广东省深圳市部分学校2027届高三上学期8月开学考试数学试卷（含答案）

广东深圳市部分学校2027届高三上学期8月开学考试数学试题一、单选题1．已知，，则使成立的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．或2．设为等差数列的前n项和，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．一组数据，，，…，的平均数为1，标准差为2，则数据，，，…，的平均数与标准差分别是（）A．，4 B．， C．2，4 D．2，4．定义运算：，将函数的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则的可能取值是（

）A． B． C． D．5．以下命题：①随机变量ξ服从正态分布，若，则；②函数的零点所在的区间是；③“|x|＞1”的充分不必要条件是“x＞1”；④．其中假命题的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．36．已知叫作双曲余弦函数，叫作双曲正弦函数.若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．7．已知圆锥的高为2，用平行于底面的平面截圆锥得到一圆台，圆台的侧面积是，且体积是圆锥体积的，则圆锥的母线长为（

）A．8 B． C． D．8．曲线在处的切线方程为（

）A． B．C． D．二、多选题9．数学中有许多形状优美的曲线，曲线C：就是其中之一，其形状酷似数学符号“”，设为曲线C上任意一动点，则（

）

A．曲线C与直线有3个公共点 B．曲线C上任意两点距离最大值为4C．的最大值为 D．曲线C所围成图形面积为10．若定义在上的函数，满足是偶函数，是奇函数，则下列命题正确的是（

）A．函数的图象关于直线对称B．对于，都有C．函数的最小正周期为8D．11．如图，在直四棱柱中，底面为菱形，，，为的中点，点满足，则下列结论正确的是（

）

A．若，则四面体的体积为定值B．若，则点的轨迹长度为C．若，平面截正方体所得截面为四边形D．若，则存在点在线段上，使得的最小值为三、填空题12．记的内角的对边分别为，，，且，，则的最小值为______.13．的展开式中的系数为__________.14．已知点在某一定椭圆上，则该椭圆的长轴长为________，焦距为________.四、解答题15．如图，某景区有景点，经测量得，，.

(1)求景点之间的距离；(2)现计划从景点处起始建造一条栈道，并在处修建观景台.为获得最佳观景效果，要求观景台对景点的视角.为了节约修建成本，求栈道长度的最小值.16．已知椭圆：，右顶点为，离心率为，直线：与椭圆相交于不同的两点，，过的中点作垂直于的直线，设与椭圆相交于不同的两点，，且的中点为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设原点到直线的距离为，求的取值范围．17．如图，在四棱锥中，已知底面ABCD，，异面直线PA和CD所成角等于．

(1)求直线CD和平面PAD所成角的正弦值；(2)在棱PA上是否存在一点E，使得平面PAB与平面BDE夹角的正切值为？若存在，指出点E在棱PA上的位置；若不存在，说明理由．18．我国某企业研发的家用机器人，其生产共有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道工序是出厂检测工序，包括智能自动检测与人工抽检，其中智能自动检测为次品的会被自动淘汰，合格的进入流水线进行人工抽检．已知该家用机器人在生产中前三道工序的次品率分别为．(1)已知某批次的家用机器人智能自动检测显示合格率为，求在人工抽检时，工人抽检一个家用机器人恰好为合格品的概率（百分号前保留两位小数）；(2)该企业利用短视频直播方式扩大产品影响力，在直播现场进行家用机器人推广活动，现场人山人海，场面火爆，从现场抽取幸运顾客参与游戏，游戏规则如下：参与游戏的幸运顾客，每次都要有放回地从10张分别写有数字的卡片中随机抽取一张，指挥家用机器人运乒乓球，直到获得奖品为止，每次游戏开始时，甲箱中有足够多的球，乙箱中没有球，若抽的卡片上的数字为奇数，则从甲箱中运一个乒乓球到乙箱；若抽的卡片上的数字为偶数，则从甲箱中运两个乒乓球到乙箱，当乙箱中的乒乓球数目达到9个时，获得奖品优惠券960元；当乙箱中的乒乓球数目达到10个时，获得奖品大礼包一个，获得奖品时游戏结束．①求获得“优惠券”的概率；②若有16个幸运顾客参与游戏，每人参加一次游戏，求该企业预备的优惠券总金额的期望值．19．已知函数.(1)讨论的单调性；(2)证明：当，时，.

参考答案题号12345678910答案BCABCCDCBCAD题号11答案ABD12．13．14．15．（1）在中由正弦定理可得，即，解得，，，为正三角形，，即景点之间的距离为.（2）设的外心为，连接交于点，设外接圆的半径为，则，解得，,，的最小值为，，，，，，，即，的最小值为，即栈道长度的最小值为.

16．（Ⅰ）得．（Ⅱ）由得，设，，则故．:，即．由得，设，,则，故．故=．又．所以=．令，则=．17．（1）如图，以B为原点，BA，BC，BP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．

已知底面ABCD，底面ABCD，所以又，，平面，所以平面，平面，所以，，是等腰直角三角形，．设，则．则，异面直线PA和CD所成角等于，，即，解得，．设平面PAD的一个法向量为则由得,所以可取．．∴直线CD和平面PAD所成角的正弦值为．（2）假设存在，设，且，则，，设平面DEB的一个法向量为，则由得,取，又有平面PAB的法向量，由平面PAB与平面BDE夹角的正切值为，可知余弦值为，由，得，解得或（不合题意）．∴存在这样的E点，E为棱PA上靠近A的三等分点．18．（1）设家用机器人经过前三道工序后是合格品的概率为，则，设家用机器人智能自动检测合格为事件，人工抽检合格为事件，则，，所以，即在人工抽检时，工人抽检一个家用机器人恰好为合格品的概率约为.（2）①设乙箱中有个球的概率为，第一次抽到奇数，家用机器人运个乒乓球，概率为，即，乙箱中有个球，有两类情况，所以，乙箱中有个球的情况有：i家用机器人已运个球，又抽出偶数，其概率为；ii家用机器人已运个球，又抽出奇数，其概率为；所以，且，所以，所以，即当时数列是公比为的等比数列，所以，又，，所以当时也成立，所以，，，，上述各式相加得，又，所以，，经检验，当时上式也成立，所以，所以，即获得“优惠券”的概率为.②设参与游戏的个幸运顾客中获得优惠券的人数为，则，所以的期望，设优惠券的总金额为元，则，所以个幸运顾客中获得优惠券总金额的期望值（元），故该企业预备的优惠券总金额的期望值为元.1