河南省开封市五县学校联考2025~2026学年高一下册7月期末数学试卷【附解析】

数学考试时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量，若，则（）A.-9 B.9 C.-4 D.42.在中，若，，，则的大小为（）A. B. C.或 D.或3.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知函数则（）A.7 B.10 C.13 D.165.已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是（）A.若，，则. B.若，，则.C.若，，，则 D.若，，则6.在三棱柱中，平面是棱上的动点，直线与平面所成角的最大值是，点在底面内，且，则点的轨迹长是（）A. B. C. D.7.已知为坐标原点，若，，三点共线，则在上的投影向量的坐标为（）A. B. C. D.8.若数据的方差为15，数据的方差为10，则数据，的方差的最小值为（）A.10 B.12 C.13 D.15二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线及平面.下列命题中正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则10.“沾衣欲湿杏花雨，吹面不寒杨柳风”，惊蛰过后，杏花绽放、春风和煦，正是春游赏花的好时节.已知某旅游景区近一周的最低气温如下：9，11，14，11，10，7，8（单位：℃），则（）A.这组数据的极差为7 B.这组数据的众数等于中位数C.这组数据的下四分位数为8 D.这组数据的方差为11.如图，在棱长为4的正方体中，，分别为，的中点，则（）A.B.平面C.直线与平面所成角的正切值为D.三棱锥外接球的表面积为三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.如图，用三个不同的元件连接成一个系统.当元件正常工作且元件至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知正常工作的概率依次为，则系统正常工作的概率为___________.13.如图，在正三棱柱中，各棱长均相等，点为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为________________14.已知函数满足对于任意的，当时，恒成立，则不等式的解集为______．四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知复数，其中，为虚数单位.（1）若是纯虚数，求实数的值:（2）若的实部与虚部相等，求.16.已知函数．（1）判断的奇偶性并证明；（2）若函数，求的值．17.如图，在正三棱柱中，为的中点，，.（1）证明：；（2）证明：平面.18.某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本（即需另增加投入）0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售收入（单位：万元）的函数为，其中x是产品生产并售出的数量（单位：百台）．（1）把利润表示为年产量的函数．（2）年产量为多少时，企业所得利润最大？（3）年产量为多少时，企业才不亏本（不赔钱）？19.已知菱形的边长为，平面外一点在平面上的射影是与的交点是等边三角形．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的大小；（3）求点到平面的距离.

数学考试时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量，若，则（）A.-9 B.9 C.-4 D.4答案：D解析：思路：依据，直接计算即可.解答过程：由题可知：，所以.故选：D2.在中，若，，，则的大小为（）A. B. C.或 D.或答案：B解析：思路：先根据正弦定理求出的值，再结合三角形大边对大角的性质，判断出正确选项.解答过程：在中，由正弦定理得，，所以，由于，所以，又，所以.3.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：根据指数函数的单调性，结合充分性、必要性的定义进行求解即可.解答过程：由于指数函数是单调递增的，所以，所以当时，，即”是“”的充分条件；当时，不一定成立，即”不是“”的必要条件；综上所述，“”是“”的充分不必要条件，故A正确.4.已知函数则（）A.7 B.10 C.13 D.16答案：C解析：解答过程：由题意可得：，所以.5.已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是（）A.若，，则. B.若，，则.C.若，，，则 D.若，，则答案：D解析：思路：由直线与平面、平面与平面的位置关系进行判断．解答过程：对于A，若，，则与可以平行或相交，故A项错误；对于B，若，，则与可以平行，异面，相交，故B项错误；对于C，若，，，则与可以平行，异面，相交，故C项错误；对于D，若，由线面平行的定义，存在，使得，由得，而，得，故D项正确．6.在三棱柱中，平面是棱上的动点，直线与平面所成角的最大值是，点在底面内，且，则点的轨迹长是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：连接，则为直线与平面所成角，从而得到，所以当取最小值时取得最大值，求出的最小值，即可求出，连接，由勾股定理求出，即可得到点在以为圆心，为半径的圆（圆弧）上，且圆心角为，即可求出轨迹长.解答过程：连接，因为平面，所以为直线与平面所成角，所以，又直线与平面所成角的最大值是，所以，当且仅当取最小值时取得最大值，因为，所以当时取最小值，此时，所以，又点在底面内，且，连接，因为平面，平面，所以，所以，所以点在以为圆心，为半径的圆（圆弧）上，且圆心角为，所以点的轨迹长为.故选：B方法提示：关键点点睛：本题关键是由线面角求出的长度，再由勾股定理求出，即可确定的轨迹.7.已知为坐标原点，若，，三点共线，则在上的投影向量的坐标为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据三点共线,则与共线，列出方程求出，再利用投影向量的公式可得答案.解答过程：，若，，三点共线，则与共线，，解得，，，则在上的投影向量的坐标为.故选：D.8.若数据的方差为15，数据的方差为10，则数据，的方差的最小值为（）A.10 B.12 C.13 D.15答案：B解析：思路：根据平均数、方差公式，并结合已知表示出新数据的平均数以及方差，再求新数据方差的最小值.解答过程：设的平均数为，的平均数为，总体的平均数为，总体的方差为，则，，当且仅当时，等号成立.所以数据，的方差的最小值为12.二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线及平面.下列命题中正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则答案：BD解析：思路：由题设结合空间线，面关系可判断选项正误.解答过程：对于A，当

时，可能与平行，相交（包含垂直），故A错误；对于B，因，，则在内存在直线，使得，从而，故B正确；对于C，若

，则可能与平行或异面，故C错误；对于D，当

时，结合线面垂直性质可得，故D正确.10.“沾衣欲湿杏花雨，吹面不寒杨柳风”，惊蛰过后，杏花绽放、春风和煦，正是春游赏花的好时节.已知某旅游景区近一周的最低气温如下：9，11，14，11，10，7，8（单位：℃），则（）A.这组数据的极差为7 B.这组数据的众数等于中位数C.这组数据的下四分位数为8 D.这组数据的方差为答案：AC解析：解答过程：将原始数据按从小到大排序：，所以这组数据的极差为，故A正确；这组数据的众数为，这组数据的中位数为，故B不正确；由于，所以这组数据的下四分位数为8，故C正确；这组数据的平均数为，所以方差,故D不正确11.如图，在棱长为4的正方体中，，分别为，的中点，则（）A.B.平面C.直线与平面所成角的正切值为D.三棱锥外接球的表面积为答案：ACD解析：思路：由线面垂直的性质、判定定理判断A；由平面即为平面，结合平面判断B；由线面角的定义及已知求其正切值判断C；根据已知求外接球的半径，即可求表面积判断D.解答过程：由题设，，则，由平面，平面，则，都在平面内，则平面，平面，则，A对；由平面，即为平面，又平面，，所以平面，即与平面相交，B错；由平面，则直线与平面所成角为，又所以，C对；由为等腰直角三角形，且，则，故其外接圆半径，由平面，，则三棱锥外接球半径，所以外接球的表面积，D对.故选：ACD.三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.如图，用三个不同的元件连接成一个系统.当元件正常工作且元件至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知正常工作的概率依次为，则系统正常工作的概率为___________.答案：解析：思路：先计算元件至少有一个正常工作的概率，从而可得系统正常工作的概率.解答过程：因为元件至少有一个正常工作的概率为，所以系统正常工作的概率为.故答案为：13.如图，在正三棱柱中，各棱长均相等，点为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为________________答案：##解析：解答过程：连接，两者交于点，连接，在正三棱柱中，可得，因点为的中点，则，故异面直线与所成角即为直线与所成角，即或其补角.不妨设，易得，，，在中，由余弦定理，，故异面直线与所成角的余弦值为．14.已知函数满足对于任意的，当时，恒成立，则不等式的解集为______．答案：解析：思路：应用对数函数的单调性列不等式求解.解答过程：由题可知，是上的增函数，则不等式等价于，即，函数在上单调递增，且，所以不等式的解集为，从而不等式的解集为．四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知复数，其中，为虚数单位.（1）若是纯虚数，求实数的值:（2）若的实部与虚部相等，求.答案：（1）（2）解析：（1）因为复数为纯虚数，所以，解得.（2）根据题意得，，解得：，将代入复数的表达式中，得：，故.16.已知函数．（1）判断的奇偶性并证明；（2）若函数，求的值．答案：（1）是偶函数，证明如下：由，可得，则的定义域为，关于原点对称．，所以是偶函数．（2）2解析：思路：（1）由奇偶函数的定义证明即可.（2）令函数，先求出是奇函数，则，即可求出的值.（1）略（2）令函数，则，由（1）可知是偶函数，因为所以是奇函数，从而，．17.如图，在正三棱柱中，为的中点，，.（1）证明：；（2）证明：平面.答案：（1）在正三棱柱中，平面，平面，所以，因为为等边三角形，为的中点，所以，因为，、平面，所以平面，因为平面，故.（2）连接交于点，连接，在三棱柱中，，，故四边形为平行四边形，因为，则为的中点，又因为为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面.解析：思路：（1）证明出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立；（2）连接交于点，连接，由中位线的性质可得，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立.（1）略（2）略18.某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本（即需另增加投入）0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售收入（单位：万元）的函数为，其中x是产品生产并售出的数量（单位：百台）．（1）把利润表示为年产量的函数．（2）年产量为多少时，企业所得利润最大？（3）年产量为多少时，企业才不亏本（不赔钱）？答案：（1）（2）475台；（3）年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本．解析：思路：（1）根据利润函数＝销售收入函数−成本函数，由此即可求出结果；（2）由利润函数是二次函数，可以利用二次函数的性质求出函数取最大值时对应的自变量的值；（3）要使企业不亏本，则利润，根据分段函数，分类解不等式，即可求出结果．（1）设利润为y万元，得，即.（2）显然当时，企业会获得最大利润，此时，，，即年产量为475台时，企业所得利润最大．（3）要使企业不亏本，则．即或，得或，即．即年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本．19.已知菱形的边长为，平面外一点在平面上的射影是与的交点是等边三角形．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的大小；（3）求点到平面的距离.答案：（1）证明：因为点在底面上的射影是与的交点，所以平面，因为平面，所以，又因为四边