矩阵论31矩阵的可对角化

矩阵论电子教程哈尔滨工程大学理学院应用数学系

矩阵的对角化,若当标准型第三

章1，掌握矩阵相似对角化的判别方法；2，理解厄米特二次型的含义。3，会求矩阵的约当标准形；会求史密斯标准形；重点:厄米特二次型;若当标准型难点:矩阵的约当标准形的求法4，会求若当标准型特征值与特征向量的概念在实践中也有着广泛的应用，大型建筑物与机械的振动，机翼的颤振以及调节系统的自振等都是常见的例子。

从前面的讨论可知，在有限维线性空间中，取定一个基后，线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系。因此，利用矩阵来研究线性变换十分方便。对于每一个给定的线性变换，适当选择的一个基，使得该线性变换在此基下的矩阵最为简单，这是本节结尾要讨论的问题。为此，我们引入特征值与特征向量的概念。特征值特征向量设一,特征值与特征向量的特征值的全体称为的谱

的不同特征值对应的特征向量是线性无关的§3.1矩阵的可对角化特征矩阵代数重复度与几何重复度设,为的特征值,称的特征多项式中重根数为的代数重复度,对应的特征子空间的维数为的几何重复度。定理1设,的代数重复度为,几何重复度为,则有：证明:由于，所以：解答：例1：及相异特征值的代数重复度与几何重复度求矩阵的谱对于特征值，所以的特征值是，；，对于特征值，定理2：设,的代数重复度为,几何重复度为,则有：

的几何重复度不大于它的代数重复度设，则：证明：因为是的几何重复度，所以对应于，有个线性无关的特征向量，是特征子空间的基，将其扩充为的基：其中即：与相似。又因为：所以：二矩阵的相似与对角化定义：设，若与对角阵相似，则称是可对角化；可对角化的矩阵称为单纯矩阵。定理3：阶矩阵可以对角化的充分必要条件是每一个特征值的代数重数等于其几何重数。证明：设为的全部相异的特征值，分别为代数和几何重复度，充分性：因为所以有个线性无关的特征向量，设特征向量为其中：为对应的特征向量。设：所以：则：即为单纯矩阵，充分性得证。必要性：设与相似，则是的特征值，不妨设：的代数重复度为，所以，关于特征值至少有个线性无关的特征向量，于是而有定理知：，所以定理得证解：先求出的特征值推论1：设，则为单纯矩阵的充分必要条件是有个线性无关的特征向量推论2：设，若有个互不相同的特征值，则为单纯矩阵例2：判断矩阵是否可以对角化？于是的特征值为（二重）由于是单的特征值，它一定对应一个线性无关的特征向量。下面我们考虑从而不可以对角化。三,正规阵及其对角化正规矩阵的定义设,如果满足那么称矩阵为一个复(实)正规矩阵.例3：

(1)为实正规矩阵证明:(3)这是一个正规矩阵.

H-阵,反H-阵,正交矩阵,酉矩阵,

对角矩阵都是正规矩阵.酉相似的定义

设，若存在，使得:则称酉相似(或正交相似)于定理1(Schur引理)：任何一个阶复矩阵酉相似于一个上(下)三角矩阵即：其中：为上三角阵证明：用数学归纳法。的阶数为1时定理显然成立。现设的阶数为时定理成立，考虑的阶数为时的情况。取阶矩阵的一个特征值，对应的单位特征向量为，构造以为第一列的阶酉矩阵因为构成的一个标准正交基，故因此其中是阶矩阵，根据归纳假设，存在阶酉矩阵满足(上三角矩阵)令那么注意:

等号右端的三角矩阵主对角线上的元素为矩阵的全部特征值.所以,由归纳假设结论成立定理2设,则为正规矩阵的充分必要条件是：其中:是的特征值。证明:必要性，由引理知的对角线为的特征值因为：所以即：比较左右两式得出：充分性：由，马上有证明：因为是正规阵，所以存在使得所以：即：的特征值为推论1：正规阵是单纯阵推论3：设为正规阵，其特征值是，则的特征值是推论2：正规阵的属于不同特征值的特征子空间正交推论4：设是正规矩阵,则是H-阵的充要条件是的特征值为实数.推论5：是反H-阵的充要条件是的特征值的实部为零.推论6：是U-阵的充要条件是的特征值的模长为

1.即：证明：因为是正规阵，所以存在使得若反之：若例4:

设求正交矩阵使得为对角矩阵.解:

先计算矩阵的特征值，由其特征值为对于特征值解线性方程组求得其一个基础解系现在将单位化并正交化,得到两个标准正交向量对于特征值解线性方程组求得其一个基础解系将其单位化得到一个单位向量则矩阵即为所求正交矩阵且有将这三个标准正交向量组成矩阵设求酉矩阵使得为对角矩阵.解:

先计算矩阵的特征值其特征值为对于特征值解线性方程组求得其一个基础解系练习现在将单位化,得到一个单位向量对于特征值解线性方程组求得其一个基础解系将其单位化得到一个单位向量对于特征值解线性方程组：求得其一个基础解系将其单位化得到一个单位向量将这三个标准正交向量组成矩阵则矩阵即为所求酉矩