黑龙江省哈尔滨市师范大学附属中学2025~2026学年高二下册期末考试数学试卷【附解析】

数学满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，集合，则（）A. B.C. D.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.对于事件，，，，，则（）A. B. C. D.4.下列说法中正确的有（）个①在回归分析中，决定系数的值越接近，模型的拟合效果越好；②在做回归分析时，残差图中残差点均匀分布在横轴两侧，且分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好；③以模型去拟合一组数据时，设，求得经验回归方程为，则，；④经验回归直线至少经过其样本数据点中的一个点．A. B. C. D.5.已知有个除了颜色外，形状大小材质等都完全一样的球，其中个白球、个红球、个黄球．现将这个球排成一排，则任意个白球不排在一起的排法总数是（）种．A. B. C. D.6.函数的值域为，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.7.小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时分钟，样本方差为；骑自行车平均用时分钟，样本方差为，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，则（）A. B.C. D.8.已知函数，，当关于实数的方程有个根时，实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，则（）A.B.C.二项式系数最大的项是第六项D.10.已知，，为正实数，并且，则下列结论正确的有（）A.的最大值为 B.的最大值为C.的最大值为 D.的最小值为11.已知定义域为的函数，，满足，，则（）A. B.C. D.点是的对称中心三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．12.___________．13.甲乙两个口袋，甲袋子中放有个白球和个黑球，乙袋子中放有个白球．现在从两个袋子各摸一个球并交换，这样交换次后，记甲袋子中黑球的个数为，则___________．14.定义在上的函数，则不等式的解集为____________________．四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知（且）．（1）若，求方程的解集；（2）若，求的取值范围．16.某校有A、B两家餐厅，王同学第一天午餐随机选择一家，如果第一天去A餐厅，第二天去A餐厅的概率为，若第一天去B餐厅，第二天去A餐厅的概率为，第天去A餐厅概率为．（1）求；（2）求；（3）若，都是离散型随机变量，则，若王同学该月（天）累计去A餐厅的次数为，求（保留到小数点后一位）．17.设是等比数列的前项和，已知，．（1）求和；（2）设，求数列的前项和．18.某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的列联表（单位：件）：产品合格不合格合计调试前8060140调试后402060合计12080200（1）根据表中数据，依据小概率值的独立性检验，判断能否认为参数调试与产品质量有关联；（2）现从调试后的样本中按合格和不合格，用按比例分配的分层随机抽样法抽取件产品重新做参数调试，再从这件产品中随机抽取件作对比分析，记抽取的件中不合格的件数为，求的分布列和数学期望；（3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品件，记其中合格的件数为，求使事件“”的概率最大时的取值．参考公式及数据：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82819.已知函数．（1）若，求的单调区间；（2）当时，，求的取值范围；（3）设，证明：．

数学满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，集合，则（）A. B.C. D.答案：B解析：解答过程：由解得或，可得集合；由可得，解得或，可得集合；所以.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：根据单调性解对数不等式和指数不等式，再根据充分必要性判断，即可得到答案.解答过程：由，，所以，即，由，所以，所以是的必要不充分条件.3.对于事件，，，，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先算出；结合求出交事件概率；再用条件概率公式计算.解答过程：条件概率性质：,，得，而，由条件概率公式，得=，又，由条件概率公式得=，A正确.4.下列说法中正确的有（）个①在回归分析中，决定系数的值越接近，模型的拟合效果越好；②在做回归分析时，残差图中残差点均匀分布在横轴两侧，且分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好；③以模型去拟合一组数据时，设，求得经验回归方程为，则，；④经验回归直线至少经过其样本数据点中的一个点．A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：在回归分析中，决定系数的值越接近，模型的拟合效果越好，①正确；在做回归分析时，残差图中残差点均匀分布在横轴两侧，且分布的带状区域的宽度越窄，说明选用的模型拟合精度越高，表示回归效果越好，②正确；，左右两边取对数得，设，求得线性回归方程为，则，，③错误；经验回归直线可以不经过其样本数据点中所有点，但是会过，④错误，说法中正确的有个.5.已知有个除了颜色外，形状大小材质等都完全一样的球，其中个白球、个红球、个黄球．现将这个球排成一排，则任意个白球不排在一起的排法总数是（）种．A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：先排红球和黄球，然后再插空，共有6.函数的值域为，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据对数函数的性质，一次函数及二次函数的性质，结合分类讨论思想求解即可.解答过程：令，函数的值域为，即能取到所有正数.当时，，能取到所有正数，满足条件；当时，是开口向上的二次函数，要让函数取到所有正数，需，所以；当时，是开口向下的二次函数，无法取到所有正数，不符合条件.综上，.故实数的取值范围是.7.小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时分钟，样本方差为；骑自行车平均用时分钟，样本方差为，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，则（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：根据正态曲线的对称性、正态分布的性质及原则判断即可.解答过程：由题意知，坐公交用时，其中，；骑自行车用时，其中，；对于A，，，则，A错误.对于B，，根据正态曲线的对称性，所以，B错误.对于C，对于，，根据正态分布性质，，对于，，根据正态分布性质，，根据原则，，所以，C正确.对于D，对于，，，对于，，，根据原则，，所以，D错误.8.已知函数，，当关于实数的方程有个根时，实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：分别作出函数，的图象，分、、和四种情况讨论，结合函数图象分析交点个数即可得解.解答过程：分别作出函数，的图象，如图所示，令，则即为，若，则方程没有根，不合题意；若，则方程有且仅有1个根，即，可知方程有且仅有2个不相等根，不合题意；若，则方程有2个不相等实根，，方程有且仅有2个不相等实根，且方程有且仅有2个不相等实根，所以方程有4个不相等实根，不合题意；若，则方程有3个不相等实根，，，方程有且仅有2个不相等实根，且方程有且仅有2个不相等实根，由题意可知方程有且仅有2个不相等实根，则或，可得；综上所述：实数的取值范围是.二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，则（）A.B.C.二项式系数最大的项是第六项D.答案：ABD解析：思路：应用赋值法计算判断A，B，D，应用二项式系数性质判断C.解答过程：A选项，代入得，A正确；B选项，代入得，代入得，将两式相加除以2得，B正确；C选项，二项式展开式共13项，为偶数，二项式系数最大的项为第7项，C选项表述错误；D选项，令，则，所以，等式两边同除以2，得，D正确，10.已知，，为正实数，并且，则下列结论正确的有（）A.的最大值为 B.的最大值为C.的最大值为 D.的最小值为答案：ACD解析：思路：A.借助均值不等式求最值；B.借助二次函数求最值；C.借助导数求最值；D.先分离完成分式放缩，再对单变量求导求最小值.解答过程：，逐一验证选项：选项A：,由均值不等式，，当且仅当时取等号,，最大值2，A正确；选项B：由得，所以，设二次函数，开口向下，对称轴，最大值，B错误；选项C：得，，设，令，得，当，，单调递增，当，，单调递减，所以当，取得最大值是，的最大值是，C正确；选项D：得，由，，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，，令，令，，当，，单调递减；当，，单调递增；所以时，取得最小值，所以，故的最小值是，D正确.11.已知定义域为的函数，，满足，，则（）A. B.C. D.点是的对称中心答案：ABD解析：思路：先推导递推关系求出周期，结合轴对称与关系式验证A、B；举反例排除C；通过变量替换证明满足中心对称条件，验证D.解答过程：①g(2x+2)=g(-2x+2)⟹g(x)关于直线轴对称f(x)+g(x+2)=2⟹g(x+2)=2-f(x)②由①替换：③①+③得：f(x+2)+f(x-1)=0⟹f(x+2)=-f(x-1),替换：,再替换：所以周期选项A：由②式：，令，，已知，则1=2-f(1)⟹f(1)=1，A正确；选项B：对称轴，故，取，g2+1由②，故2-f1在递推式中令，f1再用原式①，令：代入，得-f12+f12选项C：举反例：，因为，,令，得，所以，所以，C错误；选项D：由，令得：，即关于直线轴对称，由，替换变量得：，由可推导出：，将代入，左边：右边：左右相等，化简得：，即是偶函数，由，将替换为，结合偶函数，即，令代入上式得化简得f3即关于点中心对称。由，得]根据中心对称定义,得点是的对称中心，D正确.三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．12.___________．答案：解析：解答过程：.13.甲乙两个口袋，甲袋子中放有个白球和个黑球，乙袋子中放有个白球．现在从两个袋子各摸一个球并交换，这样交换次后，记甲袋子中黑球的个数为，则___________．答案：解析：思路：本题是古典概型与分步乘法综合题，核心是分析“交换2次后甲袋黑球数仍为2”的所有可能情况.初始状态：甲袋有4白2黑，乙袋有6白，要使X=2，有两类互斥的情况：1.两次交换都没有改变甲袋黑球数：每次都是甲摸到白球、乙摸到白球，黑球数始终保持2；2.第一次交换让黑球数减为1，第二次交换再恢复为2；第一次甲摸到黑球、乙摸到白球；第二次甲摸到白球、乙摸到黑球（此时乙袋已有1个黑球）.解题时需要按分步乘法计算每类情况的概率，再用分类加法合并结果。解答过程：要让说明两次交换后甲袋的黑球数量和初始相同，分两种情况讨论：情况1，两次交换都没有改变甲袋的黑球数：第一次交换：甲摸白球、乙摸白球，交换后甲袋黑球数不变（仍为2），概率：，第二次交换：甲摸白球、乙摸白球，交换后甲袋黑球数不变（仍为2），概率：，第一种情况的概率为：；情况2：第一次交换让甲袋黑球数减1，第二次交换让黑球数加1（恢复为2），第一次交换：甲摸黑球、乙摸白球，交换后甲袋黑球数变为1，概率：，第二次交换：甲袋此时有5白1黑，乙袋此时有5白1黑，要让甲袋黑球数恢复为2，需要甲摸白球、乙摸黑球，概率：，第二种情况的概率为：，故.方法提示：方法归纳：解决交换型概率问题，关键是按“黑球数变化路径”分类，先找出所有能达到目标状态的操作序列，再分步计算每一步的概率，最后汇总.易错点：容易遗漏“先减后增”这类恢复型路径，或忽略第一次交换后乙袋的黑球数变化，导致第二次交换的概率计算错误.14.定义在上的函数，则不等式的解集为____________________．答案：解析：思路：构造新函数后得出关于点对称，再判断在定义域里的单调性，根据函数单调性求解不等式.解答过程：令，则，则，因为，所以是奇函数，故关于点对称，因为，所以在上单调递增，又，故，又关于点对称，所以，即不等式等价于，因为在上单调递增，所以，解得.四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知（且）．（1）若，求方程的解集；（2）若，求的取值范围．答案：（1）或（2）解析：（1）当时，则，因为，所以，化简可得，即，化简得，所以，所以或，解得或.（2）由，且，若，对数函数单调递减，则，，若，对数函数单调递增，则，，综上，的取值范围是．16.某校有A、B两家餐厅，王同学第一天午餐随机选择一家，如果第一天去A餐厅，第二天去A餐厅的概率为，若第一天去B餐厅，第二天去A餐厅的概率为，第天去A餐厅概率为．（1）求；（2）求；（3）若，都是离散型随机变量，则，若王同学该月（天）累计去A餐厅的次数为，求（保留到小数点后一位）．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）应用全概率公式计算求解；（2）应用全概率公式，再构造等比数列计算求解；（3）应用数学期望公式性质结合等比数列求和公式计算求解.（1）.（2）由题意知，，，所以，所以是以为首项，以为公比的等比数列，所以，；（3）记为第天王同学去A餐厅，为第天王同学去B餐厅，则，则,又，所以．17.设是等比数列的前项和，已知，．（1）求和；（2）设，求数列的前项和．答案：（1），（2）解析：思路：(1)利用等比数列通项公式及前项和公式计算基本量；(2)使用裂项求和方法求解的前项和.（1）设的公比为，则，而，得，已知，所以，，所以，则．（2），.18.某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的列联表（单位：件）：产品合格不合格合计调试前8060140调试后402060合计12080200（1）根据表中数据，依据小概率值的独立性检验，判断能否认为参数调试与产品质量有关联；（2）现从调试后的样本中按合格和不合格，用按比例分配的分层随机抽样法抽取件产品重新做参数调试，再从这件产品中随机抽取件作对比分析，记抽取的件中不合格的件数为，求的分布列和数学期望；（3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品件，记其中合格的件数为，求使事件“”的概率最大时的取值．参考公式及数据：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828答案：（1）参数调试与产品质量无关联（2）（3）或012解析：思路：（1）利用独立性检验的思想计算；（2）根据超几何分布列分布列，再求期望即可；（3）由题意可得