．18.如图，平行四边形中，且，将沿翻折至，使得，是的中点，是的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）线段上是否存在点，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．答案：（1）∵在平行四边形中，，，．设，则，，，，即．平面，平面，，平面．平面，．又平面，平面，，平面．（2）（3）存在，．解析：思路：（1）勾股定理证明，然后通过证明线面垂直来证明，即可证明平面；（2）过作，通过证明平面找出线面角的平面角，求出对应边长即可直接求正弦值；（3）方法一：利用线面平行的性质，构造辅助平面，转化为线线平行；方法二：构造平行平面，利用面面平行的性质进行证明.（1）略（2）过作，垂足为，由（1）知平面，且平面，∴平面平面．∵平面平面，平面，，平面，即为直线与平面所成角．设，则，，中，，解得．.（3）方法一：存在，当时，平面．连接并延长交于点，连接．