2025-2026学年上海市某中学九年级（上）期末数学试卷-含答案

2025-2026学年上海市华曜宝山实验学校九年级（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共5小题，每小题4分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.在四△49C中，4。=9（）°,AC=2,tanA=1,则下列说法中错误的是（）

A.S”BL1B.r,o.s/?——C.laii2Z.DD..

54cotA4

2.已知非零向量不、了、H不能判定了的条件是（）

A.a*=3/，石=一27B.|0*1=31771

C.a+b()D_36*

3.在四边形48c。中，对角线力C与8。相交于点0,能判定力BIICZ）的条件是（

ABOC

A也皎c也”

CDOABODO,DOBO

4.如图，在△48。中，OEI山C,点。为边48上的黄金分割点IADVBD）,点、

G为△48C的重心，连接力G、BG、QG.若乙历1G=2OQG=4C,则下列说法中错

误的是（）

5.关于等腰三角形相似的判定，某同学提出如下猜想.下列说法中正确的是（）

①两腰及一腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似；

②两高及一底边对应成比例的两个等腰三角形相似.

A.①错误②正确B.①正确②错发C.①②均正确D.①②均错误

二、多选题：本题共1小题，共4分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得4

分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

6.抛物线y=ax2+bx+a与直线y=bx+a在同一坐标系内的图象不可能是（）

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A.B.

三、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。

.a+63a—6

7.已知——-=nil则——=.

2a-b526—

8.若以点4（2,1）为圆心的圆与两坐标轴只有3个交点，则该圆的半径长是—.

9.某市新建一座电视塔，设计师先用木料制作了一个高度为2米的模型塔，且该模型塔的高度是实际塔高

的二.己知建成后的电视塔顶端加装了一根天线，且这根天线亘实际塔高的「•若要在模型塔上加装天

25（）50

线，则天线长应为一米.

10.如图，为了适应老年人乘坐轮椅进出小区的需求，某小区打算改造小

区人口的斜坡.已知原斜坡竖直高度48=0.9米，斜坡4C的坡比为1：

0.75,若改造后C点向左移动了2.8米，则新坡面力。的长度为一米.

11.某园林设计师规划一个矩形花坛48CQ，并在其中种植一株景观树（记作点尸），要求将矩形花坛的长

AP

边AB分成两段，且满足.已知该矩形长为宽为人“卜），现从树的位置作一条垂直于长

AB

边的直线，将花坛分为两个小矩形区域，那么分割得到的较小矩形面积是_.（用含/的代数式表示）

12.在△N8C中，点七和点尸分另!在边力4和/C上，若△力8c与尸相似，且满足/8=12,AC=9,

AE=4,EF=5,则8c的长为

13.如图，在△48C中，点。、E、产分别是线段6。、BD、力。边上的中点.若

^ADF的面积是1,则四边形ABDF的面积是,

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14.如图，在由边长为1的小正方形构成的网格中，线段48与线段C。交

于点O,则41。。的余弦值是一

15.新定义：若抛物线月日)与x轴正半轴有两个交点，且其中一个交点与抛物线在y轴上的交点的连线

与工轴夹角为45°,则称该抛物线为“半垂抛物线”，称抛物线在x轴上的这个交点为“半垂点”，称抛

物线在坐标轴上的三个交点形成的三角形为抛物线)弓《)的“半垂三角形”.

已知抛物线产g(x)是“半垂抛物线”，且为该抛物线的“半垂三角形”，点力(0,3),点8

(1,0),点。为“半垂点”.将勉物线尸g(x)先向左平移4个单位，再向下平移3个单位后，得到新

抛物线的对称轴是直线—.

16.已知抛物线尸/一4,什，(/>0),若点力(0,5),点B(2/,3什5),且线段45与该抛物线羽象有交

点，则,的取值范围是—.

17.如图，在矩形48c。中，AB=6,力。=8,E为。C边上一点，联结力E,将A.------------------iD

△O/E沿直线4E翻折，点。的对应点记作点R且点尸在对角线力。上.联

结DF,与AE相交于点O,则OE=—.

B\-----------------1c

18.在阳△力8C中，zC=90°,将该三角形绕点片旋转，使得点力落在点，，点C落在延长线上的

点C'.延长C'C交线段44'于点。.若的面积是△，BC的3倍，则C0S48/1G_.

四、计算题：本大题共1小题，共10分。

八、L田：如，倒,foM50,1、o

19.计算：--开7+-r加+(京京---)

M.U5smJO2026-7T

五、解答题：本题共6小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

20.(本小题10分)

如图，在平行四边形力8CQ中，力。||4。，石是/。边上一点，黑；，线段8E交对角线力C于点O.设

li(3

鹏="，

A6=b

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E

D

⑴用W*和石表示：（j^=—：反力_：。万=—

（2）作出；0在万和瓦方向U勺分向星并用/和/；的线性组合表示;（不要求写作法，仅需作出图形

并写出结论）

21.（本小题10分）

如图，己知在四边形力BCD中，对角线4C和8。相交于点O,乙ADB=90：

_AO

AB=V5-AB=AC,hniZDAO—,"tOD=cACB

（1）求证：

—nc2ADxoc

5

⑵求匕。B的正弦值

22.（本小题10分）

如图所示是由边长为1的小正方形构成的网格.

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(1)S^EG产___

(2)请仅用无刻度的直尺作图:

①如图1,以力C为对角线作菱形48CO,且m〃NZUO=。；

■5

②如图2,在/G右侧作点P,使得四边形EFPG是平行四边形；

③如图3,在的内部作点K,使：邛*':;

④如图4,以。为对称中心作△LMN的中心对称图形△RS7,其中点£、A/、N分别与点R、S、「对应

23.(本小题12分)

如图，48为半圆。的直径，点尸在半圆上，点P在48延长线上，尸。与半圆相切于点C,与。产的延长

线相交于点。，4C与。”相交于点E,且DC=DE

(1)求证：ODLAB

OPCP

⑵若,山人个求证：DgAOXOP

ODDE

24.(本小题12分)

如图，在平面直角坐标系中，抛物线产OASQX+C(f/>0)交x轴于点4(1,0)、点、B(点8在点力

的右侧)、与y轴交于点。，顶点为点P,且叉(火产

15

o

⑴求证：抛物线尸4・5QX+C是“半垂抛物线”

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(2)已知点。是抛物线上一点，横坐标为人联结3Q.

①联结48,若点0位于x轴下方，月/PC8=N480,求直线尸。的解析式；

②联结PQ,若乙CBQNCPQ,求此时，的值

25.(本小题14分)

如图，在△ABC中，乙ABC=9Q°,8c=3,，〃〃八,,点M是边48上的动点(不与点力、8重合)，联

结CM.

(2)如图2,若力M=BC,在边4c上取一点Q,使得C'0=8M,联结力。、CM交于点O,求一fOM的度数

(3)已知点P在边力C上.

①若△C/M/和均为等腰三角形，则40=；

②过点"作力。的垂线垂足为"，若CM平分乙4C8,且△CRW为等腰三角形，求P”的长

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1.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】B

4.【答案】D

5.【答案】A

6.【答案】AC

7.【答案】I

一

8.【答案】v行或2

9.【答案】0.04

V20617

10.【答案】

40

11.【答案】（％2）。

t45

12.【答案】15或

13.【答案】3

3Vzin

14.【答案】

34

15.【答案】x=-2

5+3隗/，/201

16.【答案】・■<cV——

4--16

ivTo

17.【答案】

15

2y/6

18.【答案】

-5-

19.【答案】。+3・

20•【答案】【小题1】

■+?了

55

55

,)

7T+?丁

5

【小题2】

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作图时，过点。分别作力8、力。的平行线，交力力于M,交力8于N,则:

7TH}1T（万5在了方向上的分向量），

0

21•【答案】【小题1］证明：

:.乙,4BC=£4CB,

,:乙4OD=UCB,Z-AOD=Z-BOCy

'.Z.BOC=Z-ACB,

•,△ABCs^BOC,

OCBC

：''BCAC"

•••BGFUOC,

•.,col.:,

AD1

BD2

AD-*BD'=\^AD,

•••〃「’(卜，

、尺

.•1H(".\1>"

5

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【小题2］解：过点B作8FJJC于点F,

由（1）知，乙BOC=&CB,

：co"DABI

2

AD1

BD2

^AD2+BD2=AB2,AB=瓜、

80=2,

OlO・空，IanADAO-

ACAD

ODAO

：ADAC'

-ABAC瓜、

'-AO，加，

AD\/A(y-DO2-2D。,

•：BO=BC,BFLAC,（等腰三角形三线合一）

•.BF=x/BO2-FO1=苧,

••小心’.1〃

AB20

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22.【答案】【小题1】

9

2

【小题2】

①按菱形的对角线互相垂直平分作图，如图1,四边形48CO即为所作的菱形.

理由：AC=Q6」+6」=6Tg,=v'F+"=4\/2»

.-.0.4=4C=30,0。=：BD=20,

♦；AC工BD,

."08=90°，

OB2

l(dlIi.\(-；

0A3

②按平行四边形的对边相等作图，如图2,四边形EFPG即为所作的平行四边形.

理由：.:PGEF1呼+筝30，PFEG二+2?瓜、

四边形EFPG为平行四边形；

③根据中线平分三角形面积，同高的三角形面积比等于底边比作图，如图3,△〃&/即为所作的三角形.

理由：•••”是卬的中点,

m=iv=，”,

2

v/\J-A/./,

5

3

S&HKJ3

S△〃/j1。

④根据成中心对称的两个图形的对应点连线经过对称中心，并且被对称中心平分作图，如图4,△RST即

为所作的三角形

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23.【答案】【小题1】如图1,DC=DE,连接0C,

图1

:•乙DCE=^DEC,

••・PC是切线，

：.OC1CD,BPZDCF+ZJC0900,

•：O.4=OC,

'.Z.OAC=/-ACO,

,•Z4EO=z.DEC,乙DCE=LDEC,

'.^4EO+^CAO=90C,

・Z40£=90°,

：.ODLAB

图2

根据解析（1）可得：00148,

:.乙DOP=90°,

••"0C+4cop=90°,

••・PC是切线，

半径OCLCD,

；♦乙OCD=^OCP=90°,

;乙。。C+4。0090°,

:.乙0DC=^C0P,

•••△OQCs△尸。。，

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DCOCOD

••I।9

OCCPOP

,OC^DUCP,

opCP

•：DC=DE,OC=OB,

OBDE

OPCP

'OCDC"

OPOC

CP-DC'

OCOD

CP"而‘

OPOD

CPOC

.OCOD

'DCOC"

•：OC=DC・CP,

：.()D・DC=DC*CP,

：.OD=CP,

OCOD

'CP=OP"

OCOD

-----=-------,

ODOP

：QA=OC・QP,

•:AO=OC,

：.OgAO・OP

24•【答案】【小题1】证明：连接OP,

图1

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•.•抛物线yq/W-Sor+c(a>0)交x轴于点4(1,0),

.••a-5a+c=0,即c=4a,

5>9

.••抛物线为y=(LT2-5"+4(2=(2(J---)2--a,

4*

5g5

.••点C(0,4a)；P(-»-对称轴为I=5，

：.B(4,0),

,:S,，、BP>SfBPO+S,，、BOC~ShOPC，

...lx4x(?a+4a)-Ix

29

解得：a=\,

6Q

即抛物线解析式为y=/_51+1=(n—J2_]

一•

•••点C(0,4),

：.OC=OB,

，乙OBC=L()CB=45°，

故该抛物线为“半垂抛物线”

【小题2】解：①如图，设直线CP交x轴于点G,过点G作G//14C,设延长8。交p轴于点K,

y

•••直线尸c的解析式为：〃:J+I,

、

直线PC与X轴交点坐标为G>0),

5

819

：,BGOBOG\r

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•••0B=4,乙OBC=^OCB=45°,

/fB=BGsin^OBC=—x"=?S,

“-525

a/G=-v/2,CH=BC-B//=4V<>--="\/2»

555

HG

CH飞6

OK

"PCB="1BQ,lunZABQ

OB

OK12

即一

•••点/〈（（）•

7

3

.••直线K8的解析式为：”

（y=/-5E+4

联立抛物线和直线解析式得：<312

1/=-

1（）

解得:{10。^2=y

54

1/2=-..

49

…z10X、

即点0（=，-6），

<4y

*，59、z1（）51

•••点尸（2，-4），2Q（7，-49），

直线PQ的解析式为尸-/

11i

②如图所示，作△PBC的外接圆。。，交抛物线于点。，则乙。尸

.:点。是△P8C的外接圆的圆心,

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：CD=CB=DP,

又•••△08。是等腰直角三角形,

.,.点。在产x上，

设D(〃?,/〃)，

'：DC=DP,

--（/»/J））+〃/■（〃，^）2+（in+j）2,

解得：〃，:，

O

H），

00

...DP=，d一4）2+（%=®,

V«8，8

设?"产・5/+4）,

•:DP=DQ,

-5=晶

81864

整理得，“一1（）户+岑_一35/=（）,

即-1），

一